耦合諧振子的量子絕熱捷徑設計

楊冠卓, 陳 璽

(上海大學理學院, 上海 200444)

量子絕熱定理是量子力學中的一個重要結論, 在量子絕熱操控、量子絕熱計算和量子絕熱模擬方面具有重要的應用價值.量子絕熱過程是指當外參量隨著時間緩慢變化時, 量子態沿著其瞬時本征態演化[1].在實際過程中由于量子絕熱的慢過程, 量子態的制備或操控往往會受到退相干的影響, 而失去保真度.為此, 人們提出了量子絕熱捷徑技術[2-4], 旨在加快量子絕熱的慢過程, 從而減小退相干的影響.量子絕熱捷徑技術包括了許多不同的方案, 例如基于量子不變量的反控制法[4]、反向透熱補償法[5-6]、無躍遷量子驅動法[7-9]等.這些方法在冷原子或囚禁粒子中轉移、冷卻得到了實驗驗證.例如, Schaff等[10]利用量子絕熱捷徑技術實現了冷原子和玻色愛因斯坦凝聚態在囚禁勢中的無摩擦快速冷卻.清華大學An 等[11]利用反向透熱補償實現了相空間中囚禁例子的快速轉移.Deng 等[12]和Diao 等[13]利用反控制方法實現了簡并費米氣體的量子絕熱捷徑, 并用于設計超絕熱熱機.目前, 量子絕熱捷徑技術作為量子調控的一個有效手段, 被廣泛應用于原子、分子和光物理以及統計物理等領域[14-18].

量子絕熱捷徑技術是基于諧振勢動力學及其量子不變量理論提出的[4], 該模型不僅可以等效描述光學囚禁勢中的原子冷卻, 還可描述機械諧振子冷卻[4]、晶格中光學傳播[19]、RC 電路(resistor-capacitance circuit)[20]等.然而, 在某些情況下, 耦合諧振子而非單個諧振子模型及其相干操控則顯得尤為重要.例如, 耦合諧振子可以描述光力機械振子[21-22]、多個相互作用囚禁離子[23]、囚禁勢中相互作用的冷原子氣體[24]等.由于耦合諧振子的兩個振子因耦合相互影響, 與單個諧振子相比更難操控.特別地, 在機械諧振子等實驗中常規絕熱調頻方案往往會因兩個諧振子的相互干擾而產生非絕熱的激發, 很難實現精準操控和基態能級的冷卻.

針對這些問題, 本工作將基于Lewis-Riesenfeld 量子不變量[25-26]推廣研究耦合諧振子的量子絕熱捷徑設計.通過推導Ermakov 方程反設計耦合諧振子的頻率, 從而實現量子態的快速精準制備或操控.

1 量子不變量理論

對于含時哈密頓量H(t)描述的系統, 波函數Ψ(t)滿足含時薛定諤方程

如果可以構造一個厄米算符I, 使它滿足

則稱I為該體系的動力學不變量(Lewis-Riesenfeld 不變量).I的本征方程可以寫為

式中:n=0,1,··· ,|φn(t)〉;λn為I(t)的本征值.薛定諤方程的解可表示為I(t)本征函數的線性疊加,

式中: 常數Cn滿足歸一化條件,Lewis-Riesenfeld 相位可以表示為

綜上所述, 系統的演化算符可以表示為

根據H(t)=i?可以得到

通常, 人們利用量子不變量來求解復雜的含時薛定諤方程, 而我們則根據系統量子態的演化,通過式(7)設計哈密頓量.接下來, 進一步展示如何利用量子不變量的動力學設計量子絕熱捷徑, 即先設計含時演化的路徑, 從而反解哈密頓量的含時參量.一般來講,I(t)和H(t)不一定對易.也就是說,I(t)的本征態所對應的態演化與H(t)的瞬時本征態不一致.為了達到量子絕熱捷徑的效果, 系統需要在初末時刻處于I(t)的本征態, 同時也處于H(t)的本征態[4,27].這要求I(t)和H(t)在初末時刻(t=0 和T=tf)具有同一組完備正交基矢, 即要求兩者對易, 即有

以式(8)作為邊界條件設計出相關參數的演化路徑, 可以取得量子絕熱捷徑的效果.接下來, 將以上述理論研究耦合諧振子的量子絕熱捷徑技術.

2 耦合諧振子模型

考慮一對耦合諧振子a 和b, 其哈密頓量可以表示為

式中:ma和mb分別為兩個諧振子的質量;ωa(t)和ωb(t)分別為兩個諧振子的含時頻率;λ代表兩個諧振子之間的耦合強度.式(9)中的位置算符和動量算符可以由產生算符ca()和湮滅算符cb()表示, 即其中,i=a,b.

