半導體量子點中電子態的絕熱捷徑控制

班 玥, 李欣和, 陳 璽

(1.上海大學材料科學與工程學院, 上海 200444; 2.上海大學理學院, 上海 200444)

量子計算、量子通信和量子信息處理已經成為了后摩爾時代的新興技術, 是目前人們廣泛關注并努力探索的方向, 也是凝聚態物理、量子領域的研究重點.而基于半導體量子點的量子計算得益于先進的現代半導體微電子制造工藝, 被認為是有可能實現量子計算的平臺之一, 繼而成為了世界各個國家戰略競爭的焦點.近期,《中共中央關于制定國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和二〇三五年遠景目標的建議》中指出: 要瞄準量子信息等前沿領域, 實施一批具有前瞻性、戰略性的國家重大科技項目.

眾所周知, 量子計算機的計算能力是隨著量子比特數目的增加呈指數增加.因此, 對量子態進行高保真度制備、操控或布居數轉移是量子技術邁向應用的重要步驟.退相干和長程耦合這兩大困難, 一直是基于固態電子學量子計算發展的難點: 退相干導致系統失去相干性; 若以外場驅動系統, 則系統與環境產生耦合將不可避免.近年來, 我們與國際合作者共同提出的量子絕熱捷徑(shortcuts to adiabaticity, STA)技術能夠在較短時間內產生類似絕熱過程, 有效減少環境退相干帶來的影響, 并已經發展成量子態操控的一種有效方法.本工作系統介紹了基于量子絕熱捷徑技術, 以及在不同量子點體系中對于電子量子態快速而穩定的控制方案, 并分析了環境退相干等系統因素對量子態操控的影響.

1 半導體量子點中的量子比特

半導體量子點作為一種人工固態量子系統, 將單個或多個電子束縛在3 維微小空間上.圖1 為Tokura 研究小組[1]制備的橫向量子點掃描電子顯微鏡(scanning electron microscope,SEM)圖.量子點的尺度通常是納米量級, 與自由電子相比, 量子點中被束縛電子受到環境的干擾程度大幅降低, 具有良好的穩定性.受限電子的波函數在半導體量子點中具有局域性, 容易被操控.

圖1 橫向量子點的SEM 圖Fig.1 SEM image of a lateral quantum dot

量子比特是量子信息的基本計量單位.相較于經典系統中的二進制0, 1 表示, 量子比特根據量子力學態疊加原理, 可以表示為|0〉和|1〉狀態的疊加.二能級體系中的任意態可表示為

式中:α和β是復數, 且滿足歸一化條件|α|2+|β|2=1.為了更直觀地表示, 將一個量子比特狀態用布洛赫球面上的點標記(見圖2).在一個二能級系統中,|0〉2和|1〉2態, 即2 個正交基矢態分別位于布洛赫球的兩極.球的半徑為單位長度1, 量子比特的狀態(系統的波函數)可以表示為

圖2 量子比特狀態在布洛赫球面上的表示Fig.2 Representation of a qubit on the Bloch’s sphere

式中: 布洛赫球上的極角θ、方位角φ均為實數.在半導體量子點系統中, 量子比特一般有自旋比特[2-4]和電荷比特[5-6].

1.1 電子自旋比特的操控

自旋比特利用自旋這一天然的二能級系統進行編碼.早在1998 年, Loss 等[2]發現囚禁在半導體量子點中的單電子自旋可以用來制備成自旋比特.量子點自旋比特受外界環境噪聲影響較小并具有相對于操控時間較長的退相干時間[7].自此以后20 多年來, 以自旋為載體的量子計算在理論[8-9]和實驗[10-11]方面均得到了長足的發展, 是實現量子計算機[12]的重要平臺.

