“泰勒公式”的導(dǎo)入與剖析

智紅燕 張丹青 張艷華 趙旭波

[摘 要] 從函數(shù)改變量的微分近似出發(fā)，通過(guò)類比歸納和誤差“撿回”的方法導(dǎo)入泰勒公式，并闡述其幾何意義、物理意義、原型、唯一性、缺點(diǎn)，最后從哲學(xué)的角度分析泰勒公式蘊(yùn)含的真善美。既有助于學(xué)生理解和掌握泰勒公式，又能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

[關(guān)鍵詞] 泰勒公式;誤差“撿回”法;類比法;高等數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] O13? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）01-0125-04? ? [收稿日期] 2020-11-28

一、引言

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點(diǎn)之一[1-6]。在傳統(tǒng)的教學(xué)過(guò)程中，授課教師著重介紹泰勒公式的定理、證明、常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。然而，泰勒公式的“逼近思想”、化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想在授課時(shí)往往被忽略，學(xué)生無(wú)法深入理解和掌握，更不能領(lǐng)悟到泰勒定理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和哲學(xué)思想[1]。

二、泰勒公式的導(dǎo)入

教師先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用刻度尺測(cè)量身高的過(guò)程：先用單位是米的尺子測(cè)量，假設(shè)得到數(shù)據(jù)1米。不足一米的部分作為誤差出現(xiàn)，結(jié)束測(cè)量，此時(shí)測(cè)量的身高就是1米。學(xué)生自然覺(jué)得這樣誤差太大，要提高精度。繼續(xù)用單位是分米的尺子測(cè)量誤差部分（即不足1米的部分），假設(shè)得到數(shù)據(jù)6分米。不足分米的部分作為誤差出現(xiàn)，結(jié)束測(cè)量，測(cè)量的身高就是一米六。此時(shí)學(xué)生自然會(huì)想到接著可以用單位是厘米的尺子測(cè)量誤差部分，假設(shè)測(cè)得數(shù)據(jù)是5厘米，人的身高就是1.65米。進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)真實(shí)身高=1.65米+誤差（不足厘米部分）。然后指出這一測(cè)量過(guò)程的關(guān)鍵是首先找到度量單位米、分米、厘米。方法是先用最大的單位去度量，再依次用小一個(gè)級(jí)別的單位去度量丟掉的誤差部分，達(dá)到逐步提高精度、接近真實(shí)值的目的。

三、泰勒公式的剖析

導(dǎo)入泰勒公式后，進(jìn)一步從歷史、原型、幾何、物理、唯一性、哲學(xué)和優(yōu)缺點(diǎn)等角度分析泰勒公式，讓學(xué)生更全面地內(nèi)化泰勒公式的思想本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的哲學(xué)思維，激發(fā)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力。

（一）泰勒公式的歷史

四、結(jié)論

類比歸納+誤差“撿回”導(dǎo)入法有助于學(xué)生體會(huì)到抽象的泰勒公式本質(zhì)就是日常生活中“測(cè)量”精度的逐步逼近，深刻領(lǐng)悟泰勒公式的逼近思想。并從泰勒公式的歷史、原型、幾何、物理、唯一性、哲學(xué)和優(yōu)缺點(diǎn)等角度全方位辯證地分析泰勒公式，這有助于學(xué)生“內(nèi)化”泰勒公式的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的熱情，為以后微積分的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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