中軌道Walker導航星座在軌備份方案優化設計

王許煜，胡敏，趙玉龍，張學陽，李玖陽

航天工程大學，北京 101400

導航星座為了滿足系統對可用性、連續性和完整性的嚴格要求，通常會在空間部署若干顆備份衛星。若星座中有衛星失效，則通過在軌備份衛星變軌對其進行替換。如GPS(global positioning system)星座將備份衛星部署在故障概率最大的衛星附近形成“衛星對”[1]，以便其中的一顆衛星發生故障時，備份衛星能夠在較短時間內通過軌道機動來實現對故障衛星的快速替換[2]，從而降低對用戶的影響。在軌備份方案的優化設計關系到整個導航星座運行期間的服務性能，同時還涉及到空間軌道資源的維護利用等問題[3]，因此必須對在軌備份方案進行合理設計。

目前，與導航星座在軌備份方案優化設計相關的研究較少。文獻[3]基于系統服務性能提升，從PDOP(position dilution of precision)值、地面可見星數和地面對新增衛星可視情況3個方面對比分析了北斗衛星導航(區域)系統中GEO和IGSO備份星在不同軌位時，對現有系統服務性能的影響。文獻[4]基于5GEO/5IGSO/4MEO區域導航衛星系統，在僅有2顆備份衛星的條件下利用星座的幾何關系給出了同軌道面備份和異軌道面備份時，備份星IGSO的最優相位分布，從而有效地保證了系統的連續性和可用性。上述文獻只對GEO和IGSO備份星軌位進行了分析，而沒有考慮MEO備份星軌位的設計，同時由于GEO和IGSO軌道面內衛星數量較少，且備份星軌位相對固定，因此也都未涉及到在軌備份星替換的優化設計。

本文以中軌道Walker導航星座為研究對象，首先針對星座運行期間在軌備份星與工作衛星存在共同提供服務的情況，通過建立軌位優化模型，以PDOP值和可見衛星數為目標函數，利用NSGA-Ⅱ(non-dominated sorting genetic algorithm)算法分析在軌備份星在不同軌位下對系統服務性能的影響。其次，基于在軌備份星軌位的優化結果，建立在軌備份星替換的軌道機動模型，分別以替換所需的速度增量最少和替換時間最少為優化目標進行在軌備份星替換方案的優化設計，并分析比較兩種替換方案。

1 在軌備份星軌位優化設計

1.1 軌位優化模型

在軌備份星的軌位直接決定了備份星對系統服務性能的增強效果，與星座優化設計一樣，在軌備份星軌位的設計同樣屬于多目標優化問題。本文以中軌道Walker導航星座為分析對象，該星座由24顆衛星組成，星座參數為24/3/1，軌道高度為21 528 km，傾角為55°，同時，模型中每個軌道面上分別部署2顆在軌備份星。

(1) 優化變量

在軌備份星軌位優化設計中，模型優化變量為每個軌道面上在軌備份星的軌位fi,j，i∈(1,2,3)，j∈(1,2)，其中i為軌道面編號，j為在軌備份星編號。如f1,2表示第1個軌道面上的第2個在軌備份星的軌位。

(2) 目標函數

在導航星座中，定位精度是其性能評估的重要指標，而該指標除了受到各偽距測量值的影響,還與星座的幾何構型有關[5]，通過計算星座位置精度衰減因子(PDOP)值可以對構型進行量化評估[6]。因此，本文選取PDOP值作為備份星軌位優化的評價指標之一，其計算如下[7]。

假設用戶坐標為(X0,Y0,Z0)，此時在用戶本地坐標系中，滿足最小觀測仰角α的N顆衛星坐標可表示為：

ri=[Xi,Yi,Zi],i=1,2,…,N

(1)

則相應的系數矩陣H為：

(2)

記矩陣Q為：

(3)

最終用戶坐標的PDOP值為：

(4)

同時，導航星座除了定位精度要求外，還有其它的性能要求，本文選取可見衛星數作為另一個備份星軌位優化的評價指標。可見衛星數是指在一定的仰角范圍內，用戶能接收到衛星導航信號的衛星數目，其值的大小不僅決定精度因子計算結果的準確性，還與星座對地面的覆蓋特性密切相關，因此同樣是衡量導航星座性能優劣的重要指標。

為了更全面地評價導航星座服務區域的性能，本文采取網格分析法，對導航星座的服務區域進行網格劃分，并統計在每一時刻所有網格點的PDOP值和可見衛星數，從而獲得仿真時間內每個網格點的平均PDOP值和平均可見衛星數，最終對所有網格點的數值求平均，得到服務區域內PDOP值和可見衛星數的平均值，分別用FP(X)和FM(X)表示。綜上可得，導航星座在軌備份星軌位優化設計的數學模型為：

(5)

