關于柯西-施瓦茨不等式的證明與推廣

江明澤

摘 要：柯西-施瓦茨不等式是一個在數學許多方面當中都有應用的一個重要的不等式。本文主要介紹了幾種關于柯西-施瓦茨不等式的幾種證明方法和推廣形式。

關鍵詞：不等式;微積分;向量空間

1.介紹

柯西生于法國巴黎，其在很小的時候就表現出了極高的數學天賦，在數學領域有著很高的建樹和造詣。施瓦茨，與柯西一樣都是法國數學家，他主要在分析學、微分方程、幾何學等數學分支有著深厚造詣。柯西-施瓦茨不等式就是以他們的名字來命名的。該不等式是由柯西在1821年所提出的，其積分形式是由俄國數學家布尼亞克夫斯基在1859年所提出，并且該積分形式的現代證明是在1888年被施瓦茨所提出。故而該不等式又被命名為柯西-布尼亞克夫斯基-施瓦茨不等式。柯西-施瓦茨不等式在微積分甚至其他數學領域中都有著廣泛的應用。本文主要介紹了一些關于柯西-施瓦茨不等式的不同證明方法與推廣形式。

2.柯西-施瓦茨不等式的證明

定理1若f（x）、f（x）在[a，b]上可積，則

證法 1重積分法

□

證法 2輔助函數法

構造輔助函數如下：

對兩邊求導有：

故F'（t）≥0，t∈[a，b]，即F（t）是增函數，當a<b時，F（b）≥F（a）=0，

□

證法 3內積法

引理1 對于向量空間V的任意兩個向量α，β有以下不等式：

下面利用該引理來證明。

首先在區間[a，b]上定義：

其中f（x），g（x）為[a，b]上的可積函數，接下來要證是向量空間上C[a，b]的一個內積。

（1）任取，有唯一的對應

（2）

（3）

（4）

其中k為任意實數

（5）若，則

所以是連續函數空間C[a，b]上的一個內積。

由得

故由引理有

即

□

3.柯西-施瓦茨不等式的推廣

定理2（h?lder不等式）若f（x）、g（x）在[a，b]上可積，且則

其中

證明

引理2（Young不等式） 設p，q>0，，則當1<p<+∞時，有以下不等式成立

當且僅當時等號成立。

下面利用引理2來證明。

由引理2有

兩邊在區間[a，b]取定積分，則有

即

□

當時該不等式即為柯西-施瓦茨不等式

參考文獻：

[1]陳紀修.數學分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]華東師范大學數學系. 數學分析（上、下）第四版[M].北京：高等教育出版社， 2010.

[3]王萼芳 石生明. 高等代數（第五版）[M].北京：高等教育出版社， 2019.

[4]聞厚貴.不等式證法[M].北京：北京師范學院出版社，1987.

3803500338231