長定子直線同步電機齒槽效應的計算與影響

章九鼎 盧琴芬

（浙江大學電氣工程學院 杭州 310027）

0 引言

磁懸浮列車作為一種新型的無接觸地面軌道交通運輸工具，近年來受到廣泛關注[1]。與傳統軌道交通技術相比，其運行噪聲低、安全性高、爬坡能力強[2]。更重要的是，輪軌列車在時速 500km/h以上時，車輪幾乎失去了與鐵軌的摩擦力，也就失去了動力，而磁懸浮列車速度可以超過600km/h[3]。

磁懸浮列車的牽引依靠直線電機，根據工作原理分為直線感應電機（Linear Induction Motor, LIM）和直線同步電機（Linear Synchronous Motor, LSM）兩種。LIM結構簡單、成本低，但速度也低，常采用短初級結構，適用于中低速磁浮列車，一般不超過200km/h。LSM運行速度與磁場速度相同，效率高，可控性好，常采用長電樞（長定子）結構，適用于高速磁浮列車。對于LSM，長定子表面均勻開設用于放置電樞繞組的開口槽，具有較大的齒槽效應。齒槽效應不僅會引起推力與懸浮力的波動，還會影響動子勵磁磁極，一方面在勵磁繞組中產生感應電壓，給繞組絕緣產生壓力；另一方面在勵磁鐵心中產生鐵耗，引起勵磁磁極溫升升高，嚴重時會危害系統正常運行。因此，研究齒槽效應對電機性能的影響及削弱方法非常必要[4-11]，已有一些學者進行了相關研究。

文獻[12]對直線伺服電機齒槽效應造成的法向力波動進行了研究，采用麥克斯韋張量法推導解析表達式，再對齒頂寬度和極弧系數進行優化，可以較好地削弱齒槽效應對法向力波動的影響。文獻[13]通過解析的方法計算了長定子LSM的磁通密度，公式中的相對磁導率函數考慮了齒槽結構，勵磁曲線由電流密度積分得出。文獻[14]的思路與文獻[13]相似，通過相對磁導率函數與勵磁磁動勢函數相乘得到氣隙磁通密度，而且還考慮了定子分段對氣隙磁導率函數的影響。文獻[15]通過研究得出了齒槽效應是造成推力波動主要原因的結論，并比較了不同極槽配合下的齒槽脈振次數，得出脈振次數越高脈動幅值越小的結論。文獻[16]對旋轉電機的齒槽轉矩進行了研究，提出基于槽口偏移的削弱方法，并提出偏移角度的確定公式，通過與有限元的對比，發現該方法可以有效地削弱齒槽轉矩。文獻[17]研究了通過斜極方式削弱齒槽效應，調整傾斜角度和步長，得到最大的電磁推力，并削弱推力諧波。可見，目前的研究主要針對削弱齒槽效應對推力波動與法向力波動的影響，但是其對電勵磁LSM勵磁磁極的影響研究還很少。

本文考慮齒槽效應，基于解析方法計算長定子LSM的氣隙磁場，分析齒槽效應對磁場的影響，并進行了有限元驗證。然后，基于有限元方法，分析了齒槽效應對推力波動與懸浮力波動、勵磁繞組感應電壓與勵磁鐵心損耗的影響，尤其是高速條件下的影響。

1 電機結構與磁場解析模型

圖1所示為長定子LSM的結構示意圖，圖1a是電機一對極下的剖面圖，圖 1b是 LSM在車輛中的位置。長定子安裝于軌道，長定子的鐵心分段，每段鐵心均勻分布開口槽，三相繞組為單匝集中整距繞組，采用波繞組結構。勵磁磁鐵（懸浮磁鐵可稱為次級）安裝于車輛下方，為電勵磁結構，勵磁繞組繞在勵磁鐵心上，通入直流電。勵磁磁鐵采用模塊化結構，每個懸浮模塊包括 12個磁極，其中 10個為中間主磁極，2個為端部末磁極。主磁極極面比末磁極寬，且在極靴表面開有 4個小槽用于放置直線發電機繞組，采用單層繞組的模式，4個槽中2個為發電機線圈，兩者之間采用串聯方式[18]。

