以“數”解“形”，以“形”助“數”

姚慧

教學內容：人教版《義務教育教科書·數學》六年級上冊第107頁例1。

教學目標：1.通過從不同的角度觀察圖形，發現圖形中隱藏著的數和式的規律，能用數和式來表達圖形的規律，感悟形的問題中包含著數的規律;2.根據數或式，聯想與之對應的圖形，能借助圖形來解釋數和式的規律，感悟數的問題也借助形來解決;3.借助數形結合，探索發現從1開始的連續奇數之和與“正方形數”的關系，感受數形結合解決問題的優越性。

教學重點：充分感受數與形之間的緊密聯系，體會數形結合思想。

教學難點：借助數形結合，探索發現從1開始的連續奇數之和與“正方形數”的關系，感受數形結合解決問題的優越性。

教學準備：課件、圓片圖、探究學習卡。

一、談話引入

（一）引出華羅庚名言

師：同學們，認識他嗎？對，他就是我國偉大的數學家華羅庚先生。

師：華羅庚先生曾說過這樣一段話，一起來讀一讀吧。

（課件出示：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。——華羅庚）

師：誰能說說你對這段話的理解？（生答略）

師：正如你們所說，這段話的意思就是說：只有數，沒有形，不夠形象直觀，只有形，沒有數又難以分析得細致入微。數和形相輔相成，密不可分。

師：既然數與形的關系如此密切，今天，我們就一起來探究數與形的奧秘。

（師板書：數與形）

（二）解讀“數”與“形”

師：在小學六年的數學學習里，其實我們每天都與“數”和“形”朝夕相處。那你們覺得“數”包含什么？

生：自然數、整數、分數、小數……

師：你們說得不錯。不過，這里的“數”不僅包括整數、分數、小數這樣的數，它包含的內容更廣。想想看數與數還可以組成什么呢？

生：算式、等式、不等式……

師：對了。像數列、算式、等式、不等式等等同樣屬于“數”的范疇。

師：“形”又包含什么呢？

生：平面圖形、立體圖形……

師：除了平面圖形、立體圖形、想想看，我們還接觸過哪些圖形？……

生：線段圖、統計圖……

師：是的，這里的“形”包含的內容也很很廣泛，還包括我們接觸過的點子圖、線段圖、統計圖等等。

二、以“數”解“形”：用“數”或“式”表達“形”中的規律

（一）借助“三角形”點子圖 想 “數”和“式”

師：說到點子圖，我們在一年級認識數的時候就接觸過。今天，我們就借助它來探尋隱藏在圖形中的規律。

1.用“數”表達“形”

如果用1個小圓點代表1，請看，這是哪個數？這個呢……

（師逐個課件出示4個“三角形”點子圖，并結合生回答出示對應的4個“數”）

生：1、3、6、10。

2.用“算式”表達“形”

師：那如果用“算式”來 表達 小圓點的個數，可以怎么表達？第1幅圖對應的算式就是？第2、3、4幅圖呢？

生：1、1+2、1+2+3、1+2+3+4。

（師結合生回答課件逐個出示4個“三角形”點子圖對應的4個“算式”）

師：我們就以最后這幅圖為例，說說你是怎么觀察得出算式的？

生：橫看或斜看。（左斜、右斜）

師：那第4幅圖對應的算式就是？第3、2、1幅圖呢？（生答略）

（過渡）師：剛才我們從不同角度觀察 一組圖形，卻都得出了同樣的算式。是不是所有的圖形都是如此呢？

（二）借助“正方形”點子圖 想 “數”和“式”

1.用“數”表達“形”

師：大家看，這幅圖可以表示哪個數？這個呢？這個呢？

生：1、4、9、14。

（師逐個板貼4個“正方形”點子圖，并結合生回答板書對應的4個“數”）

（板書）

1

4

9

16

2.用“算式”表達“形”

