海峽兩岸教材中分?jǐn)?shù)內(nèi)容的對比與教學(xué)建議

李玲玲

（福建省廈門市音樂學(xué)校）

三千多年前，古埃及為了在不能分得整數(shù)的情況下表示數(shù)，用特殊符號表示分子為1 的數(shù)。分?jǐn)?shù)是度量和數(shù)學(xué)本身的需要——除法計算的需要而產(chǎn)生的，分?jǐn)?shù)內(nèi)容歷來就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點。德國諺語“掉到分?jǐn)?shù)里去了”就用來形容一個人陷入困境。在實際的教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)“掉到分?jǐn)?shù)里”的學(xué)生也為數(shù)不少。比如，我在教學(xué)教研過程中記錄下這樣三個教學(xué)事例。

事例1：有一位五年級的學(xué)生，在學(xué)完“分?jǐn)?shù)的意義”后，作業(yè)中有一道題目要求寫出分?jǐn)?shù)各部分名稱時，她抬頭詢問：“中間那條線叫什么？”

事例2：“把3 米長的繩子平均分成7 段，每段占這條繩子的每段長（ ）米?！痹谶@個空格中，不少學(xué)生直接填上了循環(huán)小數(shù)。

事例3：五年級下學(xué)期“假分?jǐn)?shù)”一課，在認(rèn)識了假分?jǐn)?shù)后，有學(xué)生舉手表示有問題：“老師，這個假分?jǐn)?shù)也太‘假’了！”（其他學(xué)生笑了起來）教師讓學(xué)生說想法。“我們知道是表示把一個物體平均分成5份，取其中的2 份，那就是表示把一個物體平均分成5份，取其中的6 份，明明只有5 份，怎么能取其中的6份呢？”這位學(xué)生的質(zhì)疑得到很多其他學(xué)生的支持。

這些問題在教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，長期以來沒有比較好的解決策略。近期，我閱讀了我國臺灣地區(qū)康軒版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，并與我們當(dāng)前使用的人教版教材中的分?jǐn)?shù)內(nèi)容編排進(jìn)行了對比分析研究，得到了一些教學(xué)建議。

一、對比教材編排，理解學(xué)習(xí)困難

通過閱讀這兩種版本的教材，我認(rèn)為，在“分?jǐn)?shù)”這部分內(nèi)容的編排中，兩種版本教材的呈現(xiàn)方式各有特點，同時也存在著較大的區(qū)別，我對兩種版本教材關(guān)于分?jǐn)?shù)內(nèi)容的編排進(jìn)行了梳理，如表1所示。

表1 海峽兩岸教材中分?jǐn)?shù)內(nèi)容的編排

從表1 中可以看出，兩個版本教材關(guān)于分?jǐn)?shù)編排有很大的區(qū)別，主要體現(xiàn)在兩個方面：一是例題與習(xí)題數(shù)量。在題目總數(shù)相差不大的情況下，人教版教材的例題數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于習(xí)題數(shù)量，康軒版教材的例題比習(xí)題數(shù)量略多。二是各年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容分布情況。兩種版本都是在三年級上冊開始接觸分?jǐn)?shù)，到六年級下冊結(jié)束小學(xué)部分的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)。但不同的是，人教版教材從三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一單元，到再次正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)內(nèi)容要到五年級下冊。康軒版教材則從三年級上冊開始，每一冊均有編排相關(guān)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，體現(xiàn)了小步子螺旋上升的特點。

因為學(xué)生在生活經(jīng)驗中比較少接觸到分?jǐn)?shù)，對于他們來說屬于比較抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從三年級上學(xué)期到五年級下學(xué)期，中間隔了四個學(xué)期沒有正式學(xué)習(xí)與分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生普遍對分?jǐn)?shù)比較生疏。因此，上文事例1 中出現(xiàn)的學(xué)生產(chǎn)生對分?jǐn)?shù)線不認(rèn)識的現(xiàn)象，屬于正常情況。教材編排是個系統(tǒng)工程，對于一線教師來說，教材是最重要的教學(xué)載體，大幅度改造教材不現(xiàn)實，但基于學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，筆者認(rèn)為，可以在原教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)母慕M，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點。

