導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究

王 潤(rùn) 王井利 呂 棟

1 沈陽(yáng)建筑大學(xué)交通工程學(xué)院，沈陽(yáng)市渾南中路25號(hào)，110168 2 山東科技大學(xué)測(cè)繪與空間信息學(xué)院，青島市前灣港路579號(hào)，266590

衛(wèi)星鐘差(satellite clock bias，SCB)預(yù)報(bào)是衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中一項(xiàng)極其重要的工作[1]，可靠程度高的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果有利于提高精密單點(diǎn)定位(PPP)的精度[2]。地面基于衛(wèi)星精密星歷所預(yù)報(bào)的鐘差也可作為衛(wèi)星導(dǎo)航所需要的先驗(yàn)信息[3]。衛(wèi)星鐘差的高精度預(yù)報(bào)已成為精密導(dǎo)航定位中一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[4]，盡管IGS已發(fā)布了軌道精度達(dá)到cm級(jí)的實(shí)時(shí)精密軌道產(chǎn)品，但由于其鐘差的外推精度不足，該產(chǎn)品無(wú)法應(yīng)用于實(shí)時(shí)精密導(dǎo)航定位；另外IGS還發(fā)布了實(shí)時(shí)精密鐘差，其精度可達(dá)0.1 ns，但傳輸穩(wěn)定性較差[5]。研究表明，白噪聲調(diào)相、白噪聲調(diào)頻、閃變?cè)肼曊{(diào)相、閃變?cè)肼曊{(diào)頻及隨機(jī)游走調(diào)頻等5種噪聲會(huì)嚴(yán)重影響衛(wèi)星原子鐘的穩(wěn)定性，導(dǎo)致頻標(biāo)的頻率發(fā)生隨機(jī)變化，使得衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)難以達(dá)到較高精度[6-7]。為得到高精度的衛(wèi)星預(yù)報(bào)鐘差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，針對(duì)衛(wèi)星鐘差的特點(diǎn)提出一系列鐘差預(yù)報(bào)模型，其中常用的鐘差預(yù)報(bào)模型包括二次多項(xiàng)式(QP)模型、附有周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型(SA)、灰色系統(tǒng)(GM(1,1))模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network，ANN)模型等[8-14]。

衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)變化復(fù)雜，難以采用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行表示，而Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種擁有局部記憶單元和局部反饋連接的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具備強(qiáng)大的計(jì)算能力，可以動(dòng)態(tài)映射任意非線性時(shí)間序列[15]，同時(shí)擁有動(dòng)態(tài)反饋能力，能有效降低鐘差預(yù)報(bào)過(guò)程中出現(xiàn)的誤差累積效應(yīng)。本文以IGS 提供的30 s采樣率的精密鐘差序列作為原始數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行一次差處理并建模，分別采用Elman模型、二次多項(xiàng)式模型、附有周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型和灰色模型進(jìn)行衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，并對(duì)比分析各模型對(duì)各類原子鐘預(yù)報(bào)不同時(shí)長(zhǎng)的精度及穩(wěn)定性，以驗(yàn)證Elman模型的可行性。

1 常用預(yù)報(bào)模型

1.1 二次多項(xiàng)式模型(QP模型)

用于衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的二次多項(xiàng)式模型的觀測(cè)方程[11]為：

xi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+ε

(1)

式中，xi為ti時(shí)刻的衛(wèi)星鐘差，ti(i=1,2,…,n)為歷元時(shí)刻，t0為衛(wèi)星鐘參考時(shí)刻，a0、a1和a2分別為參考時(shí)刻t0的相位、鐘速及鐘漂，ε為頻率隨機(jī)誤差。

1.2 附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型(SA模型)

SA模型是在二次多項(xiàng)式模型的基礎(chǔ)上附加考慮周期項(xiàng)的鐘差預(yù)報(bào)模型[2]，其表達(dá)式為：

xi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

(2)