（1）自主探究

師：仔細觀察，你還能分別用“算式”來表達每個圖形小圓點的個數嗎？

下面請大家先獨立思考，完成探究學習卡1。（課件出示活動要求）

（生探究學習，師巡視指導，選取代表性作業單）

（2）分享交流

師：老師邀請了幾位同學上臺分享，請分享的同學重點以最后一幅圖為例，給大家說說你們是怎樣觀察和思考的。

①方法1：橫向觀察或豎向觀察。（如圖所示：或）

1×1、2×2、3×3、4×4

1、2+2、3+3+3、4+4+4+4

12、22、32、42

師：這些算式的觀察角度一樣嗎？表達的意義一樣嗎？

生：一樣，都是橫向或豎向觀察，都表示的是幾行幾列的正方形點子圖。

師：來。我把你們的成果板書在黑板上。請所有同學一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應算式。

師：你們很不錯，通過橫向觀察、豎向觀察，用 乘法算式 表達了圖形的規律。

②方法2：斜向觀察。（左斜或右斜）（如圖所示：? ? ? ?或? ? ? ? ?）

1+2+1、1+2+3+2+1、1+2+3+4+3+2+1。

師：我也把你們的成果也板書在黑板上。請所有同學一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應算式。

師：你們很有想法。通過斜向觀察，用這樣的加法算式表達了圖形的規律。

③方法3：折向觀察。（如圖所示：或或或）

1+3、1+3+5、1+3+5+7。

師：這位同學發現的規律比較獨特，請你也以最后這個圖為例，分享一下你是怎樣觀察思考的。

生：第一幅圖形中有1個圓形，用1表示;第二幅圖形是在1個的基礎上增加了一個“┐”字形，增加了3個……

師：你們眼光可很犀利，還還想到這樣 拐著彎來觀察，用另一種加法算式 表達了圖形的規律。

師：我把你的成果也板書在黑板上。請所有同學一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應算式。

（3）鞏固觀察方法

師：借助劃線的方法，我們能很直觀地就看出了每個算式表達的規律。現在根據劃出的線，你能很快速地說出相應的算式嗎？（課件動畫出示各種劃出1根線標出觀察方向的“正方形”點子圖）

（4）溝通“數”、“算式”和“形”的聯系

師：你們看。同樣的圖形，觀察的角度不同，得出的算式就不一樣。這些算式又有什么關系嗎？

生：相等。

師：是的，這些算式都相等，而且都等于？

生：16。

師：為什么這些算式不同，結果卻又完全相等呢？

生：那是因為這些算式都對應著同一副點子圖。

師：那黑板上面的這幾組算式結果相等嗎？

生：相等，都等于9或4或1。

（過渡）師：形的問題包含著數的規律。那么，數的問題是否也可以借助形來思考呢？

（師板書）

三、以“形”助“數”：由“數”或“式”想“形”

（一）根據算式，想圖形、平方數、其它算式

師：那現在如果給出1+3+5+7+9這個算式，你會想到什么？把你想到的都記錄在探究學習卡2上。

（生探究學習，師巡視指導，選取代表性作業單）

師：你想到了什么？你是怎樣想的？

生1：我會想到邊長為5的點子圖。1對應著邊長為1的點子圖……1+3+5+7+9應該對應著邊長為5的點子圖。

師：你能想到算式對應的圖形，真棒。

生2：我想到了1+3+5+7+9=52。因為1+3+5+7+9這個算式對應的應該是4行4列的“正方形”點子圖，所以，點子的總個數就是52。

師：你想到了借助圖形來思考，真不錯！

生3：我會想到1+3+5+7+9=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1。我是先想到邊長為5的正方形圖，然后從橫向觀察就可以得到5×5，斜向觀察就可以得到1+2+3+4+5+4+3+2+1。

