“六連環(huán)狀教學(xué)模型”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用
——以《等差數(shù)列的前n項和公式》為例

◎ 黃美珍

“六連環(huán)狀教學(xué)模型”是在對學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)結(jié)果等方面研究的基礎(chǔ)上，在尊重和利用學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律的條件下，以學(xué)習(xí)過程為中心、以學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果為最終目標(biāo)而構(gòu)建的教學(xué)框架[1]。該教學(xué)模型包括“啟動、自學(xué)、交流、展示、運用、總結(jié)”六個教學(xué)環(huán)節(jié)。將以《等差數(shù)列的前n項和公式》一課為例，闡述這種新型的教學(xué)模式在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

一、啟動：創(chuàng)設(shè)情境、激發(fā)動機

啟動，是指學(xué)生狀態(tài)的啟動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和興趣，讓學(xué)生以盡快速度投入本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)。啟動所用的時間不宜太長，可以以學(xué)生已有的相關(guān)背景知識為課堂的開始，甚至可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要創(chuàng)設(shè)活動場景，從而開啟本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

以《等差數(shù)列的前n項和公式》這一內(nèi)容為例，教師可創(chuàng)設(shè)以下情景，進入課堂的啟動環(huán)節(jié)。

據(jù)說，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：

有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100 支。老師問：高斯，你知道這個V形架上共放著多少支鉛筆嗎[2]？

高斯的算法：(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101×50=5050

【設(shè)計意圖】通過回顧歷史中高斯的小故事，激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定愉快的學(xué)習(xí)氛圍，從而開啟本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

二、自學(xué)：自主探究、驗證猜想

自學(xué)，是指學(xué)生根據(jù)教師預(yù)設(shè)的問題，對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容進行自主探究。強調(diào)的是學(xué)生對知識的主動探索與主動發(fā)現(xiàn)，最終化為自己的知識。所以，教師在備課的時候，要根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)好問題，便于學(xué)生自主探究。

問題1：為什么(1+100)=(2+99)=(3+98)=…=(50+51)呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋。

問題2：你能用上述方法計算1+2+3+…+101嗎？

問題3：你能計算1+2+3+…+n嗎？

Sn=1+2+3+…+n，Sn=n+(n-1) +(n-2)+…+1

將上述兩式相加，得

2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…+(n+1)=(n+1) +(n+1) +(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)

所以Sn=1+2+3+…+n=

【設(shè)計意圖】通過問題引導(dǎo)以及學(xué)生小組合作探究的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，培養(yǎng)學(xué)生合作探究能力和歸納分析能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

三、交流：合作交流、歸納總結(jié)

交流是指學(xué)生之間交流自主學(xué)習(xí)的成果。教師在課堂上是引導(dǎo)者，學(xué)生才是課堂的主體，教學(xué)活動的主要參與者，要倡導(dǎo)發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作精神。教師可以適時組織學(xué)生進行小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生親自參與到探索新知識的過程中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

問題4.上述方法的妙處在哪里？這種方法是否適用于求所有等差數(shù)列{an}的前n項和？

四、展示：知識總結(jié)、加深理解

展示，是指學(xué)生根據(jù)前面的自主探究以及合作交流，展示本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教師可先由學(xué)生進行展示，再進行補充。通過這一環(huán)節(jié)，學(xué)生可以在積極的狀態(tài)中接受新知識，突出學(xué)生的主體地位。

歸納總結(jié)：等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=和Sn=

五、運用：例題講解、鞏固訓(xùn)練

運用，就是要學(xué)以致用，把建構(gòu)的知識、強化的技能與多個知識點聯(lián)合起來，解決實際的問題，完成相關(guān)任務(wù)，實現(xiàn)再創(chuàng)造的過程。

例1.已知數(shù)列{an} 是等差數(shù)列，

1.若a1=7，a50=101，求S50；2.若a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn；總結(jié)：

(1)利用基本量求值：等差數(shù)列中五個基本量，知三求二，利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題。

(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題。例2.已知一個等差數(shù)列{an}前10 項的和是310，前20 項的和是1220。由這些條件能確定這個等差數(shù)列的首項和公差嗎？

【設(shè)計意圖】通過設(shè)置具有代表性、覆蓋性強、梯度性好、難度適中的例題，采用教師講解、學(xué)生思考的方式進行，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的理解，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

課堂訓(xùn)練

設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a3+a5=3，則S5=____

已知等差數(shù)列{an}中，已知d=2，n=15，an=-10，求a1和Sn。

已知等差數(shù)列{an}中，已知a1=20，an=54，Sn=999，求n和d。

【設(shè)計意圖】通過設(shè)置有梯度的練習(xí)，滿足了不同層次學(xué)生的要求。通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

六、總結(jié)：課堂小結(jié)、鞏固重點

總結(jié)，就是在完成課堂教學(xué)內(nèi)容后，對本節(jié)課知識和學(xué)習(xí)方法進行歸納總結(jié)，形成知識網(wǎng)絡(luò)體系。這一環(huán)節(jié)可以幫助學(xué)生對本節(jié)課知識有梳理升華的效果，也能讓教師從宏觀上更好地把握課堂內(nèi)容，對今后教學(xué)有參考的作用。

“六連環(huán)狀教學(xué)模型”下的教學(xué)課堂，旨在實現(xiàn)課堂的“高質(zhì)量”，讓教師有高質(zhì)量的教學(xué)過程，讓學(xué)生有高質(zhì)量的學(xué)習(xí)結(jié)果。通過“六連環(huán)狀教學(xué)模型”設(shè)置《等差數(shù)列的前n項和公式》的教學(xué)，充分尊重和利用了學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，優(yōu)化了本節(jié)課的學(xué)習(xí)環(huán)境。重視與學(xué)生的交流和互動，實現(xiàn)了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和有效學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教師的教學(xué)效果更加凸顯。