基于概率密度演化理論的結構疲勞可靠度研究進展

唐偉

（重慶大學土木工程學院，重慶 400045）

0 引言

研究表明，疲勞損傷是引起大多數工程結構或機械主要失效原因[1]。結構疲勞損傷過程具有較強的隨機性，如材料隨機性和荷載隨機性[2，3]。因此，可靠度方法成為評估疲勞損傷的有效手段[3]。目前，可靠度方法包括：一次二階矩方法、蒙特卡洛法等[4-5]。一次二階矩方法適用求解線性問題，且隨機參數需滿足獨立正態分布[6]，具有一定的局限性。蒙特卡洛法具有直觀、精確度高、不受線性和非線性影響的特點，但計算效率低[3]。

21 世紀以來，李杰、陳建兵等[7-9]學者針對隨機動力系統建了概率密度演化理論，為解決實際大型工程結構的可靠性分析等提供了新的思路。外部隨機激勵所產生的交變荷載是引起工程結構或機械結構的疲勞損傷的主要原因，故疲勞損傷過程與結構的動力響應密不可分。基于此，將概率密度演化方法與結構的疲勞損傷相結合是未來疲勞損傷預測的一種新途徑。本文將論述概率密度演化方法在結構疲勞可靠度中的相關研究進展。

1 概率密度演化理論

1.1 廣義概率密度演化方程

在隨機外部激勵下結構的動力反應方程[8]為

其中隨機參數包括：材料的變異性和外部激勵的隨機性。將系統所有變量可記作在整個隨機過程中無隨機變量的增減，因此該隨機過程滿足概率密度守恒原理[7，8]即

式中：ΩY×ΩΘ-聯合概率空間的聯合概率密度函數，對式（2）進一步推導可得

1.2 廣義概率密度演化方程求解步驟

廣義概率密度演化方法將物理空間與概率空間進行了解耦處理，將物理方程與概率密度演化方程聯合并通過數值方法求解結構響應的概率密度演化函數。具體步驟如下[6-9]：

（1）確定影響結構響應的隨機參數Θ 和分布類型，建立結構響應的狀態函X 或分析模型。

（2）根據隨機參數數量和分布利用數論選點理論獲取隨機參數樣本和賦得概率Pq，將隨機樣本帶入到結構響應的狀態函數X或分析模型，獲取初始條件：

式中：δ[·]-Dirac 函數；Nsel-數論選取樣本數。

（3）將式（4）帶入式（3），利用 TVD 差分法求解偏微分方程求出結構響應的概率密度函數：

（4）根據結構失效的極限狀態方程Y=F（X），對式（6）積分，其可靠度為：

2 基于虛擬時間的疲勞可靠度概率演化方法

趙儉斌等[5]基于概率密度演化理論給出了風機基礎疲勞可靠度的計算方法。該方法將風荷載視為疲勞損傷過程中的隨機參數，其激勵荷載如下：

式中：μD-拉力系數；ρ-空氣密度；Vj-風速與隨機參數θ 有關；Bj-塔身面積[5]。

利用Miner 線性疲勞累積損傷模型[10]D 構造了依賴于隨機參數θ 的虛擬隨機過程Zl：

式中：τ 為虛擬時間；nk和Nfk分別為第k 級應力幅實際循環次數和疲勞壽命。Zl關于 τ 的導數為 D（θ，T），在 τ=1 時的截口隨機變量為D（θ，T）。故其概率密度演化方程為：

該方法充分考慮了外界激勵的隨機性，在求解疲勞損傷時，參考了靜力結構可靠度的概率密度演化求解法，引入虛擬時間，巧妙地解決了疲勞可靠度與時間的關系。但該方法未考慮疲勞損傷過程中材料的不確定，即不同應力幅對應的疲勞壽命Nf的隨機性。

3 一般形式的疲勞可靠度預測方法

徐亞洲[3]基于疲勞損傷的一般形式推導了概率密度演化方法的求解思路。該方法假定疲勞損傷模型為：

結合概率密度演化理論，可得一般形式的疲勞損傷演化偏微分方程：

該疲勞壽命模型將應力幅和對應的疲勞壽命視為隨機參數，建立了疲勞累積損傷與荷載作用次數的演化規律，充分考慮了外界激勵的隨機性和材料的隨機性。但該方法只給了疲勞損傷的一般模型，并未給出考慮多級變幅疲勞可靠度具體方法。例如多級變幅線疲勞線性累積損傷模型為：

因該方法考慮了外界激勵和材料的隨機性，（13）中隨機參數包括各應力幅循環次數ni和疲勞壽命Nfi，由于ni具有隨機性，只知其滿足而ni與荷載作用總次數n 的具體關系無法確定。當應力幅級數s 較多時，導致式（11）疲勞損傷變化率無法確定，因此利用該方法求解多級變幅疲勞可靠度難度較大。

4 基于裂紋尺寸擴展概率密度演化方法

劉勇[2]對既有的Paris 疲勞裂紋擴展確定性模型進行推導給出了隨機裂紋擴展模型，給出了相應的概率密度演化方程如下：

式中：m 和C-材料裂紋擴展參數；a-表面裂紋尺寸；Y-幾何修正系數；β-交變應力峰值，其他參數見文獻[2]。涉及隨機參數為C，m和ξ。其偏微分方程為：

該方法從材料的分散性和荷載的隨機性引入了疲勞裂紋擴展速率公式，給出了疲勞裂紋擴展的概率密度演化函數的求解方法。從裂紋擴展微觀角度給出了損傷演化的過程，具有較強的物理意義。但由于實際結構的裂紋往往在其內部，檢測難度較大，且該方法相對較復雜，因此在實際工程運用中還需進一步研究。

5 結論與展望

上述三種方法，從不同的角度證明了概率密度演化方法在疲勞可靠度預測中具有較大的潛力，在解決線性和非線性問題上都具有較強的可行性。與經典的可靠度求解方法相比，其可靠度為時變可靠度，且該方法與數論相結合，能夠巧妙的避免高維問題。

但概率密度演化方法還未被廣泛適用于預測疲勞可靠度，其原因在于目前疲勞損傷累積模型較多，其復雜程度也各有差異，因此，疲勞損傷變化率求解具有一定難度，針對不同的疲勞損傷模型還需進一步研究。

通過分析以上三種方法，希望能為廣大學者提供更多的疲勞可靠度思路。隨著廣大學者的進一步研究，此方法會更加廣泛地應用于預測結構疲勞可靠度。