圖1 長定子LSM結構示意圖Fig.1 Structure of the long-stator LSM

長定子與懸浮磁極在氣隙磁場的作用下相互吸引，產生一個法向吸力，通常稱為單邊磁拉力，在該結構中把車輛吸向軌道，實現車輛懸浮，因此也稱為懸浮力。氣隙磁場還與電樞磁場相互作用產生水平推力，驅動車輛按牽引曲線運行。

為了分析齒槽效應對氣隙磁場的影響，采用解析建模的方式。模型為一對極長度，且長定子與磁極為等極距結構，模型及其相關結構參數如圖2所示，具體數值列在表1中。

圖2 電機一對極模型結構示意圖Fig.2 Periodical structure of the LSM

模型假設如下：①電機鐵心的磁導率無窮大；②分析區域在二維平面內，不考慮橫向邊端；③假設定子動子在x軸無限長，不計縱向端部效應；④定子為開口槽，且不考慮勵磁磁極上的直線發電機。

表1 長定子LSM參數Tab.1 The parameters of long-stator LSM

1.1 磁導函數

二維坐標（x,y）固定在長定子上，將以A相繞組的中心軸線作為初始位置，以磁極極距τm為周期（τm=bmt+bms），如圖2所示。根據電角度與x軸坐標位移關系，則考慮次級開槽的氣隙磁導為[13-14]

式中，θm為磁極的中心軸線與定子的中心軸線沿x方向上的電角度，初始時刻兩者重合，即θm(t=0)=0，最大磁導率

以定子齒距ts為周期，可寫出考慮初級開槽的氣隙磁導為

式中，θs為定子的中心軸線與整體笛卡爾坐標系沿x方向上的電角度，本文中與系統的笛卡爾坐標軸重合即θs=0，最大磁導率

根據上述兩個磁導方程，可以求出同時考慮初級和次級的氣隙磁導方程為

由于長定子 LSM 的空載氣隙磁場由勵磁磁極提供，故磁極齒槽對氣隙磁密影響不大，所以暫不考慮次級的開槽效應。因此，氣隙磁導函數即為考慮初級開槽的氣隙磁導函數λs(θ)，可以展開成周期為 2τs= 6τn的傅里葉級數，即

式中，定子槽數與磁極極對數的最小公倍數ns=6。

1.2 氣隙磁密計算

將磁極的中心軸線（與定子的中心軸線重合）視為磁極磁動勢橫坐標的零點，可以得到任意時刻磁極產生的磁動勢，如圖3所示。磁極磁動勢函數為

圖3 磁極磁動勢示意圖Fig.3 Magnetomotive force of the excitation pole

以 2τm為周期，勵磁磁動勢Ff(θ,θs)可以展開成傅里葉級數為

式中，pm為次級極對數，pm=1時半齒寬電角度

長定子LSM為大氣隙結構，可以假設磁路非線性，即分別求解勵磁磁動勢和電樞磁動勢。實際上，電樞磁動勢的值相對較小，所以可以忽略電樞磁場，認為勵磁磁場即為氣隙磁場。

根據磁動勢和磁導可以求出勵磁磁動勢Ff()θ在氣隙中產生的磁通密度，計算公式為

從定子上看，氣隙中的空載勵磁磁密Bf(θ,t)可以展開成傅里葉級數為

由于磁極運動，從定子上看，氣隙中的空載勵磁磁通密度可以分解成正向和反向兩個基頻磁場，其中正向與磁極同方向，即6k+j；負向與磁極反方向，即6k-j。當j=1,k=1時，齒槽效應在磁極中產生的6次脈振磁場，在氣隙磁通密度表現為5次、7次諧波。

圖 4顯示了氣隙磁通密度的解析結果與有限元結果的對比。可以發現，在該位置下，在磁極齒下的空氣隙，當電角度等于 30°、150°、210°、330°時，即圖中虛線圓圈標注的部位，定子槽部與磁極齒部相對，此時可以明顯看到齒槽效應導致氣隙磁通密度絕對值減小。同時，該區域解析解與有限元擬合度良好。在磁極槽下的空氣隙區域，即電角度等于90°、270°附近時，有限元與解析解存在差異，這是由于槽中存在較大的漏磁，而解析計算中沒有考慮，但是在該區域，定子齒槽對氣隙磁導的影響比較小，由圖4中可見，有限元和解析解都無法觀測到齒槽效應。