師：你不僅聯想到了算式對應的圖形，而且還借助圖形從不同的角度觀察思考得出了其它的算式，真厲害。

（師結合生回答，動畫出示課件）

師小結：正是因為1+3+5+7+9對應的圖形是一個5行5列的點子圖，邊長為5，所以，它的總個數就是5×5=52=25個。

（二）根據平方數，想圖形、和其它算式

師：這次提高難度，不動筆，看見62，你又會想到什么？（課件出示：62）

生1：62=36。

生2：看見62，我會想到邊長為6的點子圖。

生3：我還想到一個有6個加數的算式。1+3+5+7+9+11=62=36

生4：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=36。

（師結合生回答，動畫出示課件）

（小結）師：同學們，你們真不錯，你們都能由數或算式聯想到圖形。同時，再借助這個圖形，又聯想到了它對應的其它算式。由數想形，又由形想數，實現了數與形的結合。

（三）以形解數、探尋規律

1.觀察算式，體會規律

師：現在看看我們剛才研究的過程，（下轉第24版）? ? （上接第23版）左邊的算式有什么相同的特征？ 左邊的算式和與右邊的平方數之間又有什么聯系呢？（同桌交流）

課件出示：

生1：幾個奇數相加，和就是幾的平方。

生2：都是從1開始的。

師：我們結合圖形想一想，如果加數不從“1”開始，圖形會是怎樣？結果還會是奇數個數的平方嗎？

生3：而且還是連續的奇數相加。

師：我們再結合圖形想一想，如果不是連續奇數相加，圖形又會是怎樣？結果還會是奇數個數的平方嗎？

（課件演示：從1開始 的幾個 連續 奇數的和 = 奇數個數2）

2.以形助數、驗證規律

師：是不是這樣呢？我們借助點子圖再來看一看。（PPT動畫演示）

1個小圓點，1個奇數，對應邊長為1的正方形，總個數是12，

1+3個小圓點，2個奇數，對應邊長為2的正方形，總個數是22，

1+3+5個小圓點，3個奇數，對應邊長為3的正方形，總個數是32，

1+3+5+7，4個奇數，邊長為4，總個數是42 。

繼續這樣下去，這個結論正確嗎？

師追問：那正方形的邊長到底與算式中的什么有關系呢？

生：奇數的個數。

師：是的，我們會發現，有幾個從1開始的連續奇數相加，就能排成一個邊長為幾的正方形點子圖，它的總個數就是幾的平方。

3.歸納推理，總結規律

師：像這樣從1開始10個連續奇數相加，它們的和等于多少？ 50個呢？100個呢？

師：像這樣從1開始，n個連續奇數相加，就能聯想到一個邊長為幾的正方形？得數就是？

生：邊長為n，得數是n2。

板書：

師：要想快速求出從1開始的連續奇數相加的和，關鍵是要關注什么？

生：奇數的個數。

師：有幾個奇數它們的和就是？

生：幾的平方。

（小結）師：同學們，不知不覺中，其實剛才我們運用“正方形”點子圖幫助我們解決了從1開始的連續奇數求和問題。

通過剛才的學習我們發現，原來形中有數，數中有形，數與形是相互關聯的，這就是我們今天研究的“數與形”。

四、拓展延伸：數史介紹

微課視頻：同學們，你們知道嗎？正是因為1、4、9、16、25這些數都對應著正方形的點陣圖，古希臘數學家 畢達哥拉斯 把它們形象地稱為“正方形數”，又叫平方數。我們再來看，課前，我們用1個、3 個、6 個、10 個小圓片剛好都能排成三角形。因此 1、3、6、10、……這樣的數被形象地稱為三角形數。以9這個正方形數為例，如果將這個正方形一分為二，你會發現三角形數和正方形數之間還有著奇妙的聯系。隨著學習的不斷深入，同學們還可以認識到更多有趣的數，比如，梯形數、五邊形數等等。而且這些數與形之間也有著奇妙的聯系，等待著同學們進一步地去發現。