(3) 約束條件

在軌備份星軌位優化設計中，模型的約束條件為在軌備份星的軌位fi,j∈[0°,360°]，同時，由于工作衛星的存在，在軌備份星的軌位不能取值為同一軌道面中已有工作衛星的軌位。

1.2 基于NSGA-Ⅱ算法的多目標優化設計

(1) 軌位優化變量的編碼方式

在軌備份星軌位優化變量屬于連續型變量，要利用NSGA-Ⅱ算法對其進行求解，必須對優化變量進行編碼。變量編碼有多種編碼方式，其中應用最廣泛的為二進編碼方式，然而當模型優化變量取值范圍較大時，為了保證優化變量具有較高的精度，需要增大二進制字符串位數，這會導致染色體基因過長，從而降低搜索效率，影響算法的收斂速度。因此，本文采用浮點數編碼方法，染色體中每個基因代表一個變量，該編碼方法能夠有效降低染色體編碼長度，提高運算效率，同時能確保變量具有較高的精度。對每個變量進行編碼后，將它們串聯成一個染色體，從而完成對一個個體的編碼，如圖1所示。

圖1 染色體編碼示意Fig.1 Chromosome coding diagram

(2) 基于Pareto占優的選擇機制

與單目標優化問題不同的是，由于在求解過程中難以獲得一個能使所有目標函數都達到最優值的理想解，當進一步優化一個目標時通常會引起其他目標的劣化，因此多目標優化問題的最優解是一組最優解集。已有大量學者對多目標優化問題的求解展開了研究并提出相應的求解思路，其中應用較為廣泛的是基于Pareto 占優思想的優化方法[8]。

假設多目標優化是求解目標函數的最小值，若可行解x1所對應的任意一個目標函數值fk(x1)都小于等于可行解x2對應的目標函數值fk(x2)，并且存在一個目標函數值fl(x1)小于x2對應的目標函數值fl(x2)，則稱可行解x1相比于x2占優或x1支配x2。

(6)

如果可行解x不被其他任一解所支配，則該可行解稱為非支配解，經過算法迭代進化，可以得到所有非支配解，并組成非支配解集，稱為Pareto前沿[9]。在NSGA-Ⅱ算法中采取Pareto占優的選擇機制來獲得Pareto前沿，其公式為[10]：

(7)

式中：μi,g為試驗向量，Xi,g為目標向量。

(3) NSGA-Ⅱ算法的優化流程

非支配排序遺傳算法(NSGA)是Srinivas和Deb于1994年提出的基于Pareto占優選擇的多目標優化算法[11]。在此基礎上，Deb等人于2002年進一步提出了NSGA的改進算法NSGA-Ⅱ[12]，該算法較上一代算法的優勢主要體現在NSGA-Ⅱ算法采取快速非支配排序法，從而降低了搜索非支配解的復雜度，并定義擁擠距離來計算各層中點之間的擁擠度，代替了NSGA算法中共享函數的使用，避免了人為確定共享參數對解空間分布的影響，保持了種群的多樣性，同時還引入精英策略，通過對解空間進行分層確定非支配序列，保留了種群中解的優越性，也擴大了采樣空間[13]。NSGA-Ⅱ算法主要包括初始化、選擇、交叉和變異等步驟，其具體流程如圖2所示。

圖2 NSGA-Ⅱ算法流程框圖Fig.2 NSGA-Ⅱ algorithm flow chart

1.3 仿真分析

依據上述模型及優化算法對在軌備份星軌位進行優化設計，中軌道Walker導航星座的服務區域為全球區域，并按5°×5°的經緯線對其進行網格劃分，仿真時間為一個星座回歸周期，用戶最小觀測仰角α為5°，數據統計步長為600 s。優化算法的初始參數為：種群個數N為50，最大進化代數G為50，交叉因子為1，變異因子為0.16。在軌備份星軌位優化結果如圖3所示。

圖3 在軌備份星軌位優化結果Fig.3 Optimization results of in-orbit backup satellite orbital position

從圖3可得，算法迭代獲得的優化解集中可見衛星數對應的區間為[10.330 3，10.330 6]，PDOP值對應的區間為[1.665，1.695]。同時，對于優化解集中不同的解，其可見衛星數的變化范圍較小，而且在這小范圍內，不同解所對應的PDOP值呈現出隨著可見衛星數增大而增大的趨勢。最終，從優化解集中篩選出非支配解集，即圖3中的Pareto等級1，并按照PDOP值進行升序排列，如表1所示。

表1 在軌備份星軌位的非支配解集

從表1中的非支配解集可得，可見衛星數變化范圍較小，因此本文將選擇非支配解集中PDOP值最小的解作為最優解，即f1,1=202.9°，f1,2=247.9°，f2,1=263.4°，f2,2=306.6°，f3,1=142.5°，f3,2=97.5°，并對其進行優化結果分析。最優解的在軌備份星軌位如圖4所示，圖4(b)中M11表示第1個軌道面上編號為1的衛星。