圖4 空載氣隙磁通密度By（虛線圈為齒槽效應）Fig.4 No load magnetic flux density By

對氣隙磁通密度做快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT），結果如圖5所示。由圖5可見，氣隙磁通密度的分量皆為奇數次，兩種方法基波分量的幅值比較接近，僅相差8.7%。比較明顯的諧波分量有5次、7次與11次、13次，其中5次、7次分量大。解析解與有限元略有差異，對于7次諧波含量（諧波/基波），解析解小于有限元結果，前者為25%，后者則為32%；而對于5次諧波，解析解稍大于有限元結果。這是由于解析解做了很多的假設，導致計算結果誤差。

圖5 空載氣隙磁密By頻譜圖Fig.5 No load magnetic flux density By spectra

1.3 推力波動分析

從圖5中看出，因為氣隙磁場中存在5次、7次諧波分量，其與定子電流相互作用，就會產生6倍次的推力波動。也可以從齒槽效應產生的推力波動次數公式看出[15]，其計算方法如下。

式中，LCM( )為求最小公倍數；極對數p=1；定子槽數Ns=6。由此可知，齒槽效應引起的推力波動次數為6倍次。圖6是周期模型的推力FFT通過有限元計算方法得到的結果，推力的諧波分量都為6倍次，與理論分析相符。

圖6 周期模型有限元推力頻譜圖Fig.6 Thrust force spectra by periodic FEA model

2 不等極距對氣隙磁密與力特性的影響

等極距結構齒槽效應對氣隙磁通密度的影響較大，從而會對系統的推力與法向力性能造成影響，必須要采取措施削弱齒諧波。通常直線電機可以采用的方法有斜槽或斜極、分數槽、不等極距等方法[16]，磁懸浮列車的長定子LSM采用了不等極距的方法，因為該方法下電機結構簡單，加工制造容易。該方法的原理是通過改變動子極距，使得動子每個磁極產生的齒槽效應電磁力相位不同，從而達到削弱整個電機推力波動的效果[19]。不等極距方法中電樞與磁極的極距相差不能太大，否則基波分量會下降較多。在現有的TR08中，長定子LSM的電樞、磁極的極距相差8.5mm，基本上為初級槽距的十分之一，即表1中的磁極極距增加為266.5mm, 其他參數與表1相同。

由于不等極距下解析計算不容易實現，因此基于有限元研究了采用不等極距后的性能，分析了齒槽效應的削弱情況，并重點分析了高速下齒槽效應的影響。

2.1 氣隙磁通密度

圖 7顯示了不等極距下在定子看到的氣隙磁通密度，并與等極距結構進行了對比。顯然，兩種結構氣隙磁通密度中都含有豐富的氣隙諧波，其中，5、7、11、13等奇數次諧波分量幅值較大。通過上節解析可知，5次、7次諧波會在次級勵磁繞組中產生6次的感應電壓，同理，11次、13次諧波會產生12次的感應電壓。

圖7 空載氣隙磁密By頻譜圖Fig.7 No load magnetic flux density By spectra

不等極距模型中，5次諧波幅值是基波的21%，7次諧波幅值與5次諧波幅值相等。在等距模型中，5次諧波幅值是基波的 14%，7次諧波幅值是基波的32%。此外，初級、次級不等極距會導致基波幅值略小于等距模型，圖中可以看出減小了6.4%。但是不等極距對于 7次和 11次諧波的削弱作用是明顯的，分別比等距模型減小了37%與61%。

2.2 推力與懸浮力

中高速磁懸浮的推力和懸浮力都由長定子 LSM產生，如果在任意功角情況下，調節一個變量勢必引起另一個變量的變化。為了能夠實現解耦控制，控制系統使氣隙合成磁場軸線與懸浮磁極軸線正交，即定子直軸電流id=0，這樣使電樞反應減到最小，可以使推力實現最大化，也可使系統的懸浮力與推力的相互耦合程度減到最小，控制可以分開調節。

由上文分析知，由于定子的齒槽效應，最終的推力會產生6倍次推力波動，這可以從有限元結果中看出。基于有限元模型，可仿真求得不等極距結構時，穩態運行一個周期內的推力，如圖8所示。顯然，在一個周期內，推力在平均值上下波動。對推力波動以 360°電角度為周期進行傅里葉級數展開，如圖9所示。