五、課堂小結

（一）知識回顧

師：形的問題包含著數的規律，數的問題也可以通過形來解決，這就是數形結合的思想。請同學想一想，我們曾經還學過什么樣的知識是數與形相聯系的呢？

生1：我們借助圖形理解分數、小數的意義，

生2：我們利用圖形轉化的方法，推導平行四邊形的面積計算公式。

生3：我們借助圖形尋找植樹問題中棵樹和間隔數的關系。

生4：這學期，我們借助長方形模型理解分數乘、除法的算理。

師：同學們說得非常好，你們看，其實數形結合的例子無處不在、比比皆是。而在今后的學習中，我還將繼續利用數形結合思想來解決更多的問題。

（二）暢談收獲

師：再次回顧華羅庚先生的這段話，你能結合本節課中你印象最深刻的例子，談談你的收獲嗎？

生1：通過今天的學習，我學會了借助圖形來思考問題，比如，連續奇數求和的算式，直接計算很麻煩，但如果能聯想到它對應的正方形圖，就能很快得出答案。

生2：今天的學習讓我充分體會了數與形之間的聯系，比如，看到一個數，我會去聯想它對應的圖形，看到一個圖形，我也會試著去觀察圖形的規律，并用數或算式去表達這個規律。

師：的確。把數和形結合起來解決問題，可以使抽象的問題變得更直觀，使復雜的問題變得更簡單。而有關數形結合思想 還需要同學們在以后的學習中不斷地探索和應用，相信它一定會成為你們學習的好伙伴。

板書設計：

五、教學思考

數學是研究數量關系與空間形式的科學，數與形是數學的兩大研究領域，兩者有著千絲萬縷的聯系。數形結合的思想對于小學生而言，在之前的學習中有所感知，但這種感知往往只是滲透在某個教學環節中。而數學廣角——“數與形”，以一個章節的篇幅出示，我想其目的就是要幫助學生更好地建立數和形聯系的紐帶。

通過仔細研讀教材和教參，筆者發現，人教版教材《數與形》這一章節的編排不管是數，還是形，都突出對規律的探索。于是，在筆者的第一次教學設計中，筆者也將教學重點定位于：引導學生探究和發現“正方形方格圖”中蘊含的多種規律，并通過數形結合，探索發現從1開始的連續奇數求和算式和正方形數（即平方數）之間的關系。但是，在磨課后，筆者意識到如此定位教學重點有失偏頗，因為過重地強調了規律的探索，就會使感悟數形結合思想的教學目標流于形式。于是，筆者重新對本課進行了結構性的調整。

（一）整合資源，合理定位教學重點

在磨課過程中，筆者又研讀了其它版本的教材，例如，北師大版教材在五年級上冊——圖形中的規律 這一章節中，也有“數與形”這一內容，但北師大教材與人教版教材的編排有很大的不同，人教版教材這一章節名為《數與形》，但卻注重探索規律、應用規律，而北師大版教材這一章節名為《圖形中的規律》，但卻更注重于“由形想數”，突出從不同角度觀察圖形，發現規律，并得出不同的算式。兩種版本的教材各有所長，各有側重。

思考再三，筆者決定各取所長，為“我”所用。筆者認為，揭示數和形之間存在著的內在聯系，讓學生充分感悟數形結合的思想才是本節課的立足之本和核心目標。規律的探索雖然不能作為本課的教學重點，但可以作為數形結合的應用之一，借此讓學生體會到數形結合在解決有些特定問題時的優越性，從而更深刻地感受數與形的密切關系。基于上述思考，筆者最終將教學重點定位為：充分感受數與形之間的緊密聯系，體會數形結合思想。

