綜合實踐理念指導下的“數學活動”設計

沈小亮

[摘 ?要] 核心素養背景下，教育評價由“知識核心”向“素養發展”轉變，而自身內容和學習方式都具備特殊性的初中數學綜合與實踐活動，對提升學生數學核心素養也就具有獨特的意義. 文章以 “探究點所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級上冊）數學活動為例，啟發學生用數學的眼光去思考問題，引導學生用數學的方法深入體驗，從而提升學生的綜合素質.

[關鍵詞] 綜合實踐;數學活動

《義務教育數學課程標準》指出：“綜合與實踐”是以一類問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動. 在學習活動中，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和方法，在綜合與實踐理念指導下解決問題[1]. 活動內容設置的目的在于讓學生經歷問題的解決過程，積累學生的活動經驗，培養學生的應用意識和創新意識，從而使學生的數學核心素養得到提升. 筆者對綜合與實踐內容的教學實施做了思考，現以“探究點所在曲線的形狀——拋物線”（人教版九年級上冊）為例，與同行交流、探討.

活動再現

1. 如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，2）. 在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟.

（1）連接AM，作線段AM的垂直平分線l，過點M作x軸的垂線l，記l與l的交點為P.

（2）在x軸上通過改變點M的位置，取多個不同的點M，重復（1）的操作得到相應的點P，把這些點用平滑的曲線連接起來.

觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學過的哪種曲線.

2. 在曲線L上任取一點P，完成以下步驟.

（1）連接PA，線段PA與PM有什么數量關系？為什么？

（2）假設點P的坐標是（x，y），你能由PA與PM的關系得到x，y滿足的關系式嗎？

（3）由此你能確定曲線L是哪種曲線了嗎？為什么？這結論與你先前的猜想一樣嗎？

教學設計

1. 溫故知新，提出問題

教師：任意畫線段AB并用尺規作圖畫它的垂直平分線，線段垂直平分線的性質是什么？

學生1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

教師：若把剛才所畫的線段AB放在直角坐標系中，其長度如何表示？

學生2：構造直角三角形，利用勾股定理計算.

教師：直角坐標系中的線段長度一定都要用勾股定理計算嗎？

（全體學生若有所思）

學生3：如果線段AB是平行（或重合）于坐標軸，直接用坐標相減即可，就不需要用勾股定理計算那么麻煩了.

教師：很好，直角坐標系中位置、坐標、長度三者之間可以實現互相轉化.

教學分析：通過回憶所學知識，并設問引導學生說出直角坐標系中線段長度的合理算法，促進學生對問題的理解與轉化，也為接下來的數學活動做好鋪墊.

2. 動手作圖，觀察猜想

學生自主作圖完成活動1，教師巡視指導并投影展示學生作圖結果，如圖3～5所示.

學生4：如圖3，猜想它是我們學過的拋物線.

學生5：學生4的點M都是整數點，太特別了，取非整數點也可以，如圖4，也是拋物線.

教師：還有不同的作圖結果嗎？

學生6：學生4和學生5的點M都是正數，曲線只有一半，應該在x軸負半軸也取點，如圖5，這樣形狀就更完整，也更明顯了.

教師：猜想曲線L的形狀只要一些特殊點就能進行大膽猜想，但學生6理解了“在x軸上多次改變點M的位置”這句話，他的作法更具有一般性.

教學分析：有了“溫故知新，提出問題”的鋪墊，學生作圖的環節會進行得比較順利. 學生根據要求準確作圖，積累了畫圖的操作經驗，再經歷觀察與猜想，培養了學生的直觀想象素養. 教師讓學生的不同作圖方法進行碰撞與補充，滲透了“有序”地選擇具有代表性的點的決策思維.

3. 實驗證明，理解模型

教師：同學們通過取點作圖，猜想它是拋物線. 但畢竟大家取的是有限個點，現在老師可以借助數學軟件進行取點，點越多曲線形狀越精準. 大家再次觀察，直觀感受曲線形狀.

（教師利用幾何畫板進行操作、驗證，學生驚呼：“好漂亮的拋物線！”）

教師：我們從形的角度猜想它是拋物線，那么如何證明呢？

（學生面露難色）

教師：教材中是如何描述拋物線的？

學生7：二次函數y=ax2+bx+c的圖像叫作拋物線y=ax2+bx+c.

教師（追問）：所以有想法了嗎？

學生8：設點P的坐標是（x，y），由PA與PM的關系得到x，y滿足的關系式是二次函數.

教師：是的，根據教材的描述，我們可以選擇這種方法，大家現在按這種方法開始證明.