式中，a0、a1、a2和ε所代表的含義與式(1)相同，p為主要周期函數(shù)的個(gè)數(shù)，Ak、fk、φk分別為對(duì)應(yīng)周期項(xiàng)的振幅、頻率和相位。

與二次多項(xiàng)式模型相同，利用最小二乘原理求得參數(shù)最或然值，再代入式(2)即可求得預(yù)報(bào)歷元的鐘差。附加周期項(xiàng)的二次多項(xiàng)式模型雖然考慮了鐘差周期性變化的影響，提高了短期鐘差預(yù)報(bào)的精度，但該模型同樣受多項(xiàng)式模型主體的影響，隨著預(yù)報(bào)時(shí)間的增加，預(yù)報(bào)精度逐漸降低。

1.3 灰色系統(tǒng)模型(GM(1,1)模型)

灰色系統(tǒng)模型[12]表達(dá)式為：

(3)

式中，k=1,2,…,n；a和u為常量參數(shù)，分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。

2 Elman算法基本原理

2.1 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)在傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中增加一個(gè)承接層，以接收反饋信號(hào)和連接記憶上一時(shí)刻隱含層的輸出狀態(tài)，并與該時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)輸入共同作為隱含層的輸入，從而使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練具備局部反饋和動(dòng)態(tài)記憶的特性[16]。這種方式使Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出較強(qiáng)的記憶性和時(shí)序性，在關(guān)于時(shí)間序列的問(wèn)題上具有較好的適配度[17]。Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層、承接層和輸出層構(gòu)成，具體如圖1所示。

圖1 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Elman neural network structure

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)輸入層神經(jīng)元傳輸信號(hào)，同時(shí)隱含層神經(jīng)元采用Sigmoid函數(shù)作為激勵(lì)函數(shù)，通過(guò)輸出層神經(jīng)元起到線性加權(quán)的作用，其表達(dá)式為：

x(k)=f(w1*xc(k)+w2*u(k-1))

(4)

xc(k)=x(k-1)

(5)

yk=g(w3*x(k))

(6)

式中，yk為m維輸出層節(jié)點(diǎn)向量，x(k)為n維隱含層節(jié)點(diǎn)向量，u為r維輸入層節(jié)點(diǎn)向量，xc為n維反饋狀態(tài)向量，w1為承接層到隱含層的連接權(quán)值，w2為輸入層到隱含層的連接權(quán)值，w3為隱含層到輸出層的連接權(quán)值，g(*)為輸出神經(jīng)元的傳遞函數(shù)，f(*)為隱含層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)。

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值可采用附加動(dòng)量的梯度下降反向傳播算法進(jìn)行修正，同時(shí)將誤差平方和函數(shù)作為學(xué)習(xí)指標(biāo)，其表達(dá)式為：

(7)

2.2 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)GPS衛(wèi)星鐘差

采用Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)報(bào)鐘差，其關(guān)鍵在于針對(duì)衛(wèi)星鐘差的特點(diǎn)選擇最佳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中每層神經(jīng)元數(shù)量的確定并無(wú)明確規(guī)范，因此需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定[18]。研究表明，輸出層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)通常與需要輸出的數(shù)據(jù)類型的個(gè)數(shù)相同[19]，此處輸出的數(shù)據(jù)類型只有1種，因此輸出層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為1。

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)的確定對(duì)模型預(yù)報(bào)的精度極為關(guān)鍵，如果隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)較多，則網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)會(huì)更加穩(wěn)定，映射非線性函數(shù)的能力也將加強(qiáng)，但會(huì)降低網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的收斂速度；如果隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)較少，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)則會(huì)過(guò)于簡(jiǎn)單，計(jì)算時(shí)間減少，但會(huì)導(dǎo)致模型預(yù)報(bào)能力不足，預(yù)報(bào)精度也會(huì)大大降低。因此需要在保證模型預(yù)報(bào)能力的前提下，選擇合適的隱含層神經(jīng)元數(shù)量。

