利用試探波函數估計簡諧振子基態能級*

伊 雯，邱環環，汪劍津

(江西科技師范大學物理系，江西 南昌 330013)

1 引言

量子力學作為物理系本科生的一門必修課程，由于涉及很多的數學以及與經典物理觀念產生強烈的沖突常常被學生冠以難懂難學的名號。針對這種情況，學生唯有多做習題、勤加練習才能攻堅克難學好量子力學。正如櫻井在他經典的《現代量子力學》序言中所說的那樣：如果一個人學完全書但不會做練習那么他什么也沒學到[1]。由此可見，習題的訓練對學習量子力學的重要性。而實際上不僅僅對于量子力學，對于其他任何一門理工科課程都是如此。

通常來講，量子力學主流的表述方法有三種，即波動力學，矩陣力學以及路徑積分，它們的代表人物分別是薛定諤，海森堡，費曼。波動力學的核心是薛定諤方程，它的地位猶如經典力學中的拉格朗日方程或者哈密頓正則方程，規定了微觀粒子如何運動。矩陣力學的核心是希爾伯特空間，希爾伯特空間即由系統正交歸一化的能量本征態所支起來的空間，波函數可以理解為希爾伯特空間的一個向量。路徑積分的核心是由作用量所定義的傳播子和費曼圖，路徑積分在高能物理和量子場論中具有極其深遠的影響。由于路徑積分所要求的基礎理論物理知識和數學知識要高于波動力學和矩陣力學，所以通常的本科學習階段接觸的主要是波動力學和矩陣力學。

如果說波動力學的核心是薛定諤方程，那如何求解形如下式的定態薛定諤方程是波動力學的核心任務：

定態薛定諤方程的求解通常是困難的。能嚴格求解的也就幾個模型，如常數勢，簡諧振子，二體中心力場模型。對于稍微復雜一點的情況如氦原子或者氫分子想要嚴格求解已是不可能。然而人的求知欲是不可能停止的，于是就發展出了微擾論和變分法。微擾論和變分法都需要一個能嚴格求解的模型為基礎才能繼續往下走。微擾論可以同時給出能級的修正和波函數的修正，修正的級數越高所得結果就越接近真實情況，同時，代價是計算過程也更加的復雜和冗長，通常能級到二級修正波函數到一級修正即可。微擾論要求作為微擾的能量項要足夠小才行，否則修正級數再高也是于事無補。變分法對此沒有要求或者說變分法中并沒有微擾的概念，它只把哈密頓量分解為可解的部分和剩余的部分。對氦原子基態能級的估計是它的一個典型的應用。變分法的關鍵是構造出合適的試探波函數從而才能達到對系統基態能級的準確估計。而本文所要做的就是研究試探波函數對估計系統基態能級的影響，為試探波函數的構造提供一些建議。

在正式進入我們的研究之前，這里有必要先介紹一下變分法的原理，同時考慮到變分法在任何一本量子力學教材上都可以找到相應的內容，因此我們只做一簡短的介紹。設ψ是任意一個歸一化的波函數，它在系統能量本征態上的展開可以寫為：

其中Ψn為對應能量為En的正交歸一本征態，即有。這里我們約定Ψ0和E0為系統的基態波函數和基態能級。根據量子力學中力學量的期望值的定義我們有Ψ狀態下的能量的期望值為：

其中積分遍及整個空間。把(2)代入(3)并利用Ψn的正交歸一性可得能量的期望值為：

可以看到任意的波函數其能量的平均值總是會大于系統的基態能量。而變分法則體現在求出關于某個參數λ的極小值，即：

其中參數λ來源于試探波函數Ψ。根據以上的討論可知變分法給出的是基態能級的上限。在利用變分法的時候有兩點需要注意：一是試探波函數要先進行歸一化處理；二是試探波函數需要包含兩個參數，這是歸一化和極值兩個條件所限定的。

為了研究試探波函數對估算系統基態能級的影響，我們需要一個可以嚴格求解的模型作為基準來對照。而這一個模型很容易就可以想到的是簡諧振子模型。不僅其能級具有簡單的表達式，它的基態波函數也非常的簡潔是一個高斯函數，非常適合本文的研究目的。通過研究，我們發現在使用變分法時除考慮到波函數的宇稱性外若放棄波函數光滑性的嚴格要求反而能獲得更好的估算結果，進一步發現，由于線性波函數的一次函數特性從根本上忽略了動能項對能量的貢獻，因此無論如何也不能把作試探波函數選為線性函數的。我們的研究對于學生掌握變分法、試探波函數的選取、認識力學量需用算符表示的思想都將有所幫助，從而有助于他們量子力學的學習。

