各種對稱性下撓曲電系數的Kronecker 張量積表示

吁鵬飛 彭黎明 冷偉豐 鎖要紅

(1.福州大學機械工程及自動化學院, 福建 福州 350108;2.西安交通大學航天學院, 機械結構強度與振動國家重點實驗室, 陜西 西安 710049)

不同于壓電效應與電致伸縮效應, 撓曲電效應是一種新型的力電耦合效應.撓曲電效應的宏觀具體表現為: 晶體中的應變梯度會使晶體產生電極化, 即正撓曲電效應;反之, 晶體中的極化梯度也會在晶體內部產生應力和應變, 即逆撓曲電效應.Kogan[1]首先給出了正逆撓曲電效應的唯象學描述:

式中:σ、E、P、u分別為柯西應力、電場強度、電極化和位移;f和μ分別是正撓曲電系數和逆撓曲電系數.壓電系數為三階張量, 只能存在于非中心對稱材料中;撓曲電系數為四階張量, 在任何材料中都存在, 這極大地拓寬了力電轉換器件的材料選擇范圍.此后, 人們分別從理論[2-3]、分子動力學模擬[4-5]、實驗測量[6-7]和器件應用[8-9]等方面對撓曲電效應開展研究.

上述研究均是建立在正確的撓曲電系數基礎上的, 比如不同晶體點群撓曲電系數的對稱性及具體的分量.Cross[10]認為撓曲電系數與電致伸縮系數具有相同的對稱性.Le 等[10]基于Cartan 分解推導了撓曲電張量對稱點群的種類和相應的個數.基于高階張量的正交不可約分解和偏張量的多極表示, 唐昌新[12]對撓曲電張量進行了對稱分類并分析了獨立分量的個數.文獻[11-12]都只是給出了不同點群獨立撓曲電系數分量的個數, 并沒有給出撓曲電系數具體的分量.Shu 等[13]利用18×18 的正交變換矩陣得到了各種晶體點群下撓曲電系數的對稱分量及獨立分量個數.文獻[12-13]系統地總結了不同晶體點群下撓曲電系數獨立個數及相應的矩陣形式, 為撓曲電領域的其他研究夯實了基礎.此后關于撓曲電系數對稱性的研究工作急劇減少, 直到2018 年, Eliseev 等[14]認為撓曲電系數還存在著隱藏的對稱性, 這將大大減少撓曲電系數的獨立分量個數, 該工作對撓曲電系數對稱性的研究注入了新的活力.研究表明: 在某些晶體點群下, 通過正交變換矩陣得到的系數矩陣并不正確.基于此, 本工作采用Kronecker張量積法分析不同點群下撓曲電系數的對稱性.

Kronecker 張量積(層積)是張量之間的一種直積, 且正交旋轉張量的Kronecker 張量積在對稱性方面有著重要的作用[15].鄭泉水等[16]利用張量層積理論分析了彈性張量和微極彈性張量的對稱性.宋固全等[17]利用Kronecker 張量積分析了不同材料二次彈性張量的對稱種類、獨立分量個數和矩陣結構形式.

不同于繁雜的正交變換矩陣, 本工作用張量層積理論推導撓曲電張量空間上正交旋轉張量的4 次Kronecker 張量層積, 并分析討論了7 大晶系、32 個晶體點群及各向同性材料的撓曲電張量的獨立分量個數和具體矩陣結構形式.

1 預備知識

由于只有Lifshitz 不變量fijkl(εijPk,l ?Piuj,kl)和能量相關, 正逆撓曲電系數滿足關系f=?μ.因此, 正逆撓曲電系數滿足同樣的對稱性質, 二者研究其一即可.本工作以撓曲電系數μ為研究對象, 它滿足性質

式中:μijkl=μ·(eiejekel), (ei,i=1,2,3) 是三維空間中的一組標準正交基.具有上述對稱性質的四階張量稱之為撓曲電張量空間, 記作F, 且dimF=54.

根據Neumann 對稱性原理, 撓曲電系數的對稱性是指:給定材料任意一個對稱變換Q, 該材料的四階撓曲電系數μ都必須滿足

依據文獻[15], 式(3)可以采用對稱變換張量Q的4 次Kronecker 冪改寫為

Kronecker 張量積的重要性質有

式中:α1,α2,··· ,αp分別是L對應特征根λ1,λ2,··· ,λp的特征矢量;α1α2···αp是p個矢量的并積.結合式(4)和(5)可知,μ的對稱性是指:μ必須是正交變換Q⊕4對應特征值為1 的特征張量.