為得到最佳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，本文選擇GPS week 20 100(2018-07-15)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，選擇不同個(gè)數(shù)的隱含層神經(jīng)元預(yù)報(bào)其后1 d的鐘差。圖2為隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為3～11時(shí)鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的RMS變化情況。

圖2 隱含層神經(jīng)元變化時(shí)鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的RMS變化情況Fig.2 RMS of clock bias prediction result when hidden layer neuron changes

從圖2可以看出，隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為5時(shí)，鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的RMS最小。隨著神經(jīng)元個(gè)數(shù)的增加，RMS存在一定波動(dòng)，但達(dá)不到最小值。當(dāng)神經(jīng)元個(gè)數(shù)為3時(shí)，其RMS也較小，而此時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果也能達(dá)到要求。由此說(shuō)明，神經(jīng)元個(gè)數(shù)的選擇受人為經(jīng)驗(yàn)影響，本文選擇神經(jīng)元個(gè)數(shù)為5，即為最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

研究表明，衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)不可避免會(huì)含有誤差，而使用一次差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)可減小誤差的影響，從而提高預(yù)報(bào)精度[20]。但常用的預(yù)報(bào)模型采用一次差分處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)會(huì)使精度不穩(wěn)定，而GM(1,1)模型在預(yù)報(bào)鐘差時(shí)已經(jīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行自減和自增，再進(jìn)行一次差處理會(huì)導(dǎo)致模型的預(yù)報(bào)性能無(wú)法定性[21]。因此，本文利用Elman預(yù)報(bào)模型一次差分處理后的新樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)，而常用模型不進(jìn)行一次差分處理。在預(yù)報(bào)過(guò)程中得到一部分預(yù)測(cè)值后，需要通過(guò)移動(dòng)窗口法得到連續(xù)的預(yù)測(cè)值，最后將所有的一階差分預(yù)測(cè)值恢復(fù)成鐘差預(yù)測(cè)值。

3 預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證本文提出的預(yù)報(bào)模型的可行性，使用IGS提供的30 s采樣率的精密鐘差序列，從不同建模數(shù)據(jù)量和預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的角度，采用4種模型對(duì)GPS衛(wèi)星進(jìn)行1 d、7 d、30 d的鐘差預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)。本文實(shí)驗(yàn)以GPS week 20 100～20 142(2018-07-15～08-14)共31 d的數(shù)據(jù)為例，考慮到不同類型的星載原子鐘(包括Block IIR銣鐘、Block IIR-M銣鐘、Block IIF銫鐘和Block IIF銣鐘)可能會(huì)對(duì)預(yù)報(bào)效果產(chǎn)生影響，故隨機(jī)選取各類原子鐘的其中1顆衛(wèi)星進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，本文實(shí)驗(yàn)所選衛(wèi)星為PRN08、PRN12、PRN22和PRN26。在預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)中，采用均方根誤差(RMS)和極差(最大誤差與最小誤差之差，記為Range)作為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，并以對(duì)應(yīng)的IGS精密鐘差數(shù)據(jù)作為真值進(jìn)行預(yù)報(bào)效果分析[22]。RMS計(jì)算公式為：

(8)

為分析Elman模型的預(yù)報(bào)效果，分別采用QP模型、SA模型、GM(1,1)模型和Elman模型(網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為1-5-1-1)對(duì)GPS week 20 100數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)報(bào)其后1 d、7 d、30 d的鐘差，分別對(duì)應(yīng)短期、中期、長(zhǎng)期鐘差預(yù)報(bào)。以PRN26為例，圖3為不同模型不同預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的鐘差預(yù)報(bào)誤差，表1～3為各衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)。

