說零點問題

黑龍江省實驗中學 王曉紅

題目：已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

高考背景：

此題是2014年新課標I理科11題，是一道關于零點求參數范圍問題.在近幾年的高考中，零點問題頻頻出現(xiàn)，不僅出現(xiàn)于客觀題中，考查考生對零點基礎知識的理解與基本技能的掌握，而且滲透于主觀題中，多與導數有機融合，考查考生的思辨能力、轉化能力.該類型題的特征是：設問多樣、隱顯分明、注重基礎、適度交匯，其解法要因題擇法，既要重視定義、定理、構造等代數方法，又要強調數與形的轉化思想.事實上，教材概述零點問題，就給零點賦以“形”與“數”的雙刃面，這不僅拓展了知識理解的深度，而且提升了問題解答的寬度.

知識準備：

1.函數零點的定義.

一般地，如果函數y＝f（x）在實數a處的值等于零，即f（a）＝0，則a叫作這個函數的零點.

2.幾個等價關系.

方程f（x）＝0有實數根？函數y＝f（x）的圖象與x軸有交點?函數y＝f（x）有零點.

解題方法：

題目：已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍是（）

A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

解法一：一個函數討論畫圖象.

函數y＝f（x）的零點，即y＝f（x）函數的圖象與x軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為函數y＝f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標.

①a＝0時，f（x）＝-3x2+1，易知舍去.

②a＞0時，f（x）＝0則

x （-∞，0）0（0，2 a） 2 a （2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） ↑ ↑a↑

由圖象可知函數f（x）存在負數零點，此時不滿足題意.

③a＜0時，

x（-∞，2 a）2 a （2，0）0（0，+∞）f（x） - 0 + 0 -f（x） ↑a↑↑

由圖可知函數f（x）的極大值為f（0）＝1＞0，所以只需f（x）的極小值，所以a＜-2.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2）.

解法二：轉化為方程的根，然后參量變量分離.

函數f（x）的零點，即函數y＝f（x）的圖象與軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為方程f（x）＝0的根.轉化為ax3-3x2+1＝0有唯一根，且此根為，設奇函數）

x（0，1） 1（1，+∞）y' + 0 -y ↑ ↑

x→0時，y→-∞.

x→+∞時，y→0.

由圖可知，a＜-2.

解法三：轉化為方程的根，然后化為兩個函數圖象交點個數問題.

函數y＝f（x）的零點，即函數y＝f（x）的圖象與x軸交點的橫坐標.因此，求函數的零點問題可轉化為y＝f（x）函數的圖象與軸x交點的橫坐標，或將方程f（x）＝0整理成f1（x）＝f2（x）的形式，然后在同一直角坐標系下，畫出函數y＝f1（x），y＝f2（x）的圖象，交點的橫坐標即為函數f（x）的零點，交點的個數即為函數f（x）的零點個數.

y＝ax-3與相切時，斜率為±2，由題意可知a＜-2.

歸納說明：化為兩個函數時，選擇曲線對曲線不易控制，選擇直線對曲線相對容易.

比對三種方法，分析哪個方法更適合本題.

變式訓練：

變式（1）已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有兩個零點，則a的取值范圍是 .

變式（2）已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）有三個零點，則a的取值范圍是 .

變式（3）已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若f（x）在區(qū)間[0，2]上有兩個零點，則a的取值范圍是 .

首先用上述的第一種方法解決三個變式

變式（1）

變式（2）

變式（3）

用上述另外兩種方法解決三個變式，分析哪方法更恰當.

變式（4）已知函數f（x）＝ax3-3x2+1，若x＞0，f（x）＞0恒成立，則a的取值范圍是 .

首先用上面的第一種方法解決，

①a＝0舍去，

②a＞0且

③a＜0舍去，

∴a＞2.

用另外兩種方法解決，分析哪個方法更恰當.

變式（5）（高考題）當x∈[-2，1]時，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是（）

當x＝0時，a∈R，成立.

當0＜x≤1時，a

在0＜x＜1時，y'＞0，故y在[0，1]上遞增.

∴ymax＝-6，∴a≥-6.

當-2≤x＜0時同理可知，

x（-2，-1）-1（-1，0）y' - 0 +y↑↑ -2

∴a≤-2.

綜上所述，-6≤a≤-2.

對于本題，若是從“求函數f（x）＝ax3-x2+4x+3（-2≤x≤1）的最小值”角度求解將很麻煩，例題本身求導之后可以因式分解，用最值法容易解決，所以解題需要合理的方法.

轉化為（x-1）ex＜a（x-2），設y＝（x-1）ex，y＝a（x-2），y＝xex,

x（-∞，0）0（0，+∞）y' - 0 +y-1 ↑↑

歸納說明：將問題轉化為兩個函數更為恰當，隱直線的挖掘，進而化為直對曲..

歸納總結：

解決函數零點問題主要依賴數形結合，可以直接用一個函數討論畫圖象，也可以參變量分離，又可以化為兩曲線（兩函數）討論畫圖象，無論選擇哪種辦法都依賴于圖象，正所謂“數形結合百般好，隔離分家萬事休”.我們可以從體會更深刻的數學轉化思想.