圖8 推力波形Fig.8 Thrust force

圖9 推力波形頻譜圖Fig.9 Thrust force spectra

由圖9可以發現，次數為6、12、18等6倍次諧波分量遠大于其他次數的諧波分量。定量來看，6次、12次、18次諧波分量總和占所有諧波分量的96%，說明推力波動主要是由齒槽效應引起的。在實際應用中，磁浮列車由左右兩側軌道同時驅動，如果兩側的推力產生 180°的相位差，就能夠有效減小推力波動。

懸浮力與推力波形類似，圖10顯示了一個周期內的懸浮力，圖11為其頻譜圖。同理，6倍次諧波分量遠大于其他諧波分量，6次、12次、18次諧波分量總和也占所有諧波分量的96%。

圖10 懸浮力波形Fig.10 Levitation force

圖11 懸浮力波形頻譜圖Fig.11 Levitation force spectra

對于常導中高速懸浮系統而言，懸浮方向是一個主動控制的非穩定平衡狀態，氣隙的減小會使懸浮力增加，從而使氣隙將進一步減小。如果控制系統不能及時干預，就會發生車輛被吸到軌道上的故障，懸浮力平穩對系統穩定性非常重要。同樣地，采用兩側初級鐵心錯位的方式可以削弱齒槽效應。

表2對比了等極距與不等極距下的力性能。推力和懸浮力的波動大部分由齒槽力構成，可以由峰峰值來表示。當采取初級次級不等極距后，推力和懸浮力的峰峰值分別下降了24%和42%，說明不等極距的方法能夠有效減小推力、懸浮力波動。

表2 推力、懸浮力波動Tab.2 The peak-peak value of the thrust force and the levitation force

3 勵磁繞組的感應電壓

磁極以同步速vs穩態運行，勵磁繞組與定子電樞行波磁場同步運動，相對靜止。但是由于定子的齒槽效應，氣隙磁導會有6倍次諧波，氣隙磁場中的諧波會在勵磁繞組中產生6倍次的感應電動勢。感應電動勢會給勵磁直流電源引入高次諧波，影響電力電子裝置，如果產生的感應電壓過大，即在高速情況下，感應電壓還有可能擊穿勵磁繞組，導致系統故障。

3.1 額定速度下

圖 12是高速磁懸浮在額定速度 430km/h下的感應電壓波形。在一個周期內，感應電壓在0值上下波動，有效值為413V。圖13是對感應電壓進行傅里葉變換得到的，可以發現，感應電壓主要由 6倍次諧波產生，其中，6次諧波的幅值為492V，12次諧波的幅值為 312V，18次諧波的幅值為 25V，這三個諧波分量總和占所有諧波分量的99%。

圖12 勵磁繞組中的感應電壓Fig.12 Back EMF of coil excitation

圖13 勵磁繞組中的感應電壓頻譜圖Fig.13 Back EMF of coil excitation spectra

3.2 不同速度

高速磁懸浮列車長定子LSM勵磁繞組使用鋁箔繞制，而鋁箔的最大耐壓約為 600V（連續工作制）和2 800V（短時工作1min）。為了更直觀地表明齒槽效應在勵磁繞組中產生的感應電壓，計算了速度從 200～1 000km/h時的電壓值，圖14顯示了600km/h和1 000km/h兩個運行速度的值，并做了頻譜分析，與現有速度430km/h進行對比，結果如圖15所示。

圖14 高速運行勵磁繞組中的感應電壓Fig.14 Back EMF of excitation winding under high velocity

圖15 三種速度下勵磁繞組中的感應電壓頻譜圖Fig.15 Back EMF spectra of coil excitation at different velocity

在圖14 a中，勵磁繞組中的感應電壓有效值達到了577V，未超過勵磁繞組鋁箔的耐壓，但已經接近于允許值，所以如果速度進一步提高到1 000km/h，如圖14 b所示，勵磁繞組中的感應電壓有效值為961V，已經超出了耐壓值的允許值。圖 15是對比三個速度下，勵磁繞組感應電壓的頻譜圖，可以發現，感應電壓都由 6倍次諧波產生，主要集中在 6次、12次與 18次，這三個諧波分量大小占總諧波成分的99%。

