化斜為直 變難為易

陳建

近年來，各地中考試題經常出現關于解斜三角形的問題。解決此類問題的關鍵是運用“化斜為直”的數學思想方法，通過作垂線段把已知的特殊角置于直角三角形中，從而把解斜三角形問題轉化為解直角三角形問題。現以一道中考題為例，希望對同學們有所幫助。例題（2020·江蘇淮安）如圖1，三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，測得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8 千米，求A、B 兩點間的距離。

【解析】解題時我們常把特殊角放在直角三角形中，運用三角函數知識解決問題。此題可過點C 作AB 邊上的高CD，構造出兩個直角三角形，把分散的條件集中起來解決問題。如圖2，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解這個直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC 中，由CD=4，∠ABC=45°，得BD=4，所以A、B 兩點間的距離為（4 3+4）千米。

變式1：把原題中的AC=8 千米改為AB=（4 3+4）千米，求A、C 兩點間的距離。

【解析】作CD⊥AB 于點D，構造的Rt△ADC 和Rt△BDC 都沒有已知的一條邊的長度，所以不能直接解直角三角形，此時需要借助AB 的長度列方程解決問題。設CD=x，可得AD= 3 x，BD=x，所以3 x+x=4 3+4，解得x=4，所以AC=2CD=8，即A、C 兩點間的距離為8千米。

變式2：如圖3，若把原題中的∠ABC=45°改為∠ABC=135°，其他條件不變，求A、B 兩點間的距離。

【解析】解題時看到135°的角要聯想到它的補角為45° ，所以過點C 作AB 邊上的高CD 可把30° 、45° 放到兩個直角三角形中。如圖4，在Rt△ADC 中，由AC=8，∠CAB=30°，可直接解這個直角三角形，得CD=4，AD=4 3。在Rt△BDC中，CD=4，∠CBD=45°，得BD=4，所以A、B 兩點間的距離為（4 3-4）千米。

變式3：三條筆直公路兩兩相交，交點分別為A、B、C，測得∠CAB=30°，BC=4 2 千米，AC=8千米，求A、B 兩點間的距離。

【解析】解題時若題中沒有給出圖形，需要自己作圖時，往往要考慮多解的情況。此題可分為圖5和圖6兩種情況，通過作AB 邊上的高CD 把30°放到兩個直角三角形中解決問題。解題思路可參照例題和變式2，易求A、B 兩點間的距離為（4 3+4）千米或（4 3-4）千米。

同學們，變式3中的兩個圖形是我們解斜三角形常見的兩種基本圖形。解題時我們要能夠從復雜的圖形中分解出基本圖形，用“化斜為直”的思想方法使復雜的問題簡單化。但要特別注意：所作的垂線段盡可能不要將特殊角分割。

（作者單位：江蘇省泰州市九龍實驗學校）