C#-正規子群與有限群的可解性

林仕勛，陳 潔，賀安若，馬宜嘉

（昭通學院a.數學與統計學院；b.管理學院，云南 昭通657000）

1 引言及預備

首先，文中G 為有限群（于未加說明的情況下），且所用符號、術語皆符合規范.

通過特殊子群之性質研究群結構是群論研究中的熱點課題，故我們進行了子群的C＃-正規性對有限群結構之影響的研究，進而得出某些充分條件、充要條件等，同時還推廣了相關結論.設H/K 為G 的主因子，A ≤G，則有

（1）當HA=KA，稱A 覆蓋H/K;

（2）當H ∩A=K ∩A，稱A 遠離H/K;

（3）若A 覆蓋或遠離G 的每一個主因子，則稱A 在G 中具有覆蓋-遠離性質，即A 是G 的覆蓋-遠離子群[1].

W.GASCHütz 于1962年引入了CAP-子群[2]的概念:稱H 為G 的CAP-子群，如果H 覆蓋G的每個主因子或者遠離G 的每個主因子.許多群論研究者利用CAP-子群研究有限群結構.例如，EzqueRRo 于1993年給出了具有某些CAP-子群的有限群為P-超可解和超可解的刻劃.1996年，王燕鳴教授引入C-正規子群[3]的概念:若存在G 的正規子群K 使G=HK，又H ∩K ≤HG，則稱H 為G 的一個C-正規子群.利用C-正規性，王燕鳴教授獲得了一系列有限群可解和超可解的充分必要條件、充分條件.2006年，韋華全教授與王燕鳴教授引入了C＃-正規子群之概念，即，若G 存在正規子群K 使G=HK，又H ∩K 是G 的CAP-子群，則稱H 為G 的一個C＃-正規子群.他們利用C＃正規性的概念統一推廣CAP-子群和C-正規子群若干結論，還得到了有限群可解、π-可解的新判別準則.

定義1.1[4]設H 為G 的子群，則H 稱為G 的C＃-正規子群，若存在G 的正規子群K 使得G=HK，且H ∩K 是G 的CAP-子群.

顯然，正規子群是C-正規子群，也是CAP-子群.C-正規子群和CAP-子群都是C＃-正規子群，但是反之不然[4].

定義1.2 稱群G 是C＃-單群，如果G 除了單位群和G 本身以外沒有其它C＃-正規子群.

定義1.3[5]給定群G 及G 的極大子群M．令N/K 是G 的一個主因子，K ≤M 而NúM，稱M ∩N/K 為M 的一個CI-截.

定義1.4[6]

（1）FS（G）={M|M ＜.G 且NG（P）≤M，P ∈Sy1P（G）}.

（2）FC（G）={M|M ＜.G，G:M|為合數}.

（3）FSC(G)=FS(G)∩FC(G).

（4）ΦP(G)=∩{M|M ∈FS(G)};若FS(G)=?，則ΦP(G)=G.

定義1.5[6]群G 的導群為G'，設L(G)={M|M＜.G 且M 不 包 含G'}． 若L(G)=?， 則Φ1(G)=∩{M|M ∈L(G)};否則，G=Φ1(G).

引理1.1[5]令N ≤M ＜.G，M 是群G 的極大子群，且N(G，那么M 與M/N 有同構的CI-截.

引理1.2[6]Φ(G)令可解.

引理1.3[6]群G 為具有MG=1 之本原群，則下列結論等價.

（1）G 中存在非平凡的可解正規子群;

（2）若G 中存在唯一極小正規子群N，對任意M ∈FSC(G)且MG=1 的極大子群M 有M ∩N=1.

引理1.4[3]群G 為可解群當且僅當G 的極大子群在G 中C-正規.

引理1.5[4]群G 為可解群當且僅當存在一個可解的G 的極大子群M 在G 中C＃-正規.

引理1.6[7]群ΦP（G）為P-閉群.

引理1.7[3，6]設H 和N 分別是群G 的子群和正規子群.則

（1）如果N ≤H，那么H 在G 中C＃-正規當且僅當H/N 在G/N 中C＃-正規.