二、拓展測量意義，豐富概念理解

在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)有多種定義，如部分與整體關(guān)系、商定義、運算定義、測量定義、比定義。這五種定義可以歸為兩類，也就是常說的“量”和“率”含義。分?jǐn)?shù)的“率”含義表示部分與整體的關(guān)系，是一個比率；分?jǐn)?shù)的“量”含義表示一個具體的量，和整數(shù)一樣是數(shù)量的抽象。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排中，“率”含義受到重視，而“量”含義顯然被忽視的。人教版與康軒版教材對“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的編排，都是以分餅為情境（如例題1）。

【例題1】把一個酥餅平分成2 份，其中的1 份是二分之一個酥餅。二分之一記成

人教版教材“每份是它的二分之一”表示的是部分與整體的關(guān)系，是“率”含義，相應(yīng)的練習(xí)都均已“率”含義出現(xiàn)；而康軒版“其中的1 份是二分之一個酥餅”表示的是具體的數(shù)量，并且在相應(yīng)配套的課后習(xí)題中（如例題2），不斷強化學(xué)生對“分?jǐn)?shù)是一個具體的量”的認(rèn)識。

【例題2】涂色的部分是多少？填填看。

著名特級教師俞正強曾在“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”一課中，只教學(xué)“量”的含義，他認(rèn)為，“解決之道是讓學(xué)生先深刻地經(jīng)歷關(guān)于量的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，記熟之后，再經(jīng)歷關(guān)于分率的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上比較兩個認(rèn)識的差別，以此解決量與分率的混淆問題”。而他建議“量”的含義學(xué)習(xí)完，一年后再學(xué)習(xí)“比率”含義，這樣，學(xué)生可以加深對“量”含義的認(rèn)識?？梢哉f，俞老師的設(shè)計跟康軒版教材的編排有相通之處，給我們提供了改造教材的啟發(fā)。

無獨有偶，著名特級華應(yīng)龍在“分?jǐn)?shù)：先分后數(shù)”一文介紹了關(guān)于分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)片斷。華老師首先讓學(xué)生回顧要量教室、粉筆、米粒的長分別用什么做單位，然后指出：“單位不同，尺子就不一樣。創(chuàng)造一把尺子，其實就是創(chuàng)造了一個新的單位。所以大頭兒子在家中沒有找到尺子，用領(lǐng)帶創(chuàng)造了一個單位。請回頭看，剛才我們說沙發(fā)是個領(lǐng)帶長里有7個”從這里我們可以看出，華老師也是從“量”的含義引出分?jǐn)?shù)的意義。把分?jǐn)?shù)看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識，又為進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運算打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。前文提到的事例2 學(xué)生不認(rèn)為分?jǐn)?shù)可用來表示具體的量，事例3 中的學(xué)生認(rèn)為“假分?jǐn)?shù)很‘假’”的問題，與教師在教學(xué)單方面強調(diào)“率”的含義是有相關(guān)性的。如何處理“量”與“比率”含義的理解呢？兩位名師的做法給了我們很大的啟示。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級下冊“認(rèn)識小數(shù)”里的表述“1分米是米，還可以寫成0.1米?！保ㄈ缋}3）這里借助分?jǐn)?shù)引出小數(shù)。但借助的分?jǐn)?shù)是“量”含義的表示，而在此之前，教材沒有出現(xiàn)過正式的用“量”表示的分?jǐn)?shù)，造成的結(jié)果是學(xué)生能理解“1 分米是0.1米”，而不能理解“1分米是米”，從分?jǐn)?shù)引出小數(shù)的編排意圖成了一種擺設(shè)。因此，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”后補充分?jǐn)?shù)“量”含義的相關(guān)教學(xué)，既是豐富對分?jǐn)?shù)概念的理解，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