（二）追根溯源，精心選擇教學素材

對比人教版和北師大版的教材，在教學素材的選取上，人教版教材使用了小正方形圖，而北師大版教材選擇了點子圖;到底如何取舍呢？通過查閱相關資料，筆者了解到“正方形數”其實有著深厚的文化背景，它是兩千多年前古希臘數學家畢達哥拉斯研究正整數時發現的規律。“形數”原意為“石子”，畢達哥拉斯就是通過把小石子擺成不同的幾何圖形，然后從不同的角度來數出幾何形體中的石子數， 從而發現了三角形、正方形數、多邊形數等更多形數的特征。于是，筆者決定追根溯源，選擇了用點子圖作為本課的教學素材。

（三）數形結合，溝通數與形的聯系

具體又從“由形想數”和“由數想形”兩個方面來展開。

1.以“數”解“形”

（1）由“三角形”點陣圖，想“數”和“式”

首先，給出一組“三角形”點陣圖，引導學生觀察圖形得出數和算式，目的是讓學生把從不同角度觀察圖形的經驗順勢遷移到觀察“正方形”點陣圖中。

（2）由“正方形”點陣圖，想“數”和“式”

其次，給予學生充分的時間和空間自主觀察探究“正方形”點陣圖， 有了觀察“三角形”點陣圖的經驗，學生能自然聯想到從橫向、豎向、斜向，甚至倒L的方向等不同的角度觀察圖形， 由此獲得不同的式的規律，而使學生觀察問題的角度和思考問題的思維更加寬廣、更加靈活。

2.以“形”助“數”

由數想形這個環節分為三個層次：

（1）根據算式，想圖形，平方數、甚至其它算式

首先，提出問題“由1+3+5+7+9這個式子，你會想到什么？”放手讓學生展開聯想，自主完成探究學習卡2，進而發現了圖形、算式、及平方數之間的聯系。

（2）根據平方數，想圖形和其它算式

給出62，讓學生繼續聯想到對應的圖形和其它算式，由數想形，同時又借形想數，實現了數與形的結合。

（3）以形助數、探尋規律。

最后，帶領學生一起回顧前面得出的一組算式，通過生生、師生的交流互動，初步得出這組算式的規律，然后，通過圖形驗證得到的結論，推廣到一般，發現蘊含在圖形中的數學規律，最終，得出 從1開始的n個連續奇數的和，與邊長為n的正方形存在著聯系，并且計算結果是n2。以此，發展學生的合情推理能力，培養學生幾何直觀的意識和能力，也進一步滲透數形結合的思想。

（四）數史介紹，有機滲透數學文化

1.課前由華羅庚的名言引入，直奔主題，讓學生初步體會數與形的關系;課末，通過再次回顧華羅庚先生的這段話，讓學生能結合本節課中印象最深刻的例子，暢談收獲。這樣首尾呼應，使學生對數學結合思想的感悟得以升華。

2.出示課題“數與形”后，引導學生說詞解字，同時，傳遞給學生一個理念：“數”與“形”的涵義遠比我們原來理解的范疇更廣泛。

3.引導學生感受三角形數和正方形數的奇妙聯系，做到一圖多用，再次感受數形結合思想，同時，通過介紹各種“形數”，使學生感受數學文化獨特的魅力。

4.通過簡單回顧學生小學六年以來經歷的與數形結合思想相關聯的知識，使學生發現數形結合無處不在， 為學生今后更好的利用數形結合思想打下基礎。

回顧全課，本課從“以數解形”和“以形助數”這兩個方面入手，讓學生充分經歷了“由形想數”，又“由數想形”的完整過程，自然而然地發現了形中有數，數中有形、通過數與形的對應關系相互印證結果，使學生的思維在切實體會數與形的緊密聯系，感受數形結合的思想中一步步頓悟、提升，最終升華。

參考文獻：

[1]張學超，張惠麗，張新旋.“數與形”教學實錄與評析[J].小學數學教，2018：1-2.

[2]馬向葵，杜曉虎.“數與形”教學實錄與評析[J].小學數學教育，2019：7-8.

[3]金妤茜.“反其道而行”，加強數形結合的價值體驗[J].教育世界，2018（6）.