（2）設π 是一素數集合，若H 是G 的π-子群，而N 為π-子群.若H 在G 中C＃-正規，則HN/N 在G/N 中C＃-正規.

（3）設L ≤G 且H ≤Φ（L）.若H 在G 中C＃-正規，則H 是G 的CAP-子群.（4）如果H正規于G，則H 必C＃-正規于G.引理1.8[9]設M(G，N(G，G/M 和G/N 均可解，則G/M ∩N 可解.

引理1.9 設G 為群.G 是C＃-單群當且僅當G是單群.

證明:顯然，若H(G，則H 在G 中C-正規，即在G 中亦C＃-正規.故只需證充分性.

假設G 為單群，但非C＃-單群.則存在一個非平凡的子群H，且1 ＜H ＜G，使H 在G 中C＃-正規.由C＃-正規的定義知，存在正規子群N(G使得HN=G.因G 是單群，故N ≠1，則N 必為G.從而，H ∩G=H 為G 的CAP-子群.因此，H 覆蓋G/1 或遠離G/1.但此不可能發生，故矛盾.

2 主要結果

定理2.1 群G 可解當且僅當它的每個極大子群的CI-截均于G 中C＃-正規.

證明:先證充分性.設群G 是極小階反例.

（1）G 是非單群.假設命題不成立，且設M＜.G，現取M 的CI-截為M，故M 在G 中C＃-正規.由引理1.9，得M=1（即G 為素數階循環群），進而G 是可解的，矛盾．

（2）令N 是G 的極小正規子群，則N 是唯一滿足的子群.假設命題不成立.由引理1.1 知G/N 必滿足定理條件，且|G/N|＜|G|，G/N 可解.設N1，N2是群G 的兩個互異的極小正規子群，則G/N1,G/N2皆可解.由引理1.8 知，G/N1∩N2可解，且G 是極小階反例，故N1∩N2≠1，于是N1∩N2＜N1與N1的極小性相矛盾.

（3）N 是P-群.假設命題不成立.令NP∈Sy1P(N)，由Frattini 論斷可知G=NNG(NP).如果NG(NP)=G，則NP(G，由N 的唯一極小正規性可得N=NP，N 為P-群，矛盾.于是NG(NP)＜G，則存在極大子群M，使NG(NP) ≤M ＜.G，G=NNG(NP)=NM，N ∪M.由于1 ≠NP≤N ∩M，有N ∩M ≠1，且由N 的唯一極小正規性知MG=1，否則N≤MG≤M，矛盾于因此，我們知N ∩M 為M 的CI-截.由定理條件知，必存在正規子群H(G 使G=H(N ∩M)，以及為G 的CAP-子群.因MG=1，于是H ∩(N ∩M)必遠離N/1.H ∩(N ∩M)∩N=1，H ∩N ∩M=1.由N 之唯一性且N≤H，從而N∩M=1，與N∩M≠1矛盾.所以，N 是P-群且可解.又由（1）知G 可解，便與G 的極小階反例相矛盾.那么，不存在群G 的極小階反例，故知G 是可解的.

再證必要性.由于群G 是可解的，故G 對每個極大子群M ≤G 必有主因子K/M，且K/M 為素數冪階群.此外，還有M ∩K=MG.因此，M 有平凡的CI-截于G 中C＃-正規.同時，其在G 中亦C＃-正規的.

推論2.1 設G 為群.若子群N(G 使G/N 的每個極大子群之CI-截于群G 中為C＃-正規，則G 必為可解群.

證明:由引理1.1、定理2.1 可證.

例2.1 因A4是A5的一個極大子群，且A5為單群，故A4的一個CI-截為A4.A4若C＃-正規于A5中，則有正規子群N(A5使A5=A4N.因此，N=A5，即A4為G 的CAP-子群.進而，A4覆蓋或遠離G/1，產生矛盾.所以，A5不滿足條件故不可解.

定理2.2 若N(≠{e})(G，則群N 為可解的當且僅當任意不含N 的極大子群M 是C＃-正規于G 的.