人們使用不同方法控制自旋比特, 常用的方法有電子自旋共振技術[13-15]、電偶極矩自旋共振[16]、幾何相位控制[17]等.利用電子自旋共振技術, 單個電子的自旋與磁場耦合很弱, 自旋翻轉慢(約100 ns)[18], 使得自旋比特的操控也較慢.必須通過足夠強的自旋與磁場的相互作用, 才能實現單個電子的自旋共振, 而在實驗中產生足夠強的振蕩磁場往往很困難.在納米尺度下, 通過外加電極產生周期性電場, 比磁場更容易更精準.而由此產生的自旋共振頻率要比磁場塞曼頻率小很多, 使得單自旋的反轉時間更短, 而不易受退相干的影響.在一些半導體材料中, 晶格反演對稱破缺造成自旋軌道耦合作用, 也可產生電偶極矩自旋共振[19-21].電子自旋與半導體襯底材料中的核自旋之間具有超精細相互作用[22-24], 也能誘導出電偶極矩自旋共振[25-26].此外, 利用相位調控實現態的控制[27], 可以獲得更穩定的方案, 但是所需操控時間較長.在自旋軌道耦合作用下, 外加電場可以有效地控制幾何相位, 這樣就可以在不使用高頻磁場的情況下進行量子相干自旋操作[28].

2007 年Pioro-Ladri`ere 等[1]制備了一種橫向量子點, 并設計出一個二能級系統, 實現了電子態操控和讀出.2009 年, Nowack 等[18]在局部添加電極, 產生了周期時變電場, 通過自旋軌道耦合作用產生電偶極矩自旋共振, 從而操控自旋.2014 年, Vandersypen 研究小組[29]通過在量子點附近引入小磁塊而成功制得了退相干時間約為840 ns 的自旋比特.2016 年, Tarucha 研究小組[30]在硅鍺量子點上制備了相干時間1.8 μs 的自旋比特.斯坦福大學的Press 等[31]提出了一種采用超快激光脈沖對單量子點中單個電子自旋的控制方法, 將四能級系統簡化成2 個自旋態的耦合, 通過光泵浦在3.4 ns 內完成單電子自旋的測量, 精確度為92%, 退相干時間與門時間的比值超過了105.

1.2 電子電荷比特的操控

電荷比特以電荷為載體, 并以單個電子在量子點系統中的不同位置狀態進行編碼.電荷比特的傳輸時間由相鄰量子點間的隧穿系數決定, 其翻轉頻率可以達到兆赫茲量級.由于與環境噪聲耦合強, 故電荷比特相干時間一般較短, 為納秒量級[32-33].在如此短的相干時間內完成一系列的高保真度門操控是電荷比特控制的重大挑戰.中國科學技術大學的郭國平等[6]在2013 年首先利用LZS(Landau-Zener-St¨uckelberg)干涉實現了對電荷比特的全電操控, 又分別于2015 年和2016 年實現了雙電荷比特的CNOT 邏輯門操作以及基于三電荷比特的控制非(controlled-NOT, CNOT)邏輯門操作[34-35].雖然電荷比特的操控速度通常會比自旋比特高3 個數量級, 但是由于受到電荷噪聲的影響, 導致其相干時間較短, 難以提高量子操控的保真度.因此尋找快操控的編碼方式, 在有限時間內盡可能多地完成量子操控便成為學術界的研究方向.

1.3 多量子點體系中的量子態控制

值得一提的是, 在多量子點體系中, 電子自旋態和電荷態的傳輸和控制也得到了深入研究, 為大規模量子信息處理技術的發展提供了基礎.例如, 在三量子點中, 理論實驗中都研究了自旋在兩端量子點間的傳輸[36-37]和光子-輔助下電子傳輸[38-41].一種類似于量子光學受激拉曼絕熱過程最先用于三量子點中電荷態的傳輸, 并被推廣至多量子點陣列中[42-43].電子在量子點陣列中沿著系統的暗態(本征能量為0 的本征態)傳輸, 這種方法被稱為絕熱通道耦合傳輸, 也有研究將能級差(解諧)作為控制參數絕熱調控自旋態[44].最近多項實驗工作提出了遠距離傳輸量子態的方案[45-49].實驗[50-51]在多量子點陣列中成功耦合裝載并傳輸了多電子的自旋糾纏態, 通過調整能級差將保持糾纏態的多電子中的單個電子遠距離絕熱傳輸.實驗中也已經可以做到硅多量子點中一次裝載傳輸雙電子或三電子糾纏態[52].

