概率考查知多少

吳永

一、考查概率的意義一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個(gè)事件的概率。

例1 下列說法正確的是（ ）。

A“. 買中獎(jiǎng)率為110 的獎(jiǎng)券10 張，中獎(jiǎng)”是必然事件

B.概率是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生

C.襄陽氣象局預(yù)報(bào)說“明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天一定下雨

D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面朝上的概率為0.5

【解析】中獎(jiǎng)率110 表示中獎(jiǎng)的可能性為110，因此買獎(jiǎng)券10張不一定中獎(jiǎng)，選項(xiàng)A不正確;概率為1% 的事件在一次試驗(yàn)中也可能發(fā)生，只是發(fā)生的可能性很小，選項(xiàng)B不正確;“明天的降水概率為70%”表示明天下雨的可能性為70%，因此明天不一定下雨，選項(xiàng)C不正確;拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為：①兩次都是正面朝上，②兩次都是反面朝上，③第一次正面朝上，第二次反面朝上，④第一次反面朝上，第二次正面朝上，它們都是等可能的，因此拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面朝上的概率為24=0.5，選項(xiàng)D正確。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，試驗(yàn)次數(shù)的多少不能決定事件一定發(fā)生，可能性大也不一定發(fā)生，可能性小也可能發(fā)生。

二、考查古典概型的概率一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n 個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m 個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A 發(fā)生的概率P（A）=mn。

1. 一步概率一次試驗(yàn)只需一步操作即可完成，直接利用等可能條件下的概率公式求解。

例2 （2020·山東濟(jì)寧）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案（如圖1所示），每個(gè)圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初心”。其中第（1）個(gè)圖案中有1 個(gè)正方體，第（2）個(gè)圖案中有3個(gè)正方體，第（3）個(gè)圖案中有6個(gè)正方體……按照此規(guī)律，從第（100）個(gè)圖案所需正方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（ ）。

A. 1100 B. 120 C. 1101 D. 2101

【解析】觀察圖案可知，第（1）個(gè)圖案中正方體的個(gè)數(shù)為1，第（2）個(gè)圖案中正方體的個(gè)數(shù)為3=1+2，第（3）個(gè)圖案中正方體的個(gè)數(shù)為6=1+2+3…… 于是猜想，第（100）個(gè)圖案中正方體的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+99+100=（1 + 100 ）× 1002 =5050，其中帶有“心”字的正方體個(gè)數(shù)為100，所以從第（100）個(gè)圖案中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正方體的概率為1005050= 2101。故選D。

2. 兩步概率一次試驗(yàn)需要兩步操作完成，先利用列表法（或畫樹狀圖法）列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再利用等可能條件下的概率公式求解。

例3 （2020·江西）某校合唱團(tuán)為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動(dòng)，需招收新成員。小賢、小晴、小藝、小志四名同學(xué)報(bào)名參加了應(yīng)聘活動(dòng)，其中小賢、小藝來自七年級(jí)，小志、小晴來自八年級(jí)。現(xiàn)對(duì)這四名同學(xué)采取隨機(jī)抽取的方式進(jìn)行線上面試。

（1）若隨機(jī)抽取一名同學(xué)，恰好抽到小藝同學(xué)的概率為;

（2）若隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求兩名同學(xué)均來自八年級(jí)的概率。

【解析】（1）從4名同學(xué)中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的，其中恰好抽到小藝同學(xué)有一種可能，所以恰好抽到小藝同學(xué)的概率為14。故填14。

（2）用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有12 種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“兩名同學(xué)均來自八年級(jí)”記為事件A，它的發(fā)生有2種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）= 212=16。

3. 三步概率一次試驗(yàn)需要三步操作完成，先利用畫樹狀圖法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再利用等可能條件下的概率公式求解。

例4 （2020·江蘇鎮(zhèn)江）智慧的中國古代先民發(fā)明了抽象的符號(hào)來表達(dá)豐富的含義。例如：符號(hào)“ ”有剛毅的含義，符號(hào)“ ”有愉快的含義。符號(hào)中的“ ”表示“陰”，“ ”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號(hào)還有其他的含義。所有這些三行符號(hào)中，每一行只有一個(gè)陰或一個(gè)陽，且出現(xiàn)陰、陽的可能性相同。

（1）所有這些三行符號(hào)共有種;

（2）若隨機(jī)畫一個(gè)這樣的三行符號(hào)，求“畫出含有一個(gè)陰和兩個(gè)陽的三行符號(hào)”的概率。

【解析】（1）用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

所以所有這些三行符號(hào)共有8 種。故填8。

（2）由樹狀圖可知，共有8 種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“畫出含有一個(gè)陰和兩個(gè)陽的三行符號(hào)”記為事件A，它的發(fā)生有3 種可能，所以事件A 發(fā)生的概率P（A）=38。

【點(diǎn)評(píng)】求古典概型的概率，關(guān)鍵是確定一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)以及其中某個(gè)事件發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。需要注意的是：第一步操作后是否放回，會(huì)影響第二步操作可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。如例3第（2）問中就隱含了抽取的第一名同學(xué)是“不放回”這個(gè)條件。

三、考查幾何概型的概率試驗(yàn)等可能出現(xiàn)的結(jié)果是無限個(gè)，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過“劃分”轉(zhuǎn)化為有限個(gè)結(jié)果，進(jìn)而利用“幾何概型”中的等可能條件下的概率公式求解。

例5 （2020·山西）如圖2是一張矩形紙板，順次連接各邊中點(diǎn)得到菱形，再順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小矩形。將一個(gè)飛鏢隨機(jī)投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（ ）。

A.13

B.14

C.16

D.18

【解析】如圖3所示畫出分割線，設(shè)最小矩形的面積為S，則S 最大矩形=16S，S 陰影=4S，所以飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為4S16S=14。故選B。

【點(diǎn)評(píng)】試驗(yàn)等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)如果是無限個(gè)，較為常見的方案是轉(zhuǎn)化為圖形的面積或線段的長度等求解。

四、考查利用頻率估計(jì)概率

在一定條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)。在實(shí)際生活中，人們常把試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計(jì)值。例6 （2020·江蘇揚(yáng)州）大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用。如圖4是小明同學(xué)的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)。為了估計(jì)圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總面積約為cm2。

【解析】∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

∴點(diǎn)落入黑色部分的概率為0.6。設(shè)黑色部分的面積為S。

∵邊長為2cm的正方形的面積為4cm2，

∴S4=0.6，解得S=2.4（cm2）。故填2.4。

【點(diǎn)評(píng)】同一試驗(yàn)的概率求法往往不唯一，有時(shí)我們可以采用“算兩次”的數(shù)學(xué)方法來解決某些實(shí)際問題。需要注意的是：利用頻率估計(jì)概率，必須在同一條件下進(jìn)行，并且試驗(yàn)次數(shù)要足夠多。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹽都區(qū)實(shí)驗(yàn)初中）