鋼-混凝土組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度數(shù)值計算模型

宋愛明, 李志聰, 徐洪濤, 萬 水, 周 鵬

(1.東南大學(xué) 交通學(xué)院, 南京 211189；2.河北省交通規(guī)劃設(shè)計院, 石家莊 050011；3.河北科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 石家莊 050011)

橋梁結(jié)構(gòu)中混凝土板裂縫的發(fā)展不但影響結(jié)構(gòu)美觀，而且會造成開裂截面附近的鋼筋銹蝕，從而直接影響到結(jié)構(gòu)的正常使用和耐久性能. 自鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)問世100多年來，國內(nèi)外學(xué)者針對其裂縫寬度的研究較多，對于裂縫發(fā)展的諸多影響因素已有統(tǒng)一的看法，但將所有因素統(tǒng)一概括到一個計算模式中難以實現(xiàn)[1-2]. 對于鋼-混凝土連續(xù)組合梁的負彎矩區(qū)，同樣存在著這樣的問題. 現(xiàn)有的設(shè)計規(guī)范均按照鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法來驗算和控制負彎矩區(qū)混凝土板的裂縫寬度. 但由于在鋼梁與混凝土板交界面存在抗剪連接件以及界面粘結(jié)作用，混凝土板受到鋼梁軸向和彎曲剛度的約束，開裂機理與鋼筋混凝土構(gòu)件有所區(qū)別，這樣的計算方法往往會造成一定的誤差.

目前，各國規(guī)范對允許開裂的鋼筋混凝土構(gòu)件在使用荷載下的裂縫寬度提出了多種計算方法，如依據(jù)滑移理論的歐洲模式規(guī)范CEB-FIP 2010[3]，依據(jù)無滑移理論的美國規(guī)范ACI318-11[4]，以及依據(jù)綜合理論的中國《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》[5]. 其中，黏結(jié)-滑移理論的應(yīng)用最為廣泛. 然而，由黏結(jié)-滑移理論很難得到裂縫寬度的解析解. 此時，采用數(shù)值計算方法進行裂縫寬度的計算將是一種行之有效的途徑. 此外，近幾十年來國內(nèi)外學(xué)者對組合梁負彎矩區(qū)力學(xué)性能進行了大量的試驗研究[6-7]、理論解析[8-9]和數(shù)值模擬[10-11]，迄今計算和分析方法已趨于成熟，且能夠較好地為設(shè)計服務(wù)[12]，但針對組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度進行較為精確地數(shù)值分析方面鮮有文獻報道. 裂縫寬度作為組合梁負彎矩區(qū)一項重要的力學(xué)性能評價指標(biāo)，有必要針對其計算方法展開研究.

鑒于此，本文結(jié)合合理的本構(gòu)關(guān)系并綜合考慮多項影響因素，建立了基于黏結(jié)-滑移理論的組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度數(shù)值計算模型，通過相關(guān)文獻數(shù)據(jù)驗證了模型的準(zhǔn)確性，并與國內(nèi)外規(guī)范公式計算結(jié)果進行了對比分析，以期尋求具有一定可靠性的計算模式為鋼-混凝土組合結(jié)構(gòu)橋梁的設(shè)計提供參考.

1 模型本構(gòu)關(guān)系

1.1 材料本構(gòu)模型

當(dāng)荷載等級進入裂縫穩(wěn)定階段時，裂縫間距將保持不變，結(jié)構(gòu)仍處于正常使用狀態(tài)下，此時受拉鋼筋未達到屈服荷載，因此可以假設(shè)組合梁負彎矩區(qū)兩條裂縫間的材料處于線彈性受力階段[1]. 那么可以給出受拉鋼材和混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(1)

式中：σct、σs分別為混凝土和鋼材的應(yīng)力，εct、εs分別為混凝土和鋼材的應(yīng)變，Ec、Es分別為混凝土和鋼材的彈性模量.

1.2 鋼筋與混凝土間的黏結(jié)-滑移本構(gòu)關(guān)系

鋼筋與混凝土之間粘結(jié)滑移關(guān)系十分復(fù)雜，其對結(jié)構(gòu)開裂后的使用性能起著至關(guān)重要的作用，本文采用CEB-FIP 2010[3]給出的黏結(jié)-滑移模型，如圖1所示，具體形式為

(2)

圖1 靜載作用下鋼筋與混凝土間的黏結(jié)-滑移關(guān)系

1.3 鋼梁與混凝土板間的界面剪力-滑移關(guān)系

當(dāng)鋼梁與混凝土板界面剪力與相對滑移成正比，且抗剪連接件所承受的界面剪力沿梁長度方向連續(xù)分布時，則有

(3)

式中：υ為鋼梁與混凝土板界面單位長度剪力；ss為界面相對滑移；p為栓釘縱向間距；K為界面抗滑移剛度，K=nsKs，其中ns為每排栓釘個數(shù)，Ks為單個栓釘抗剪剛度.