2 量子絕熱捷徑技術

自1984 年發現Berry 相位以來, 量子絕熱定理成為了量子理論中最重要的結論之一[53].近年來, 絕熱過程在量子態制備[54]、量子操控[55]等領域得到廣泛應用.量子光學中快速絕熱通道, 如Landau-Zener 方案, 就被廣泛應用于量子點系統[56], 可用于制備糾纏態和量子邏輯門.然而, 現實中量子絕熱過程是一個慢過程, 隨著量子信息傳輸和處理規模的提高, 量子絕熱計算或者量子操控的結果會因環境退相干等因素而受到影響.為此, 人們不斷尋找新的調控方法來縮短控制時間, 盡可能地減小系統誤差和環境噪聲帶來的影響.近年來, 我們提出了量子絕熱捷徑技術[57-59], 用來加速不同物理系統中量子絕熱的“慢”過程, 減小系統能耗或環境退相干的影響.量子絕熱捷徑技術能大幅度地減少系統的演化時間, 在有限的時間內產生類似量子絕熱過程的結果.目前, 量子絕熱捷徑技術已經成功地應用于各種物理系統中, 如光學囚禁勢中的原子冷卻[60]、機械諧振子冷卻[61-62]、光晶格中波包傳播[63-64]、RCL 電路[65]、多體相互作用自旋體系下的疊加態或糾纏態制備[66]等.在自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate)中, 通過該技術得到了冷原子的快速優化轉移路徑[67], 并且基于變分法發展了快速孤子壓縮的量子絕熱捷徑方法[68].量子絕熱捷徑技術為量子態的快速、穩定的操控提供了較有效的方法, 促進了原子、分子、光物理以及量子信息科學與技術等領域的科學研究.同時, 量子絕熱捷徑技術不斷完善和發展, 成為量子控制的一個重要方法.量子絕熱捷徑技術主要有基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制法[58]、量子無摩擦動力學[69]和多重薛定諤繪景(Schr¨odinger picture)[59]等.

2.1 基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制法

基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制方法在給定的時間下, 確定波函數在初始和最終時刻的狀態, 設計中間路徑, 從而反向設計哈密頓量.對于一個含時的哈密頓量H(t), 薛定諤方程為

哈密頓量的不變量I(t)滿足不變量的條件

式(3)的解(波函數)可以表示為I(t)瞬時本征態|χn(t)〉的疊加:

式中: 幾率振幅cn是常數,n=1,2,···; 波函數|χn(t)〉是I(t)的正交本征矢, 滿足

λn是常數; 相位

被稱為Lewis-Riesenfeld 相位.利用不變量的本征態和本征值, 定義不變量為

由Lewis-Riesenfeld 相位和不變量的本征態表示含時的幺正算符U, 有

則哈密頓量演化的幺正算符滿足

由式(10)可以解出哈密頓量H(t),即

對于一個二能級系統(如單電子自旋系統), 以徑向角θ和方位角?參數化布洛赫球, 可以構造不變量I(t)的2 個正交本征態:

進而構造I(t).式(12)選取單本征態模式或是雙本征態模式將會得到不同的路徑解.

根據邊界條件設定t=0 和t=tf時刻的波函數及其導數, 可以確定θ和?在邊界時刻的值.使用不同連接函數連接這2 個角度在邊界上的值, 可以得到θ(t)和?(t)的函數.將波函數的表示代入式(3)或式(4)中, 可以得到θ和?對于時間的一階微分方程, 再由這2 個微分方程可以反推出需要的外加場.

反控制法對于具有共振條件等特定對稱性的三能級和多能級系統同樣適用.利用旋波近似, 共振條件下的三能級系統的哈密頓量[70]表示為

式中: 拉比頻率?23(t),?12(t)表示泵浦場和斯托克場的相互作用.

為了構造不變量, 基于二維幺正矩陣SU(2)的對稱性, 哈密頓量可表示為

式中:

并滿足對易關系

用角度χ和η參數化波函數, 則有

對應的動力學不變量[70]滿足式(4), 可表示為

將波函數|Ψ(t)〉代入式(3), 可以得到

一旦根據邊界條件獲取恰當的χ和η, 由式(19)和(20)就可以反推導出脈沖

2.2 量子無摩擦動力學

量子無摩擦動力學從參考哈密頓量出發, 有

其絕熱近似解為

式中:

時間演化算符可以表示為

哈密頓量可以寫為

總哈密頓量可以分為2 個部分:

式中:

H1(t)稱為反絕熱躍遷項[71], 它的存在使系統嚴格地沿著H0(t)的瞬時本征態演化.對于共振條件下的三能級系統(如電荷在三量子點中傳輸), 系統的哈密頓量如式(13)所示, 其瞬時本征態可表示為