2 模型

首如前文所述，我們采用的是可解的簡諧振子模型，針對我們所要研究的問題我們以一維的系統為例，其哈密頓量如下所示：

為了之后的討論方便，我們首先對系統的哈密頓量做無量綱的處理，令m=?=ω=1，于是得到無量綱的哈密頓量：

圖1 用于估算基態能級的試探波函數

3 結果和討論

3.1 試探波函數I

實由于簡諧勢沒有奇異性，波函數需連續且光滑。為此我們首先考慮形如的波函數,該函數稱為Lorentz函數，常用于功率譜的分析計算某一頻率的波所受的散射強度的大小。它在全空間是連續且光滑的，其圖形如圖1中的“橫-點點”線所示。接下來我們采用變分法來看一下它對基態能量的估計。

3.2 試探波函數II

試探波函數II是分段波函數，由向下開口的拋物線和常數0構成。其形狀我們用“橫-點”線畫在圖1中。很明顯的可以看到在x=2附近是不光滑的。同樣的根據歸一化條件，注意此時波函數是分段的需要改變一下積分限，，可以得到。再求能量的期望值：

3.3 試探波函數III:

試探波函數III也是分段波函數，由余弦函數和常數0構成。其形狀我們用“橫-橫”線畫在圖1中。同樣地可以看到在x=2附近也是不光滑的。根據歸一化條件，同樣注意積分限的變化，，可以得到。繼續求能量的期望值：

利用α3和β3的關系得到，當且僅當時取等號。由此可知試探波函數給出的最好的結果是，它對真實能量的相對偏移度為。其估算結果相對于有了進一步的提高，粗略一點的話還是可以接受的。根據取最小值的條件可得到α3=0.754，β3=0.692。于是得到波函數為：

3.4 試探波函數IV

由于線性函數的一次特性，上式又可以寫為：

可見線性函數直接忽略了動能項對能量的貢獻。進一步求得能量的平均值為：

最后一步利用了k和b的關系。由最后結果可見線性波函數無法給出有意義的結果。證實了我們之前所說的線性波函數不能用作試探波函數的觀點。

至此我們已經完成了4個試探波函數對基態能級的估計，我們把結果總結在了表1中?？梢钥吹匠荒茏鳛樵囂讲ê瘮档木€性函數外，兩個不光滑的分段波函數給出的結果都比光滑的Lorentz試探波函數給出的結果要好，其中余弦給出的結果最接近真實基態能量。這也給我們一種啟示是：在用變分法估算系統基態能級時，為了獲得較好的估計結果，除考慮必要的對稱性外是可以適當放寬波函數的光滑性要求的。

表1 試探波函數估算出的基態能量，相對于真實基態能量的偏離度γ，試探波函數與嚴格解高斯函數的相異度D。其中直線波函數給不出有意義的結果我們用橫線表示

表1 試探波函數估算出的基態能量，相對于真實基態能量的偏離度γ，試探波函數與嚴格解高斯函數的相異度D。其中直線波函數給不出有意義的結果我們用橫線表示

可以看見的是，試探波函數對基態能量估算的好壞和它們與嚴格解的契合度是直接相關的。從圖1中可以看到Lorentz函數偏離嚴格解高斯函數是最大的，因此估算出的能量和真實能量相差也最大。對于余弦函數和拋物線函數不太好容易看出哪個偏離高斯函數多一點，于是我們定義一個物理量相異度D來刻畫它們對高斯函數的偏離程度。D越大表示偏離程度越高，其定義如下：

考慮到波函數的對稱性以及歸一性D的定義又可以寫為：

經過初步的理論計算我們發現該積分很難得到解析解，即使使用WolframAlpha也無濟于事，于是我們尋求了數值計算。為了使用數值計算我們把積分進行了截斷。把積分上限設定為100，積分步長設為10?4。經驗證這一設定得到的精度已經足夠高，繼續增大積分上限或者減小積分步長帶來的變化也是微乎其微的。數值計算結果顯示在表1中的第4行?？梢钥吹絃orentz函數，拋物線函數，余弦函數對高斯函數的相異度分別是0.176，0.153，0.107。這和預期是一致的。Lorentz函數偏離程度最大因此能量估算的結果最差，余弦函數偏離程度最低給出的結果也最好。

4 結論

我們以簡諧振子模型為基礎運用變分法研究了試探波函數對估算基態能量的影響。我們研究發現，在選取試探波函數的時除了要考慮必須的宇稱性外是可以適當放寬波函數的光滑性要求的，否則限制太多未必能得到一個好的能量估算結果。進一步我們還發現，線性波函數是無論如何也不能用作試探波函數來估算基態能量的，這是因為它的一次函數特性本質上忽略了動能項對能量的貢獻。因此選取試探波函數時可以完全把線性波函數排除在外。我們的研究對于學生掌握變分法、試探波函數的選取、量子力學中力學量需用算符表示的認識都將有所裨益，或許還可以提高他們對量子力學的學習興趣從而激發他們量子力學的學習熱情。