復質心體的性質

金 天, 冷崗松

(上海大學理學院, 上海 200444)

Busemann-Petty 質心體不等式是一個非常重要的仿射等周不等式[1-2], 其應用正被廣泛研究[3-5].下面給出Busemann-Petty 質心體不等式研究的質心體的定義.

給定一個內部非空的凸體K ?Rn,它的質心體ΓK的支撐函數為[6]

式中: 積分是關于Lebesgue 測度;“·” 表示標準的歐氏內積;u、x表示變量.

令K0(Cn)表示包含原點在內部的復凸體所構成的集合, 下面給出質心體的定義.

定義1[7]關于K ∈K0(Cn)的復質心體ΓCK的支撐函數定義為

式中: 積分是關于Lebesgue 測度在關于R2n和Cn標準同胚下的拉回;Cu:={cu:c ∈C},C為復平面上的凸體.注意到|u·x|=h[?1,1]u(x),這說明了復質心體是經典質心體的推廣.

1 預備知識

Rn表示n維歐氏空間,Kn是Rn中凸體(非空緊凸集)的集合.表示Rn中所有原點在內部的凸體的集合.Cn表示n維復空間,K(Cn)定義為Cn中所有凸體的集合,K0(Cn)定義為Cn中所有原點在內部的凸體的集合.復凸體K的體積記為|K|[8].

若K ∈Kn, u ∈Sn?1,則凸體K的支撐函數為[9]

并記h(K,u)=hK(u).

若ιK是R2n中的一個凸體,那么集合K ?Cn可以被稱為一個復凸體.記ι: Cn →R2n為標準同構[6,10-11], 即有

式中:R、S分別是實部和虛部.不難驗證

式中: “·”表示R2n中的標準歐氏內積.

下面給出復凸體的支撐函數.

一個凸體K是被它的支撐函數hK:Cn →R 唯一確定的, 即有

對于一個復數c ∈C,記為其共軛,|c|為其模長.用“·”表示Cn內積, 即x·y=x ?y,?x,y ∈Cn.B表示{c ∈Cn:c·c≤1}的單位球,Sn表示單位球面{c ∈Cn:c·c=1}.

對?K,L ∈K(Cn), α,β≥0(α、β不同時等于0),則其Minkowski 線性組合為[8]

式(5)等價于

根據復凸體支撐函數的定義,對于K,L ∈K(Cn),顯然有

由上可知, 一個凸體與其支撐函數是一一對應的.

2 性 質

下面研究復質心體的基本性質,探究復質心體在復平面上是否滿足線性性, 以及凸體和的復質心體與復質心體和的某種包含關系, 并進一步推廣到若干個凸體的情況.

定理1對λ1,λ2>0,若K ∈K0(Cn), C1,C2∈K(C),則有

證明 根據式(2)可知,ΓC1+C2K的支撐函數為

結合式(5)和(6), 由支撐函數的線性性可得

因為凸體與其支撐函數是一一對應的,故有

因此,ΓCK的線性性得證.

定理2對λ≥0,若C ∈K(C),K ∈K0(Cn), 則有

證明 根據式(2)可以寫出ΓC(λK)的支撐函數,并結合式(5)和(6)有

故有

故定理2 得證.

定理3對K,L ∈K0(Cn),C ∈K(C),則有

證明 根據復質心體支撐函數的定義, 可得

故有

故定理3 得證.

顯然根據上面的研究, 可以推廣到n個凸體的情況.

推論1令C ∈K(C),K1,K2,··· ,Kn ∈K0(Cn),則有

證明略.