圖4 在軌備份星軌位示意Fig.4 Schematic diagram of in-orbit backup satellite orbital position

針對最優解的在軌備份星軌位，對全球區域內中軌道Walker導航星座與加入在軌備份星后的星座PDOP值和可見衛星數進行對比分析，圖5和圖6所示的是在每個統計時刻下，全球區域內所有網格點的PDOP值和可見衛星數的平均值。可以看出，在星座回歸周期內，中軌道Walker導航星座在不同時刻下PDOP平均值的最大值為1.888 9，最小值為1.875 9，平均值為1.882 4。加入在軌備份星后星座PDOP平均值的最大值降至1.6797，降低幅度為11.1%；最小值降至1.661 8，降低幅度為11.4%；平均值降至1.669 7，降低幅度為11.3%。同理，中軌道Walker導航星座在不同時刻下可見衛星數平均值的最大值為8.284 5，最小值為8.247 6，平均值為8.264 2。加入在軌備份星后可見衛星數平均值的最大值升至10.352 9，增大幅度為24.9%；最小值升至10.307 5，增大幅度為24.9%；平均值升至10.330 4，增大幅度為25%。由此可得，按照優化所得的軌位進行在軌備份星的部署，可以顯著提高導航星座的服務性能。

圖5 星座PDOP值比較Fig.5 Comparison of PDOP values of constellation

圖 6 星座可見衛星數比較Fig.6 Comparison of the number of visible satellites in constellation

2 在軌備份星替換方案優化設計

在軌備份星替換方案優化設計問題不僅關系到衛星故障后導航星座服務性能的恢復，還涉及到在軌備份星替換故障衛星過程中的軌道機動問題。目前，針對軌道機動問題通常以軌道機動所需的能量和機動所持續的時間為評價指標[14]。由于衛星燃料的消耗會縮短衛星的工作壽命，而單顆衛星的壽命會極大地影響整個星座的運行周期，因此，為了最大限度延長衛星的工作壽命，保證星座的預期運行周期，應盡量減少在軌備份星燃料的消耗。同時，考慮到衛星發生故障后會導致導航星座性能的下降，從而造成相應的損失，所以，應使在軌備份星替換時間盡可能短，以確保星座服務性能盡快恢復。

本文基于在軌備份星軌位優化結果，考慮在軌備份星替換故障衛星時軌道機動所需的速度增量以及替換時間，對在軌備份星替換方案進行優化設計。

2.1 軌道機動模型

根據衛星相位調整過程中是否涉及軌道面的變化，衛星相位的調整方式可以分為同軌道面相位調整和異軌道面相位調整[15]。由于異面軌道調整所消耗的燃料較大，因此在軌備份星通常只對同一軌道面內的故障衛星進行替換。根據故障衛星相位和在軌備份星相位的關系，備份星同軌道面的替換又可以分為相位超前和相位滯后兩種情況。

(1) 相位超前

相位超前時，在軌備份星沿著運行方向到故障衛星之間的地心角θ∈[180°,360°)。此時，在軌備份星可以通過抬升軌道高度，在初始位置施加一次沖量進入高軌過渡橢圓軌道，該過渡軌道的半長軸a須滿足：

a0

(8)

式中：a0為原始軌道半長軸。

當在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后，故障衛星位置正好運行到在軌備份星的初始位置，此時，再對在軌備份星施加一次沖量，使其從過渡軌道進入原始軌道，即可完成對故障衛星的替換，如圖7所示。

(2) 相位滯后

相位滯后時，在軌備份星沿著運行方向到故障衛星之間的地心角θ∈(0°,180°)。此時，在軌備份星可以通過降低軌道高度，在初始位置施加一次沖量進入低軌過渡橢圓軌道，該過渡軌道的半長軸a須滿足：

(9)

式中：R為地球半徑。

圖7 相位超前替換示意Fig.7 Schematic diagram of phase ahead replacement

當在軌備份星在過渡軌道上運行若干圈后，故障衛星正好運行到在軌備份星的初始位置，此時，再對在軌備份星施加一次沖量，使其從過渡軌道進入原始軌道，即可完成對故障衛星的替換，如圖8所示。

圖 8 相位滯后替換示意Fig.8 Schematic diagram of phase lag replacement

依據上述的軌道機動模型，可以獲得在軌備份星替換故障衛星的數學模型，在軌備份星在原始軌道上的速度為v1，在過渡軌道上變軌點處的速度為v2，由于經過2次變軌，因此替換所需的總能量ΔV為2倍的速度增量。

(10)

(11)

ΔV=2|v2-v1|

(12)