圖 16顯示了不同運行速度下勵磁繞組的感應電動勢值。可以看出，感應電壓隨運行速度線性增長，利用線性公式進行擬合，擬合度良好。根據感應電壓與速度的擬合公式可以得出，在前述的勵磁鋁箔耐壓能力下，該直線同步電機連續工作的最大速度約為625km/h。

圖16 不同運行速度下勵磁繞組中的感應電壓有效值Fig.16 RMS value of back EMF of coil excitation at different velocity

4 勵磁鐵心的損耗

長定子LSM在同步穩態運行時，勵磁繞組與定子行波磁場相對靜止，理想情況下，勵磁鐵心內沒有鐵心損耗。但是由于定子的齒槽效應，氣隙中會有6倍次諧波，因而勵磁鐵心會產生鐵耗。勵磁繞組在磁浮運行中連續工作，如果溫升過高，可能會導致勵磁絕緣損壞，危害系統正常運行。

圖 17顯示了 430km/h、600km/h與 1 000km/h速度下，不同諧波次數產生的勵磁鐵心損耗。在三種運行速度下，勵磁鐵心的損耗都主要由6倍次諧波產生，其中，6次諧波產生的鐵耗遠大于其他高次諧波產生的鐵耗，這是由于齒諧波主要由6次諧波分量組成，當諧波次數越高，對應的齒諧波磁通密度銳減，從而導致更高頻率下的鐵耗較小。

圖17 不同諧波次數產生的勵磁鐵心損耗Fig.17 Iron loss of the excited magnets caused by harmonics

由于鐵耗與頻率正相關[20]，因此，當高速運行時，鐵耗會顯著增加。基于有限元模型，分析了從200～1 000km/h穩態運行速度下的磁場分布，在每個速度下利用磁滯環法求出勵磁總鐵心損耗，如圖18所示。

圖18 不同運行速度下的勵磁鐵心損耗Fig.18 Iron loss of the excited magnet under different velocity

由圖18中可見，勵磁鐵心損耗隨速度的增加而增加，利用二次函數可以較好擬合增長曲線。可以看出，在時速1 000km/h的高速磁懸浮中，單位長度次級勵磁損耗達到了2 047W/m，是時速430km/h的 4.4倍。在磁懸浮運行過程中，走行風是主要的散熱途徑。此時空氣的物性常數普朗特數Pr＜1，在 200km/h及以上的速度時，雷諾數Re＞4×105，超過了臨界雷諾數，故空氣在經過電機氣隙的時候為湍流。此時如果不考慮層流邊界層的存在，即電機前端開始即為湍流邊界層，可以用如下經驗公式[21]計算膜系數h。

式中，k為空氣的導熱系數；l為電機的特征長度；Re為雷諾數，其中，ρ為空氣密度，v是相對運動速度，μ是空氣的粘滯系數。

根據q=hAΔT求出傳熱速率，其中，常數A是矯正系數，ΔT是空氣和電機的溫差。由式（14）可知，風冷的冷卻速率與速度的 0.8次方成正比，而熱源增大速率與速度的2次方成正比，故電機在高速運行的情況下會導致溫升增大，具體數值需要繼續探究。

5 結論

本文采用傅里葉級數法建立了高速磁懸浮長定子LSM的解析模型，計算出氣隙縱向磁通密度沿運動方向上的分布，并與有限元結果進行了對比。結果顯示了齒槽效應對氣隙磁通密度的影響，表明其在氣隙磁通密度中產生 5次、7次諧波，該諧波磁通密度在推力與懸浮力則將產生6倍次的波動值。隨后，基于有限元法對不等極距結構下的推力、懸浮力、勵磁繞組感應電壓、勵磁鐵心損耗進行定量計算，并得到以下結論：

1）齒槽效應在推力與懸浮力中產生 6倍次波動，波動規律性好。在磁懸浮列車中通過軌道兩側長定子的齒槽錯位，就能夠有效削弱齒槽效應。

2）勵磁繞組感應電壓隨著速度增大線性增大，所以超高速運行下會對勵磁繞組的絕緣產生很大的影響。

3）勵磁鐵心損耗隨著速度增大呈二次方增大，而走行風的散熱能力基本與速度的0.8次方成正比，所以超高速運行下次級的溫升是必須考慮的問題。

研究將為常導磁懸浮列車在超高速運行下的性能分析提供參考。