研究表明，對于集中或均布荷載作用下的組合梁負彎矩區(qū)的滑移大小及分布規(guī)律基本一致，因此本文采用集中荷載下的滑移和滑移應(yīng)變來作為代表工況. 對于跨中單點加載，界面滑移表達式[13]可表示為

(4)

目前，國內(nèi)外相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)及研究文獻所采用的方法得到的栓釘連接件抗剪剛度差異較大. 當(dāng)滑移值小于0.2 mm時，荷載-滑移曲線近似呈線性，對應(yīng)的剪力均值約為0.45倍的栓釘抗剪承載力，基本位于近似線性與非線性分界處[14]. 本文采用文獻[15]的方法，即定義滑移量為0.2 mm時的割線模量為栓釘?shù)目辜魟偠?，計算式?/p>

(5)

式中ds為栓釘直徑.

2 數(shù)值計算模型的建立

鋼筋混凝土梁的裂縫寬度取決于多種因素，其中鋼筋和混凝土之間的粘結(jié)質(zhì)量以及粘結(jié)作用的有效區(qū)域影響最為顯著[16]. 對于鋼-混凝土組合梁，鋼梁與混凝土板間的界面剪力和滑移是負彎矩區(qū)開裂截面分析的重要因素[17]，而現(xiàn)階段負彎矩區(qū)裂縫寬度的計算模型往往采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中的方法. 本文將結(jié)合上節(jié)給出的本構(gòu)關(guān)系，并綜合考慮上述因素建立組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度的數(shù)值分析模型.

2.1 裂縫截面處鋼筋應(yīng)力

鋼梁與混凝土板間的界面滑移效應(yīng)對連續(xù)組合梁負彎矩區(qū)力學(xué)性能影響較大，但在裂縫截面處的鋼筋應(yīng)力分析中往往直接采用材料力學(xué)方法來計算受拉鋼筋應(yīng)力[18]，即

(6)

式中：M為開裂截面處的彎矩；Icr為開裂位置的截面慣性矩，即鋼梁和鋼筋所形成的組合截面慣性矩；y0r為鋼筋形心至組合截面中性軸的距離.

當(dāng)考慮組合梁界面滑移效應(yīng)時，本文根據(jù)文獻[18]中的計算方法，計算裂縫截面處鋼筋應(yīng)力計算公式為

(7)

(8)

(9)

式中：εr0為完全組合截面的鋼筋應(yīng)變，εs為滑移應(yīng)變.

2.2 裂縫間距計算

在近些年的國內(nèi)外試驗研究中發(fā)現(xiàn)，混凝土板內(nèi)橫向鋼筋的間距對組合梁負彎矩區(qū)的裂縫間距影響較大[16,19]，文獻[12]認為橫向鋼筋的間距和組合梁綜合力比是影響負彎矩區(qū)裂縫間距的最主要因素，并給出了經(jīng)試驗驗證的計算模型，表達式為

(10)

式中：la為橫向鋼筋間距；Rp為綜合力比，Rp=Arfry/Asfsy，其中fry、fsy分別為鋼筋和鋼梁的屈服強度. 本文根據(jù)該模型進行分析.

2.3 結(jié)構(gòu)的單元劃分及平衡關(guān)系

組合梁負彎矩區(qū)混凝土板裂縫寬度數(shù)值模型的建立基于裂縫的穩(wěn)定階段，即裂縫間距不再變化[16]. 此外，由于裂縫出現(xiàn)的隨機性與復(fù)雜性，在理論分析前有必要對所求解問題進行適當(dāng)?shù)暮喕? 因此，作如下假定：1) 混凝土板主裂縫發(fā)生在負彎矩最大位置處，即跨中截面；2) 混凝土板裂縫具有線性三角輪廓.

將一個母單元定義為兩條相鄰裂縫之間的部分，長度為平均裂縫間距l(xiāng)cr，可將半跨組合梁劃分為k個母單元，基于有限差分法將任意母單元lcr, j離散為m+1個節(jié)點，即等分為m個子單元Δx，結(jié)構(gòu)的單元劃分如圖2所示. 根據(jù)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)裂縫寬度的數(shù)值計算方法[20]，當(dāng)混凝土板子單元的劃分長度足夠精細時，可按照圖3所示微分段dx的受力情況進行分析，其中鋼筋與混凝土間的黏結(jié)-滑移關(guān)系、鋼梁與混凝土板間的界面剪力-滑移關(guān)系以及單元邊界條件均在圖中示出，則根據(jù)力的平衡條件得到如下關(guān)系式:

Audσu=?πτududx，

(11)

Abdσb=?πτbdbdx，

(12)

Aeffdσc=?nuAudσu?nbAbdσb-υdx.