對應的本征值E=0,E±=±??/2, 其中

2.3 多重薛定諤繪景

在實際應用中,H1(t)部分可能難以實現.例如, 電子在三量子點中傳輸反絕熱躍遷項位于非相鄰量子點之間[71], 雙量子點中需要添加不同方向的外場而引入新的噪聲[72].利用幺正變換將哈密頓量轉換繪景, 尋找更容易實現H1(t)的繪景, 也是絕熱捷徑技術的一個手段.某個表象中的薛定諤方程可表示為式(3), 在另一個繪景中, 則表示為

2 個繪景中的波函數由幺正變換相聯系, 二者的關系可表示為

而哈密頓量的關系則可表示為

2 個繪景中的哈密頓量在初始時刻和末時刻保持一致, 但中間時刻不同, 需要滿足U(0) =U(tf) = 1.新表象中的哈密頓量H′能夠在物理上更容易實現, 或者是外加場的數量更少, 這樣就找到了另一種捷徑技術.例如, 電荷在能級相等的三量子點中傳輸, 由于反絕熱躍遷項是量子點1 和3 之間非相鄰項間的耦合, 故在實驗上實現有困難, 研究者可通過哈密頓量的旋轉,找到電荷從量子點1 至3 非絕熱傳輸的方案:

然而, 傳輸過程中量子點2 內會有幾率激發.

2.4 綴飾態方法

綴飾態方法[73]在絕熱表象下尋找額外控制項, 消除參考哈密頓量的非絕熱部分, 并在綴飾態基矢下得到等效的控制場.絕熱表象中哈密頓量為

式中:H0(t)為三能級共振條件下的哈密頓量; 幺正變化算符為

式中:

是自旋為1 的生成元矩陣, 為了消除非絕熱躍遷, 絕熱表象中的哈密頓量為

式中: 幺正變換矩陣為

綴飾態方法的優勢是尋找到控制外場在加速的同時, 能夠抑制中間態的激發[74].

3 量子絕熱捷徑技術在量子態操控的應用

從量子點中態控制方案現況來看, 加速態控制不但能加速信息傳輸的速度, 而且還能減小環境退相干的影響, 提高調控的保真度.量子絕熱捷徑技術能夠有效縮短操控時間, 并得到對于參數誤差、環境噪聲而言非常高的魯棒性.Ban 等[75]使用基于不變量的反控制法, 通過外加電場脈沖并利用其與自旋軌道耦合相互作用, 控制單量子點中單電子的自旋反轉, 這是第一次將絕熱捷徑技術運用到量子點系統中控制量子態; 隨后, 在雙量子點中使用量子無摩擦動力學得到了單重態-三重態比特[72], 提出了快速產生糾纏態的方法, 并用反控制法得到了快速而穩定的比特門[76].此外, 電子在三量子點陣列中的非絕熱傳輸方案可以由絕熱捷徑技術加速[71,77], 該非絕熱傳輸方案還可以推廣至(2n+1)個量子點體系, 從而將絕熱捷徑技術推廣至多能級體系中.在三量子點三角陣列中, 還可以利用量子無摩擦動力學、綴飾態方法、共振等方法快速產生和傳輸電荷態[74].Masuda 等[78]運用反控制法, 通過選擇自旋方向在量子點陣列中傳輸電子.運用反控制法還能給出在任意長量子點陣列中雙電子自旋糾纏態的非絕熱傳輸方案, 由于控制時間遠小于環境退相干時間, 故保真度較絕熱方案大大提高.

3.1 基于不變量的反控制法操控單量子點中的電子自旋反轉

考慮2 維電子氣(xy平面)中形成的門電壓控制的量子點(見圖1).電子在垂直于平面方向(z方向)上因材料不同、勢函數不同而運動受限.在量子點中, 外加弱磁場B0平行于z方向,引起軌道能級劈裂, 即塞曼效應.考慮Rashba 自旋軌道耦合和Dresselhaus 自旋軌道耦合, 相應的速度算符也受到自旋軌道耦合強度影響.電場與自旋軌道耦合相互作用可以表示為

式中:A(t)是電場的矢勢, 表明通過調控外加電場強度可以控制自旋方向, 也可以理解為自旋軌道耦合誘導的電偶極矩自旋共振.文獻[75]將研究模型簡化為軌道態為基態, 自旋態向上和向下2 個態之間的躍遷, 使用L¨owdin partition 方法[79]計入其他軌道態的影響, 由此可以寫出形式為2×2 矩陣的哈密頓量Heff.文獻[53]選取單本征態模式|Ψ(t)〉= eiα+(t)|χ+〉, 即波函數的演化路徑與不變量的一個本征態演化的路徑一致(相位可以不同).

