理解概念內涵 把握概念本質

王翠玲

數學概念是數學的基石。無論是數學本身的發展，還是解決數學問題，都需要運用到數學概念。“銳角三角函數”這一章的主要概念有：銳角三角函數的定義、解直角三角形、仰角與俯角、坡度與坡角。運用數學概念解決問題的前提是正確理解概念。但老師發現：同學們在數學學習中經常因為概念不清而導致“事故”頻發。下面通過幾個具體例子的剖析，談談在學習“銳角三角函數”時如何理解概念內涵，把握概念本質。

錯誤一：忽視前提

例1 如圖1，已知AB=5，AC=4，BC=3，求厶4的正弦值。

【錯解】因為BC=3，AC=4，AB=5，所以

。

【錯因剖析】求一個銳角三角函數的前提條件是什么？我們知道，一個銳角的三角函數只與角的大小有關，與所在的三角形形狀、大小無關。但初中銳角三角函數是在直角三角形中定義的。本題中求厶4的正弦值，是直角三角形中對邊與斜邊的比。該解法忽略了概念使用的前提條件是“△ABC是直角三角形”，根本原因是概念理解出現偏差。

【正解】因為BC=3，AC=4，AB=5，所以BC2+A C2=32+42=25，A82=25，所以BC2+AC2=AB2，所以∠C=90°，所以sinA=

。

錯誤二：審題不清

例2 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-x2+6x-5的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，求∠ACB的正切值。

【錯解】求得點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（5，0）、（0，-5），易得AB=4，AC=26，OB=OC=5，所以∠OBC=45°。作AD⊥BC，則AD=AB·sin45°=22，故在E Rt△ADC中，∠ACD的正切值為

。

【錯因剖析】應該說，解題者思維靈活、方法獨特。但我們要注意到，問題要求的是“∠ACB 的正切值”，而解題者求的

是AD與AC 的比，這個比實質上是∠ACD 的正弦值。導致這種錯誤可能是兩種原因：一是審題不清，將正切看成了正弦;二是概念混淆，將正切理解為直角三角中銳角的對邊與斜邊的比，與正弦混淆。因此，解題中，既要注意認真看清題目的要求，也要理清數學概念。

【正解】求出CD=3 2，在Rt△ADC 中，tan∠ACD=

。

錯誤三：概念不清

例3 （2020·江蘇泰州改編）我市在鳳城河風景區舉辦了端午節賽龍舟活動。小亮在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來，他在高出水面15m的A 處測得在C 處的龍舟俯角為23°;他登高6m到正上方的B 處測得駛至D 處的龍舟俯角為50°。問兩次觀測期間龍舟前進了多少？（結果精確到1m，參考數據：tan23° ≈0.42，tan40° ≈0.84，tan50° ≈1.19，tan67°≈2.36）

【錯解】如圖3，設直線CD 與AB 相交于點E。在△AEC 中，由∠E=90° 得tan∠CAE=

，故CE=AEtan∠CAE=15tan23°，同理DE=21tan50°，所以CD=CE-DE=15tan23°-21tan50°≈15×0.42-21×1.19=-18.69……至此無法解答。

【錯因剖析】將俯角理解為視線與鉛垂線的夾角，屬于概念理解錯誤。在測量中有一些專有名詞概念，如俯角、仰角都是指視線與水平線的夾角。本題中“A 處測得在C 處的龍舟俯角為23°”“D 處的龍舟俯角為50°”，即圖中分別過點A、B 作水平線AG、BH，其中俯角分別為∠GAC、∠HBD。另外，坡度是指斜坡的垂直高度與水平寬度的比，而坡角是坡面與水平面的夾角。還有一些概念是約定俗成的，如方向角，一般是視線與方向線的夾角，特別地，西北方向指北偏西45°的方向，等等。

【正解】如圖4，在△AEC 中，由∠E=90°得tan∠CAE=

，故CE=AEtan∠CAE=15tan67°同理DE=21tan40°，所以CD=CE-DE=15tan67°-21tan40° ≈15×2.36-21×0.84=17.76≈18（m）。銳角三角函數溝通了直角三角形的邊與角的數量關系，是解決圖形問題的重要工具，而理清銳角三角函數概念本質，把握概念內涵，才是正確、合理、高效解決相關問題的前提。

（作者單位：江蘇省睢寧縣高級中學初中部）