圖3 鐘差預(yù)報(bào)誤差Fig.3 Clock bias prediction error

從圖3可以看出，在進(jìn)行短期、中期和長(zhǎng)期鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，Elman模型的預(yù)報(bào)誤差曲線均保持在0值附近，而其他常用模型的誤差曲線呈現(xiàn)隨時(shí)間不斷遞增的趨勢(shì)，說(shuō)明Elman模型在一定程度上可抑制因預(yù)報(bào)時(shí)間增長(zhǎng)導(dǎo)致誤差不斷累積的問(wèn)題，表明該模型的預(yù)報(bào)效果優(yōu)于其他常用模型。

從表1(單位ns)可以看出，在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)中，PRN12和PRN08的預(yù)報(bào)精度為ns級(jí)，PRN22和PRN26的預(yù)報(bào)精度為亞ns級(jí)。其中，PRN12工作時(shí)間較長(zhǎng)，衛(wèi)星鐘性能下降導(dǎo)致預(yù)報(bào)精度稍低，而PRN08的衛(wèi)星鐘為銫鐘，精度相對(duì)較低。對(duì)比各模型對(duì)同一衛(wèi)星的預(yù)報(bào)精度發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是星載銣鐘還是星載銫鐘，Elman模型的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性均明顯優(yōu)于3種常用模型。以PRN26的預(yù)報(bào)效果為例，其預(yù)報(bào)精度分別提高89.1%、88.8%和89.8%，穩(wěn)定性分別提高67.0%、68.0%和69.6%。因此，在短期鐘差預(yù)報(bào)中，Elman模型的鐘差預(yù)報(bào)效果優(yōu)于3種常用模型。

表1 1 d鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

從表2和3(單位ns)可以看出，隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加，各模型進(jìn)行中長(zhǎng)期鐘差預(yù)報(bào)的精度和穩(wěn)定性均迅速降低。在進(jìn)行中期鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，以PRN26的預(yù)報(bào)效果為例，Elman模型的預(yù)報(bào)精度比3種常用模型分別提升96.8%、91.3%和91.8%，其穩(wěn)定性也有一定提升。

表2 7 d鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

表3 30 d鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)

在進(jìn)行長(zhǎng)期鐘差預(yù)報(bào)時(shí)發(fā)現(xiàn)，PRN08存在多天數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象，因此只選用PRN12、PRN22和PRN26這3顆衛(wèi)星參與30 d的鐘差預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)。其中，Elman模型的預(yù)報(bào)精度在600 ns以內(nèi)，其余3種模型的預(yù)報(bào)精度基本都超過(guò)600 ns，部分甚至超過(guò)1 000 ns，無(wú)法滿足精密定位的需求。以PRN26的預(yù)報(bào)效果為例，Elman模型的預(yù)報(bào)精度比3種常用模型分別提升93.8%、84.9%和85.9%，其預(yù)報(bào)穩(wěn)定性也高出其余模型1個(gè)數(shù)量級(jí)。總體來(lái)說(shuō)，Elman模型的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于3種常用模型。

4 結(jié) 語(yǔ)

為提高衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的精度和穩(wěn)定性，本文提出基于Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)報(bào)模型，并通過(guò)短期、中期和長(zhǎng)期預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)，得到4種模型不同預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的預(yù)報(bào)結(jié)果。在對(duì)鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析后，得出以下結(jié)論：

1)在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報(bào)中，無(wú)論是星載銫鐘還是星載銣鐘，4種模型的鐘差預(yù)報(bào)精度均能達(dá)到ns級(jí)，而使用Elman模型預(yù)報(bào)鐘差時(shí)，部分衛(wèi)星的預(yù)報(bào)精度甚至可達(dá)到亞ns級(jí)，其鐘差預(yù)報(bào)穩(wěn)定性也有較大提升。

2)隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加，各類模型進(jìn)行衛(wèi)星鐘差中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的誤差不斷累積，導(dǎo)致各模型預(yù)報(bào)鐘差的精度和穩(wěn)定性迅速降低。但與3種常用模型相比，Elman模型的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性仍有明顯提升。

本文提出的Elman模型較3種常用鐘差預(yù)報(bào)模型具有更高的預(yù)報(bào)精度，表明Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中具有可行性。