確定自旋反轉過程所需要的操控時間tf, 根據文獻[75]所設定的邊界條件, 即在t= 0 和t=tf的波函數, 可以確定θ和φ在邊界時刻的值.文獻中使用多項式連接這2 個角度在邊界上的值, 得到θ(t)和φ(t)的函數.將此波函數的表示代入薛定諤方程中, 可以得到θ和φ對于時間的一階微分方程, 并與電場的矢勢Ax和Ay有關, 由此可以反推出矢勢Ax和Ay.文獻[75]給出了tf為納秒量級情況下, 由基于不變量反控制法設計而得到的電場脈沖, 并分析了初始參數φ(0)具有一定偏差下方案的穩定性, 討論了開放系統下外界環境對于自旋翻轉的影響.由Lindblad 型主方程推導出保真率與不同tf的關系, 并發現tf越小保真度越高, 這是由于在環境退相干作用下, 反轉過程越短受到影響越小.

3.2 雙量子點中的單重態-三重態比特

文獻[76]研究了雙量子點中基于Lewis-Riesenfeld 不變量的反控制方法, 設計時變電場,提出了雙量子點中雙電子自旋單態-三重態空間的快速躍遷方案.該文獻應用了雙本征態模式驅動, 直接運用Lewis-Riesenfeld 相位, 設計了布洛赫球上任意2 點之間的自旋操控, 并對電場強度進行了最優化設計.考慮的情況為雙電子受限于雙量子點中, 外加時變電場也在xy平面內.

雙量子點中電子波函數的空間寬度小于每個點中勢的極小值位置之間的距離.由于電子庫侖相互作用, 每個電子受限于量子點中, 而不發生隧穿.哈密頓量動能、勢能和相互作用可以用自旋算符表示:H0=J(sL·sR), 其中J是海森堡相互作用項,sL,sR分別是左右2 個點內電子的總自旋.在(s,sz)表象下,s和sz分別代表總自旋和自旋z分量, 最低的4 個能級分別是單重態|0,0〉和三重態|1,1〉、|1,0〉和|1,?1〉.這里依然考慮Rashba 和Dresselhaus 自旋軌道耦合.電場與電子自旋相互作用項可以寫成

式中:A(xj,yj)是時變電場的矢勢.對于GaAs 半導體,g <0, 當|0,0〉與|1,1〉的能級差遠小于塞曼能級差時, 可以將模型簡化為這個二能級系統, 而忽略其他能級的影響.這個等效的哈密頓量以|0,0〉≡|1〉=(1,0)T和|1,1〉≡|2〉=(0,1)T為基矢.通過布洛赫球上的角度θa和φa,找到哈密頓量的不變量.根據Lewis-Riesenfeld 理論, 可以反解出電場的矢勢AxL,AxR.與單電子自旋反轉[75]不同, 文獻[55]給出系統的波函數是不變量的2 個本征態模式的疊加:

因此, 波函數在t= 0 和t=tf時刻, 波函數不再是哈密頓量的本征態, 即[H(0),I(0)]?= 0,[H(tf),I(tf)]?= 0.雙本征態模式的采用給出了更多的自由度.自旋態在以|0,0〉,|1,1〉分別為南北極的布洛赫球上的任意2 點間演化都可以找出演化路徑和對應的外場方案.通過調控Lewis-Riesenfeld 相位, 有效地降低了外加電場的強度.文獻[76]給出了波函數演化和不變量的2 個本征態演化對應路徑的示意圖(見圖3), 還提出了構造Hadamard 門的絕熱捷徑方案.