【例題3】把1米平均分成10份，每份是1分米。

作為一名普通的一線教師，完全推翻教材另組教材不現(xiàn)實也沒必要，但可以適當(dāng)進(jìn)行拓展，比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課教學(xué)中，引出“每份是它的二分之一”后，可以再加“也可以說是‘二分之一塊月餅’”，在相應(yīng)的鞏固練習(xí)中，也借鑒康軒版做法增加一些用“量”含義寫分?jǐn)?shù)的練習(xí)。

本單元的練習(xí)題（三年級下冊教材第95 頁）有一道出現(xiàn)一家三口分月餅的情境，我認(rèn)為可以直接改變題目，在分?jǐn)?shù)后面加上“塊”，引導(dǎo)學(xué)生直接表述為“爸爸吃了塊，媽媽吃了塊，我吃了塊，還剩下塊。”這樣的表述，既跟生活語言比較接近，又讓學(xué)生加強對分?jǐn)?shù)“量”含義的理解，從而豐富對分?jǐn)?shù)的全面認(rèn)識。

三、重視數(shù)線表征，培養(yǎng)幾何直觀

【例題4】分?jǐn)?shù)數(shù)線。

（1）上圖是1公升的量杯。用分?jǐn)?shù)說說看，由下往上數(shù)，第1刻度表示多少公升？第2個刻度呢？……

（2）這是一條整數(shù)數(shù)線。

（3）把每一段都分成3 等分，每一個刻度各表示什么數(shù)？用分?jǐn)?shù)記記看

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材從一年級開始，在認(rèn)識整數(shù)時就出現(xiàn)了讓學(xué)生在數(shù)線寫數(shù)，在三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”單元練習(xí)題中，也出現(xiàn)了在數(shù)線上填小數(shù)的題目，但在分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識單元中卻沒有出現(xiàn)。原因主要是因為在此單元中分?jǐn)?shù)是主要以“率”的含義出現(xiàn)的，不便于在數(shù)線上呈現(xiàn)。因此，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識時，除了拓展分?jǐn)?shù)的“量”含義，還可以借助數(shù)線進(jìn)行表征。我校一位教師在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課時就引入了數(shù)線，以下是教學(xué)片斷。

【片斷一】情境引入

師：想一想，1 個月餅用什么數(shù)表示？2 個月餅用什么數(shù)表示？3 個月餅?zāi)兀繘]有月餅用什么數(shù)表示？（學(xué)生逐一回答1、2、3、0）

師：我現(xiàn)在要將這些數(shù)請到這條線上來。0應(yīng)該安頓在這條線的什么地方？

生：放在1的前面。

師：孩子們，像0、1、2、3……這些數(shù)都是同學(xué)們學(xué)過的數(shù)。

師：我這兒有半個月餅，我該把它放在哪兒呢？

生：放在0和1之間。

（師放于數(shù)線上，如下圖）

師：想一想，“一半”可以用一個什么樣的數(shù)來表示呢？

生：二分之一。

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的新數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)，讓我們一起來認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

【片斷二】拓展提升

師：試著說說你的理由。

生：比較圖上的陰影部分的大小可以發(fā)現(xiàn)。

師：試著在線上找到他們的位置。誰上來寫一寫。

生：我是這樣寫的。

師：你為什么盡量把分母說大？

生：因為分母越大，這個分?jǐn)?shù)就越小。

師：是的，分?jǐn)?shù)比較大小，分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)就越小。

生：分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)就越小，在這條線上就越靠近0。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)的概念的一次擴(kuò)展，這個學(xué)習(xí)過程對于學(xué)生來說并不輕松。從學(xué)生的思維特點來看，他們對分?jǐn)?shù)概念的理解，幾何直觀發(fā)揮了重要的作用。在以上兩個片斷中，這位教師將整數(shù)和分?jǐn)?shù)分布在數(shù)線上，并引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小比較，不僅豐富了對分?jǐn)?shù)概念的理解，也在數(shù)形結(jié)合的過程中培養(yǎng)了幾何直觀能力。