式中：μ為地球引力常數。

假設在軌備份星替換過程中，在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數為n，故障衛星在原始軌道上運行的圈數為m，若不到1圈則為0。在軌備份星完成替換所需的時間為ΔT，則有：

(13)

(14)

2.2 以速度增量最少為優化目標

以在軌備份星替換故障衛星時所需的速度增量最少為優化目標，分析各在軌備份星對同一軌道面上的8顆工作衛星的替換結果。由于中軌道Walker導航星座中每個軌道面分別部署了2顆在軌備份星，因此，比較2顆在軌備份星的替換結果，可以得到每個軌道面內替換不同故障衛星時所需的最少速度增量。模型目標函數為：

F=min(ΔVx,y,z),x∈(1,2,3),

y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

(15)

式中：ΔVx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛星所需的速度增量。

模型約束條件為：在軌備份星相位超前時采取高軌變相，相位滯后時采取低軌變相，同時，針對實際情況，假設在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數n和故障衛星位置在原始軌道上運行的圈數m都小于等于10。

最終以速度增量最少為優化目標的優化設計結果如圖9所示，圖9(a)為每個軌道面上替換不同衛星時所需的最少速度增量，圖9(b)為該替換方案所對應的替換時間。從圖中可以看出，速度增量的最大值為0.106 2 km/s，最小值為0.015 km/s。雖然替換所需的速度增量較小，但是替換所需的時間較長，最短的替換時間需要126.4 h，最長的替換時間則需要134.5 h。

圖9 以速度增量最少為優化目標的優化設計結果Fig.9 Optimization results with the minimum increment of velocity as the optimization objective

2.3 以替換時間最少為優化目標

以在軌備份星替換故障衛星時所需的替換時間最少為優化目標，再次對在軌備份星替換軌道面內的8顆工作衛星的優化結果進行分析。根據比較每個軌道面中2顆在軌備份星的替換結果，從而得到每個軌道面內替換不同故障衛星時所需的最少替換時間。模型目標函數為：

F=min(ΔTx,y,z),x∈(1,2,3),

y∈(1,2),z∈(1,2,…8)

(16)

式中：ΔTx,y,z為第x個軌道面中編號為y的在軌備份星替換編號為z的故障衛星所需的替換時間。

模型約束條件為：在軌備份星相位超前時采取高軌變相，相位滯后時采取低軌變相，同時，在軌備份星在過渡軌道上運行的圈數n和故障衛星在原始軌道上運行的圈數m都小于等于10。

最終以替換時間最少為優化目標的優化設計結果如圖10所示，圖10(a)為每個軌道面上替換不同衛星時所需的最少替換時間，圖10(b)為該替換方案所對應的替換速度增量。從圖中可以看出，以替換時間最少為優化目標時，替換衛星所需的最短時間為8.8 h，最長替換時間為18.5 h，極大地縮短了替換所需的時間。同時，替換所需的速度增量雖然比以速度增量最小為優化目標時的大，但速度增量最大值為1.16 km/s，最小值為0.14 km/s，仍處于較低水平。

圖10 以替換時間最少為優化目標的優化設計結果Fig.10 Optimization results with the minimum replacement time as the optimization objective

2.4 結果分析

基于上述對兩種替換方案的分析可得，以速度增量最少為優化目標的軌道機動方案，雖然所需的能量較少，但是替換所需的時間較長，適用于主要考慮節省能量的星座；而對于需要快速恢復服務性能的導航星座而言，該替換方案并不十分合適。而以替換時間最少為優化目標的軌道機動方案，其最長的替換時間和最短的替換時間分別降低了86.25%和93.04%，因此該方案能夠在很大程度上減少替換時間；同時，速度增量較以速度增量最小為優化目標的替換方案有所增加，備份星單次機動的速度增量最大值為0.58 km/s，最小值為0.07 km/s，而對于衛星軌道機動而言，該值仍保持在較低水平。綜合兩種替換方案，本文選用以替換時間最少為優化目標的替換方案作為在軌備份星替換的最終方案。

3 結束語

本文對中軌道Walker導航星座在軌備份方案進行了優化設計，得到以下結論：

1)NSGA-Ⅱ多目標優化算法能夠有效實現在軌備份星軌位最優解的快速求解，最終在軌備份星軌位的最優解為：f1,1=202.9°，f1,2=247.9°，f2,1=263.4°，f2,2=306.6°，f3,1=142.5°，f3,2=97.5°。

2)按照本文所得的軌位設計方案進行在軌備份星的部署，可以顯著提高導航星座的服務性能，在回歸周期內，導航星座在全球服務區域上的PDOP值和可見衛星數的平均值分別降低了11.3%和提高了25%。

3)通過分析比較以速度增量最少和以替換時間最少為優化目標的替換方案，可得以替換時間最少為優化目標的替換方案能夠在短時間內以較低的能量完成衛星的替換，更符合導航星座的需求。