(13)

式中：dσu、dσb分別為混凝土板內(nèi)上、下層鋼筋的應(yīng)力增量，τu、τb分別為上、下層鋼筋黏結(jié)應(yīng)力，Au、Ab分別為上、下層鋼筋的面積，du、db分別為上、下層鋼筋直徑，nu、nb分別為上、下層鋼筋數(shù)量，dσc為受拉區(qū)混凝土應(yīng)力增量，Aeff為有效受拉區(qū)混凝土面積，dx為混凝土板子單元長度，?或±取決于圖3所示的子單元位置.

圖2 結(jié)構(gòu)單元劃分

由式(11)和式(12)可得到上、下層鋼筋的應(yīng)力分配系數(shù)ξ為

(14)

當(dāng)裂縫位置處上、下層鋼筋的滑移量分別為su和sb時，根據(jù)混凝土板裂縫具有線性三角輪廓的假設(shè)，有

(15)

式中hu、hb分別為上、下層鋼筋上表面至鋼梁與混凝土界面的距離.

結(jié)合式(2)和式(15)，可得到應(yīng)力分配系數(shù)的新形式為

(16)

因此，受拉混凝土的應(yīng)力增量可表示為

(17)

(a) 母單元左半跨 (b) 母單元右半跨

2.4 裂縫寬度計算模型

2.4.1 子單元迭代方程

在混凝土板產(chǎn)生裂縫后，縱向鋼筋和混凝土之間存在著應(yīng)變差，從而產(chǎn)生相對滑移ds(x)/dx，可表示為

εs(x)-εc(x)+εsh.

(18)

式中：us(x)、uc(x)分別為縱向鋼筋與受拉混凝土的變形，εs(x)、εc(x)分別為縱向鋼筋與受拉混凝土的應(yīng)變，εsh為混凝土收縮應(yīng)變.

當(dāng)裂縫之間受拉鋼筋和混凝土均處于彈性階段，且子單元長度Δx內(nèi)的黏結(jié)應(yīng)力均勻分布時，對于第j個母單元，可基于有限差分法通過i截面的應(yīng)力、滑移條件得到i+1截面上的應(yīng)力、滑移值[21]，即存在如下等式:

(19)

(20)

εsh)Δx.

(21)

2.4.2 裂縫寬度計算

根據(jù)黏結(jié)-滑移理論，混凝土板裂縫的開展寬度等于該裂縫左右兩側(cè)鋼筋與混凝土的相對滑移量之和，則負彎矩作用下組合梁混凝土板的裂縫寬度可表示為

(22)

以第j個母單元x=(j-1)lcr端的邊界條件作為初始迭代條件，可表示為

(23)

以x=jlcr端的邊界條件作為迭代收斂控制條件，即

(24)

此外，將母單元中鋼筋與混凝土相對滑移為0時作為迭代過程中母單元左右兩跨的過渡條件，即

(25)

迭代過程及裂縫寬度計算流程如圖4所示. 通過給出開裂截面的初始滑移值ssu,0并不斷調(diào)試，即可預(yù)測在一定載荷水平下，組合梁負彎矩的裂縫寬度. 具體步驟如下：

1) 輸入基本信息和數(shù)據(jù). 根據(jù)式(10)計算平均裂縫間距l(xiāng)cr，選取半跨結(jié)構(gòu)根據(jù)裂縫間距劃分k個母單元和m個子單元；以第j個母單元為研究對象，根據(jù)式(7)計算開裂截面處鋼筋應(yīng)力σs,0，并按照式(23)取開裂截面處混凝土應(yīng)力σc,0=0.

2) 初設(shè)開裂截面位置即第i=0號節(jié)點處鋼筋和混凝土之間的滑移值ssu,0. 根據(jù)式(2)計算第i+1號子單元上鋼筋與混凝土之間的黏結(jié)應(yīng)力τsu,i；根據(jù)式(3)計算第i+1號子單元上鋼梁與混凝土板界面的單位長度剪力υi.

3) 分別根據(jù)式(19)～(21)計算i+1號節(jié)點處的鋼筋應(yīng)力σsu,i+1、混凝土應(yīng)力σcu,i+1以及鋼筋和混凝土之間的滑移值ssu,i+1.

4) 設(shè)置i=i+1，并重復(fù)步驟3，直到i=m時停止初設(shè)滑移值ssu,0的第t=1次迭代運算. 根據(jù)控制條件式(24)，如果得到的混凝土應(yīng)力σc,m=0或者在容許誤差范圍內(nèi)，則直接根據(jù)式(22)給出裂縫寬度計算值；如果σc,m≠0或者超過容許誤差，則根據(jù)圖4中的修正方法來修正初始滑移值ssu,0，并繼續(xù)第t=t+1次迭代運算，即重復(fù)步驟2～4，直到得出合適值.