圖3 演化路徑示意圖[76]Fig.3 Schematic diagram of the trajectory of state evolution[76]

文獻[72]使用量子無摩擦技術, 提出了同樣考慮自旋軌道耦合的雙量子點中產生自旋糾纏態快速而穩定的方案, 數值計算表明該方案所需時間遠少于從|0,0〉到|1,1〉的絕熱躍遷的時間.與單量子點不同, 量子無摩擦動力學適用于雙量子點中的雙電子自旋控制, 因為對每個點在x和y方向外加電場, 存在4 個可調控參數, 具有更大的自由度.根據絕熱定理, 可以找到只在x方向施加電場的絕熱操控方案.通過添加反絕熱躍遷項, 得到類似于絕熱演化過程的結果, 可大大縮短操控時間.值得注意的是, 反絕熱躍遷項需要由外加y方向的電場執行.為簡化實驗裝置, 減少與器件有關的噪聲, 文獻[72]使用了多重薛定諤繪景的概念, 尋找另一種只存在x方向電場的絕熱捷徑, 并且在限定最大的電場強度限制下, 得到tf→0 時最大電場強度與操控時間的關系:

還發現降低操控時間可以大大提高自旋比特在外界噪聲和系統誤差下的魯棒性, 這有助于快速制備量子糾纏態.

3.3 多量子點體系中量子態的傳輸

3.3.1 多量子點陣列中電荷態的非絕熱傳輸

Greentree 等[42]于2004 年提出了絕熱通道耦合轉移方案在三量子點陣列中傳輸電子電荷, 該方案是一種空間絕熱通道過程, 是受激拉曼絕熱通道[80]的一種變形.考慮三量子點一維陣列, 其每個量子點中能級高度一致.由此, 哈密頓量可以寫為

式中: 相鄰點之間的隧穿系數由外加高斯型脈沖電壓

控制; h.c.表示厄米共軛.該哈密頓量具有能量為0 的瞬時本征態, 即暗態

電荷態可以通過該暗態, 從態|1〉絕熱地傳輸至態|3〉, 而不激發量子點2 中的粒子數.為了實現非絕熱傳輸, 同時抑制傳輸過程中間點內幾率的激發, 文獻[56]使用了反控制法[70]給出了三量子點中電荷的非絕熱傳輸方案, 得到了控制外場~?12和~?23(區別于高斯型?23(t)和?12(t)), 該方案調控脈沖幅度為1～10 GHz 量級, 傳輸時間在納秒量級, 量子點2 中布居數的激發幾率可控在1%以下.

文獻[71]將三量子點中電荷的非絕熱傳輸方案推廣至任意奇數個量子點陣列中.2n+1個量子點陣列中電荷的傳輸可以使用絕熱通道跨場相干傳輸(straddling coherent transfer by adiabatic passage, SCTAP)[42,81]技術實現.系統的哈密頓量可以寫成

式中:?1,?2分別是第1,2 個點之間和第2n,2n+1 個點之間的耦合系數;?s是第2,3,··· ,2n個點之間的耦合系數;(ci)是產生(湮滅)算符.在奇數個點陣列中, 因為譜對稱性[78], 所以哈密頓量具有暗態, 其非歸一化形式為

第偶數個點內的態的幾率為0, 只有第奇數個點的幾率需要調控.而當

時, 第3,5,···,2n ?1 個點中的幾率可以被抑制.因此, 只需調控?1和?2, 就可實現電荷在陣列兩端的傳輸, 并且不激發中間點中的幾率.為實現2n+1 個量子點陣列中電荷的非絕熱傳輸, 可將其等效為一個三量子點.第3,5,···,2n ?1 個點中幾率可以通過施加幅度非常大的電場?s來抑制, 即將X系數控制得非常小.而對于第偶數個點內粒子數的激發抑制, 只需要采用

3.3.2 三量子點中電荷態的快速產生和傳輸

文獻[74]提出了加速受激拉曼絕熱通道和分數-受激拉曼絕熱通道方法, 分別使用了量子無摩擦動力學、綴飾態方法、共振技術, 獲得了三量子點系統中電荷疊加態快速非絕熱的3 種產生和傳輸方案, 并分析了3 種方案的區別.在GaAs/AlGaAs 2 維電子氣中, 三量子點體系由三角形排列的3 個量子點組成, 量子點間的隧穿系數由外加電極調控電壓來控制.