于是, 體系的哈密頓量可以改寫為

把這個哈密頓量對角化, 可以得到簡正模式, 即

圖1 為本征頻率ωA、ωB隨ωb/ωa的變化.單位頻率為1 Hz, 耦合系數λ= 0.2.由圖1 可以看出, 耦合諧振子的本征模式出現了類似冷原子二能級的能級反交叉.一般情況下, 人們只能通過緩慢絕熱變化ωb/ωa, 才能進行量子態的操作.當絕熱條件滿足時, 系統的演化將始終保持在各自的模式上, 不出現非絕熱躍遷.進一步分析可知, 2 個簡正模式可以寫成2 個新的簡諧振子, 哈密頓量分別表示為

圖1 耦合諧振子本征頻率Fig.1 Eigenfrequencies of coupled oscillators

對于每一個簡諧振子的哈密頓量, 都可以找到相應Lewis-Riesenfeld 不變量,

為后續設計方便,參照文獻[4]中給出的方法,這里的ω0A(B)可以設置為初始簡正頻率ω0A(B)=ωA(B)(t=0).同樣, 整個系統的第n能級的瞬時平均能量為

這樣就可以通過量子絕熱捷徑技術設計此類耦合諧振子的頻率, 實現上述末態基態能量(n=0)的減小, 從而實現快速無摩擦的冷卻.

3 反設計方法

根據式(17), 兩個簡正模式的絕熱捷徑路徑應滿足式(8), 即有

式中:其中ωA(B)(t0)和ωA(B)(t0)為初末時刻的簡正頻率, 可以由初末時刻的裸頻率ωa和ωb代入式(12)得到.為了設計量子絕熱捷徑, 可以選擇滿足這些邊界條件的多項式作為擬設, 即有

式中:s=t/tf.把式(20)代入方程(17), 即可得到兩個簡正模式的絕熱捷徑演化路徑.由此,根據式(12)進而可以得到裸頻率ωa和ωb與簡正頻率ωA和ωB關系.

(1) 當ωa<ωb時,

(2) 當ωa>ωb時,

由此, 可以把從式(17)～(20)得到的簡正頻率的絕熱捷徑路徑代入式(22), 即可得到裸頻率的絕熱捷徑路徑, 實現耦合諧振子的絕熱捷徑路徑設計.為了更好地理解上述設計量子絕熱捷徑的過程, 特此歸納為: ①由初末時刻的裸頻率ωa(b)(t0)和ωa(b)(tf), 通過式(12)得到初末時刻的本征頻率ωA(B)(t0)和ωA(B)(tf);②將滿足邊界條件(式(17))的標度參數bA(B)(t)代入式(19), 得到本征頻率的絕熱捷徑演化路徑ωA(B)(t);③將本征頻率的絕熱演化路徑ωA(B)(t)代入式(22), 得到裸頻率的絕熱捷徑演化路徑ωa(b)(t).

圖2(a)為量子絕熱捷徑設計的頻率ωa(t)和ωb(t), 其中耦合系數為λ=0.1 和量子絕熱時間為tf= 1 s.初始時刻ωa(0) = 1 Hz,ωb(0) = 10 Hz, 末時刻ωa(tf) = 1 Hz,ωb(tf) = 1 Hz,耦合系數為λ= 0.1, 量子絕熱捷徑演化時間為tf= 1 s, 絕熱過程的演化時間為tf= 10 s.作為比較, 將整個演化時間變為tf= 10 s.此時, 整個演化過程轉換為絕熱調頻, 如圖2(b)所示.由圖2(b)可知, 頻率ωa不變化, 頻率ωb則緩慢呈線性變化.這非常類似于二能級體系中的Landau-Zener 方案, 即Rabi 頻率是常數, 失協量隨時間線性緩慢變化.在上述兩個例子中,選取初始時刻2 個振子的頻率分別為ωa(0) = 1 Hz,ωb(0) = 10 Hz, 末時刻2 個振子的頻率分別為ωa(tf)=1 Hz,ωb(tf)=1 Hz.

圖2 兩種調頻方案的對比Fig.2 Comparision of two protocols

圖3 為量子絕熱捷徑過程中的基態平均能量變化, 進一步表明可以利用量子絕熱捷徑技術調節頻率ωa(t)和ωb(t), 實現耦合諧振子的基態(n=0)能量減小, 即耦合諧振子的冷卻.此外, 絕熱捷徑的總演化時間tf越小, 中間激發能量就越大.這反映了能量和時間的測不準關系,即在物理上給出了量子絕熱捷徑的速度極限.

圖3 量子絕熱捷徑過程中的基態平均能量Fig.3 Average energy of ground state in shortcut-adiabaticity modulation protocol

4 結束語

本工作基于量子不變量利用反控制法設計耦合諧振子的量子絕熱捷徑的演化方案.結果表明, 用量子絕熱捷徑技術調節耦合諧振子的頻率時, 兩個諧振子的頻率需要變化.與絕熱調頻相比, 本方案中頻率變化速度更快, 變化幅度更為劇烈, 但是整體的演化時間縮短, 并取得與原來絕熱調頻相同的結果.因此, 根據耦合諧振子量子基態的量子絕熱捷徑操控, 可以同時快速調節耦合諧振子的頻率并且保證最終無非絕熱的躍遷.從而避免了因兩個振子耦合產生的相互影響導致的誤差以及由此產生的非絕熱躍遷.如前所述, 耦合諧振子廣泛存在于機械諧振子等不同的物理模型中, 因此上述結果可以應用于量子熱機中, 從而取代熱機循環過程中的絕熱沖程, 以期改善量子熱機的熱力學性能.此外, 這些結果還可以推廣至3 個或多個耦合諧振子, 并實現量子糾纏態的超快操控.