你會解“非直角”三角形嗎？

周煉

在“銳角三角函數(shù)”這一章中，同學(xué)們通過學(xué)習(xí)，大多可以掌握解直角三角形的方法，但如果題目中的三角形不是直角三角形，而是銳角三角形或鈍角三角形，你還能根據(jù)其中的一些條件求出其他元素嗎？解“非直角”三角形有哪些情形？它們與解直角三角形之間又有怎樣的聯(lián)系呢？

一、“兩邊一角”型

例1 如圖1，在△ABC中，∠A為鈍角，AB=25，AC=39，sinB=3/5，求tanC和BC的長。

【解析】這道題給出了三角形的其中兩條邊和一個銳角的三角函數(shù)值，但這些條件都不在直角三角形中，而是在一個鈍角三角形中，要想將它們用起來，就要通過作輔助線給AB、AC、∠B、∠C都找到屬于自己的直角三角形。通過分析我們發(fā)現(xiàn)，如果過點A作AD⊥BC于點D（如圖2），那么在Rt△ADB中，由sinB=AD/AB=3/5，可以求出AD=15，再由勾股定理得出BD=

。在Rt△ADC中，同樣由勾股定理可以得到

，從

，BC= BD+CD=20+3 6=56。

二、“兩角一邊”型

例2 如圖3，在△ABC中，∠A=120°，∠C=45°，AB=2，求AC的長。

【解析】可能同學(xué)們看到∠A =120°這一條件會覺得無從下手，因為1200的角是鈍角，其三角函數(shù)值已經(jīng)超出了我們目前所學(xué)的內(nèi)容。那么，如何對這一條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化呢？聯(lián)系七年級學(xué)過的角的相關(guān)知識，不難想到雖然120°的角是鈍角，但是其補角60°卻是銳角，所以只要作出BA或者CA的延長線就可以將120°轉(zhuǎn)為60°使用，但是到底延長哪一條邊依然值得思考。這道題給出的條件是三角形中兩個角的度數(shù)和一條邊長，我們發(fā)現(xiàn)如果要同時構(gòu)造關(guān)于∠A的補角，∠C以及邊AB的直角三角形，只能延長CA，并過點B作CA延長線的垂線交于點D（如圖4），根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及特殊角的三角函數(shù)值，在Rt△ADB中可以求出AD=1，BD=3，在Rt△CDB中可以求出CD=3，從而AC=CD-AD=3-1。

三、“三邊”型

例3 如圖5，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求tanB的值。

【解析】本題給出的條件是一個銳角三角形的三邊長，要求∠B的三角函數(shù)值，尋求一條輔助線構(gòu)造關(guān)于∠B的直角三角形依然是解決這類問題的關(guān)鍵。結(jié)合△ABC本身是等腰三角形，可以從“三線合一”與構(gòu)造直角的雙重角度出發(fā)。過頂點A作BC邊上的高，垂足為D（如圖6），根據(jù)BC=10與等腰三角形的三線合一定理可得BD=DC=1/2BC=5，再利用勾股定理可以求出

，所以在Rt△ADB中，

。

通過以上幾個例子，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，解“非直角”三角形看似陌生、復(fù)雜，但只要仔細(xì)分析、認(rèn)真觀察，作出恰當(dāng)?shù)摹⒎项}目條件的輔助線都可以將其轉(zhuǎn)化為我們熟悉的解直角三角形問題;當(dāng)我們遇到鈍角的度數(shù)無從下手時，也可以通過作補角先將其轉(zhuǎn)化為銳角，再來運用其三角函數(shù)值。總而言之，同學(xué)們以后遇到不太熟悉、難以人手的問題時，多從轉(zhuǎn)化的角度去思考，問題往往就能迎刃而解。

（作者單位：江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初級中學(xué)）