設三維二階張量空間的標準正交基為

三維二階對稱張量空間的標準基為

假設Q是繞e3軸轉動θ角的轉動張量, 即

式中:I是單位矩陣.經過推導, 滿足F上的正交變換Q和Q⊕4的特征值和相對應的特征張量見表1.表1 中從上到下、從左到右的順序, 記Q⊕4中54 個特征值為則撓曲電系數μ可以寫為

表1 正交變換Q 和Q⊕4 的特征值和相對應的特征張量Table 1 Eigenvalues and corresponding characteristic tensors of Orthogonal transformation Q and Q⊕4

式中:κ= 1,2,··· ,6;?= 1,2,··· ,9.通過Kronecker 張量積, 我們建立分量μijkl、?μκ,?和α1～η2之間的關系.

2 各種對稱條件下撓曲電系數張量的表示

利用式(9), 可以得到各晶體點群下撓曲電系數張量的具體矩陣形式.

(1) 三斜晶系.點群(1,ˉ1), 對稱群生成元為I或?I, 則獨立的撓曲電系數有54 個, 其矩陣結構為

(2) 單斜晶系.點群(2,m,2/m), 群生成元Q(πe3), 即只有特征根為1、e2iθ、e4iθ所對應的特征矢量存在.因此,β1～β20=0,δ1～δ6=0, 獨立的撓曲電系數有28 個, 其相應的撓曲電系數矩陣結構變為

(3) 正交晶系.點群(222,mm2,mmm), 群生成元為Q(πe3),Q(πe1).此時, 獨立的系數為15 個, 具體矩陣結構形式變為

(4) 四方晶系.點群(4,,4m), 群生成元只有特征根1 和e4iθ所對應的特征矢量存在.獨立系數為14 個, 具體矩陣結構形式變為

(5) 三方晶系.點群(3,), 群生成元為只有特征根1 和e3iθ所對應的特征矢量存在.獨立的系數為18 個, 具體矩陣結構形式為

點群(32,3m,m), 群生成元此時獨立的系數為10 個, 具體矩陣結構形式為

(6) 六方晶系.點群(6,ˉ6,6/m), 群生成元為只有特征根1 所對應的特征矢量存在.此時獨立的系數為12 個, 具體矩陣結構形式為

點群(622,6mm,62m,6/mmm), 群生成元為此時獨立的系數為7 個,矩陣結構形式為

(7) 立方晶系.點群(T,Th), 群生成元為是立方晶體的對角線單位方向.此時有5 個獨立的系數, 其具體的矩陣結構形式為

點群(O,Td,Oh), 群生成元為此時獨立的系數為3 個, 具體的矩陣結構形式為

(8) 各向同性.點群, 群生成元為Q(θe3),Q(θe1).此時, 獨立的系數為2 個, 具體的矩陣結構形式為

值得強調的是, 上述分析得到的撓曲電系數矩陣都是撓曲電系數張量μ=μijkleiejekel=為基的分量由分量可以通過簡單的代數運算得到常用的以eiejekel為基的分量μijkl.

3 討 論

與文獻[13]中的結果進行對比, 可以發現: 對于大部分晶體點群, 撓曲電系數對稱性結果一致.然而, 對于部分晶體點群如(4,ˉ4,4m), 撓曲電系數矩陣結果并不相同.下面分析二者的差異并論證本結果的正確性.

點群(4,,4m)的撓曲電系數矩陣[13]為

本工作中推導的點群(4,,4m)的撓曲電系數矩陣為

通過對比發現, 文獻[13]中基e1e2e3e3的系數是?μ32, 本工作中為E6N3, 對應的矩陣值0.點群(4,,4m) 的群生成元為在這3 個群生成元下e1e2e3e3變換為?e2e1e3e3,?e1e3e2e2或?e3e2e1e1, 都可以判斷出μ1233須等于0, 即本工作推導出的結果是更合理的.

4 結束語

本工作基于張量層積理論建立了滿足撓曲電系數對稱性的正交張量多重點積表示, 并得到了撓曲電系數張量在32 個晶體點群及各向同性下的撓曲電系數具體矩陣結構.通過與文獻[13]進行對比, 驗證了這些系數的正確性.這些系數可為相關撓曲電研究提供基礎.