圖4 裂縫寬度迭代計算流程圖

3 計算模型試驗驗證

為驗證本文數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，選取文獻[8]中試驗梁SCB1-1的靜載測試數(shù)據(jù)進行對比分析，并通過MATLAB軟件對圖4所示的裂縫寬度迭代計算流程進行編程實現(xiàn). 采用本文模型得到的最大裂縫寬度與試驗值對比情況如圖5所示. 由圖5可知，隨著荷載等級的增加，裂縫寬度不斷增長，并且在達到試驗梁屈服荷載(70%Fu，即700 kN)之前，本文模型得到的裂縫寬度與試驗結(jié)果吻合較好. 此外，圖5給出了不考慮鋼梁與混凝土板之間界面滑移效應(yīng)時的模型計算值，可以看出此時計算得到的最大裂縫寬度將比考慮界面滑移效應(yīng)時增大10%左右，且該比例隨荷載等級的提高而有所增長，因此在組合梁負彎矩區(qū)的實際設(shè)計中，對裂縫寬度進行驗算時不應(yīng)忽略界面滑移效應(yīng)的影響.

圖5 裂縫寬度計算值與試驗值對比

4 規(guī)范公式計算結(jié)果對比

目前國內(nèi)外鋼-混凝土組合梁橋的相關(guān)規(guī)范均建議采用軸心受拉構(gòu)件對連續(xù)梁中支點處的混凝土裂縫寬度進行驗算. 為進一步驗證本文數(shù)值計算模型的正確性及國內(nèi)外設(shè)計規(guī)范所建議公式的適用性，本文將模型計算值及相關(guān)文獻試驗數(shù)據(jù)與各規(guī)范中最大裂縫寬度計算公式所得結(jié)果進行了對比，包括美國公路橋梁設(shè)計規(guī)范AASHTO-LRFD[22]、歐洲混凝土結(jié)構(gòu)模式規(guī)范CEB-FIP-2010[3]、歐洲鋼和混凝土復(fù)合結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范EN 1994-1-1[23]、日本鋼結(jié)構(gòu)和復(fù)合結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范JSCE[24]、中國公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范JTG 3362—2018[25]以及中國混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范GB 50010—2010 (2010)[5].

本文采用文獻[8]中試驗梁SCB1-1及文獻[26]中試驗梁SCB1、SCB3的構(gòu)造參數(shù)及裂縫寬度實測數(shù)據(jù)進行分析，將通過不同方法得到的組合梁負彎矩區(qū)最大裂縫寬度計算結(jié)果列于表1，各模型計算結(jié)果與實測值對比情況列于表2，并將統(tǒng)計分析結(jié)果列于表3. 由表中數(shù)據(jù)分析可知，按照各國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)中的軸心受拉構(gòu)件計算方法得到的結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)存在的偏差較大. 采用本文數(shù)值計算模型所得結(jié)果與實測值吻合度較高，離散系數(shù)極小，可為設(shè)計過程中組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度的驗算提供參考.

表1 采用不同方法得到的裂縫寬度計算結(jié)果

表2 縫寬度計算結(jié)果與實測值對比

表3 裂縫寬度計算結(jié)果統(tǒng)計分析

5 結(jié) 論

1)綜合考慮鋼筋和混凝土間的黏結(jié)應(yīng)力-滑移關(guān)系、鋼梁與混凝土界面的滑移效應(yīng)、混凝土收縮應(yīng)變以及拉伸硬化效應(yīng)等因素，基于黏結(jié)-滑移理論建立了靜力荷載作用下鋼-混凝土組合梁負彎矩區(qū)裂縫寬度數(shù)值計算模型.

2)采用MATLAB軟件編程實現(xiàn)裂縫寬度的迭代計算，通過與相關(guān)文獻數(shù)據(jù)進行對比分析可知，在組合梁達到屈服荷載前，本文模型得到的結(jié)果能夠較好地模擬裂縫寬度的發(fā)展過程，與試驗結(jié)果吻合較好；不考慮鋼梁與混凝土板間界面滑移效應(yīng)時計算得到的裂縫寬度比考慮界面滑移效應(yīng)時增大10%左右.

3)通過與各國規(guī)范中按照軸心受拉構(gòu)件計算方法得到的結(jié)果進行對比分析可知，按照規(guī)范推薦公式得到的結(jié)果與試驗值偏差較大，采用本文數(shù)值計算模型所得結(jié)果與實測值吻合度較高，離散系數(shù)極小，進一步驗證了模型的準(zhǔn)確性和適用性.