通過施加雙曲正切形狀或者高斯型的場, 可以獲得電荷疊加態產生和傳輸的絕熱過程.量子無摩擦動力學將絕熱通道過程縮短了100 倍.該方法找到了反絕熱躍遷項, 使得態的演化一直處在系統的暗態上.然而, 反絕熱躍遷項添加了不同能級的耦合項, 為了避免添加不同方向的外加電壓影響控制效率, 還需要旋轉哈密頓量, 從而獲得等效的控制場.值得注意的是, 在t=t0和t=tf時刻, 態在哈密頓量旋轉后與暗態保持一致, 中間時刻的動力學有所不同, 中間態將有所激發.綴飾態方法提供了另一種絕熱捷徑技術, 在綴飾態基矢中尋找反絕熱躍遷項.由于該方案提供了更多的自由度, 故中間態在中間時刻的激發可以控制在1%以下.在絕熱表象中, 將哈密頓量類比于磁場中自旋為1 的自旋進動.在外加電場作用下, 自旋繞等效磁場進動一周, 就完成了一次調控過程.這樣的共振過程也提供了一種絕熱捷徑技術.

3.3.3 量子點陣列中的自旋選擇性電子轉移

文獻[78]提出了一種在硅量子點陣列中的自旋選擇性相干電子轉移方案, 根據自旋態的不同, 利用時控門電壓將電子轉移到不同的量子點.該文獻研究了3 種不同的方案: 基于π 脈沖的非絕熱控制、自旋受激拉曼絕熱通道和基于不變量的反控制方案, 其中基于不變量的絕熱捷徑方案, 使得同一自旋方向的電子傳輸的操控時間短于自旋受激拉曼絕熱通道方案, 并且比π 脈沖控制的魯棒性更強.簡單π 脈沖對于時間的積分面積的誤差較為敏感, 導致布居數的轉移并不完美.電子的自旋受激拉曼絕熱通道, 具有較強的魯棒性, 但是操控時間比較長.此外,文獻[78]還證明了該方案可以擴展到多電子系統來實現雙量子比特門.

3.3.4 雙電子自旋糾纏態在多量子點陣列中的傳輸

文獻[77]提出了雙電子自旋糾纏態(包括單重態、三重態), 在n個多量子點陣列中的非絕熱傳輸方案.相較于絕熱方案, 通過調控相鄰點間勢壘高度, 非絕熱方案縮短了操控時間, 減小了環境退相干的影響.雙電子在多量子點陣列系統中的傳輸可以用Hubbard 模型描述.當所有量子點內能級高度一致時, 單重態、三重態空間內各自都有暗態.當電子庫侖相互作用大于隧穿系數最大幅度的平方時, 反平行和平行自旋單重態之間的躍遷可以忽略.調控隧穿系數可以絕熱傳輸單重態|S12〉 →|S(n?1)n〉和三重態, 并在四量子點中絕熱傳輸(|S12〉 →|S14〉).該文獻還采用了反控制法非絕熱傳輸糾纏態, 將操控時間縮短到1/50, 達到納秒量級.用2 個角度χ和η來參數化波函數, 如式(19)～(20)所示.在滿足邊界條件情況下選擇Gutman 1～3 路徑, 可得在三量子點中(|S12〉 →|S23〉)非絕熱傳輸的隧穿系數:

以三量子點為基本單位, 任何長度為n個量子點(n >3)的陣列中(|S12〉 →|S(n?1)n〉)非絕熱傳輸都可以由一組n ?2 個系列電脈沖來控制隧穿系數:

如果在三量子點糾纏態的傳輸時間為tf, 那么n個量子點的傳輸時間為(n ?2)tf.文獻[77]還討論了非絕熱傳輸在電荷噪聲、電脈沖幅度擾動、核自旋影響下的保真度, 發現縮短傳輸時間相較于絕熱傳輸能有效提高保真度.

4 結論與展望

本工作回顧了半導體量子點中, 使用量子絕熱捷徑技術控制電荷態和自旋態的非絕熱控制方案, 包括單量子點中單電子自旋比特操控、雙量子點中單重態-三重態操控、三量子點中電荷態產生和傳輸、多量子點中電荷態的傳輸、多量子點中自旋糾纏態的傳輸等, 其中電子量子態的非絕熱操控時間在納秒量級.在考慮環境退相干、外加場幅度噪聲、系統誤差等環境條件時, 非絕熱操控方案相較于絕熱操控方案具有更高的保真度.這些方案為設計和實現固態量子器件提出了重要理論依據, 為基于半導體的大規模量子信息處理和固態量子計算預示了良好的前景.