（學生進行自主探索、合作交流，教師巡視指導，學生展示證明結果）

學生9：設點M是在x軸正半軸，則有PM=y，PA=，利用線段垂直平分線的性質得PA=PM，所以y=，化簡得到關系式y=x+1，是二次函數，所以證明曲線L是拋物線.

（教師板書學生9的證明過程）

教師：太好了！我們用求解析式的方法算出了x，y滿足的關系式是二次函數，根據教材對拋物線的描述，證明了曲線是拋物線.

（學生報以熱烈的掌聲）

學生10：那如果點M不是在x軸正半軸呢？

教師：哇，學生10對這個問題進行了深度思考，點M不在x軸正半軸的話，可以證明嗎？結論一樣嗎？

（學生再次思考、計算，教師投影展示學生計算的結果）

教師：通過努力，我們從代數的角度證明了圖形問題，證明了自己的猜想是對的. 同學們有沒有發現教材中是從數的角度定義了拋物線，而我們通過作圖得到的也是拋物線，所以對于拋物線，你們能否從形的角度也下個定義呢？

（從學生的表情看出這個問題有難度，所以接下來教師引導啟發，學生嘗試描述，并互相補充、完善，教師板書拋物線的新定義）

教學分析：教師讓學生經歷從“形”的角度觀察問題（直觀），再讓學生從“數”的角度進行深度思考（數形結合），在此過程中提升了學生邏輯推理、數學運算、數學抽象等核心素養. 關于拋物線的新定義的探索，培養了學生的創新思維，同時也提升了學生數學抽象、數學建模的核心素養，學生對拋物線從感性認識上升到理性認識.

4. 體會模型，提升感悟

教師：同學們，我們通過探究，對拋物線又有了新的認識，接下來通過以下幾道練習題來應用這個模型.

（教師投影出示練習題，學生獨立思考，小組討論交流，教師巡視指導）

（1）如圖7，已知點A（0，-2），平面內滿足到點A距離與到x軸距離相等的所有點組成的曲線L的解析式為（ ?）

（3）在（2）條件下，若點B（4，5），當PA+PB的值最小時，點P的坐標為__________.

（學生展示講解，教師點評）

教師：同學們，給大家留一個思考題. 數學活動中的點A（0，2）若改成點A是平面上（除x軸外）任意一點，點M是y軸上任意一點，重復相同的操作，不同的點P組成的曲線L依然是拋物線嗎？拋物線等同于二次函數嗎？

教學分析：本節課讓學生經歷從作圖到運算、從形到數體會拋物線的新定義. 學生通過解決問題、應用模型等環節，再次體會數學建模的一般步驟，積累解決問題的經驗，提升直觀想象和數學建模的核心素養. 課堂結束了但思維沒有結束，教師留下思考題讓學生探究后了解二次函數和拋物線的關系，能夠提升學生數學抽象素養，使其學會批判的數學思維.

教學感悟

1.重視綜合實踐理念，實現數學活動課堂活化

《義務教育數學課程標準》指出：綜合與實踐內容的實施是通過數學活動來實現的，重在實踐、重在綜合[1]. 教師在這個理念的指導下，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程. 本節課通過作圖提高學生的畫圖能力，通過猜想曲線形狀提高學生的識圖能力，通過鞏固練習提高學生的用圖能力，這些活動也直接或間接提升了學生的直觀想象素養. 華羅庚曾言“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，本節課上，教師引導學生進行深度探究，從數的角度證明曲線L的形狀是拋物線，使學生重新認識拋物線，建立模型. 在此過程中，免不了的演繹推理、運算、歸納與交流無疑提升了學生的邏輯推理、數學運算、數學抽象、數學建模等核心素養，綜合實踐成了實現積累活動經驗、展現思考過程、激發創造潛能等目標的重要和有效的載體.

2.巧設活動問題屬性，促進綜合實踐走向常態

本節課的教學設計考慮了學生的主體性，讓學生經歷“思考問題情境——操作猜想——實驗證明——歸納定義——反思應用——總結提升”的過程，促進了學生的深度學習. 而這種研究問題、解決問題的思路，并不是只在綜合與實踐課堂才能呈現. 比如平方差公式的學習，又比如勾股定理逆定理的探究等，也可以沿用這一套學習的方法和思路. 課程標準指出：“綜合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內外相結合[1]. 筆者提倡把這種教學形式體現在日常教學活動中. 目前教育評價已由“知識核心”向“素養發展”轉變，所以經驗的積累、素養的提升、思維的培養等不能僅依賴于有限的幾次綜合與實踐課，而應通過有效的活動問題設計讓綜合實踐理念融入常態教學，使綜合實踐活動真正成為提高教師自身素質和學生素質的互動過程.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

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