HPM視角下的初中數學教學設計探索

翟恩國

[摘 ?要] 數學的每一個知識點都不是憑空產生的，都有其獨特的背景和史料，如果教師在教學中多為學生介紹一些數學史內容，也能較好地滿足學生的求知欲，讓學生體會到數學是一門生動有趣、不斷發展的學科，學生很有可能就會因此喜歡數學，開啟一段不一樣的數學趣味學習之旅.

[關鍵詞] 初中數學;HPM視角;教學設計

數學史家M·克萊因提出了“歷史是數學的指南”這一觀點，他認為，歷史將知識的來源與演變完整地呈現出來，回顧歷史，我們能看到人類對知識的探究越來越深入，這樣有助于我們在學習抽象知識的同時把握知識提升的關鍵. 數學史有著回望性和前瞻性，這也是數學史之所以能夠推動數學發展的動因. 開展數學史的滲透教學不僅能幫助我們追溯數學的本源，也能提高學生學習興趣，促進學生對知識的深入理解和教學目標的實現. 當前，初中數學更多的是對知識結構的教學，對數學本質的探究教學涵蓋很少.

HPM視角下的初中數學教學

價值

1. 調動學生學習熱情

數學的歷史十分豐富，初中數學教材也引入了一些數學史的內容，但教師在教學中重點關注的是知識邏輯結構，對知識的形成、文化背景很少去講解，這也是很多同學覺得數學枯燥的原因. 數學的每一個知識點都不是憑空產生的，都有其獨特的背景和史料，如果教師在教學中多為學生介紹一些數學史內容，也能較好地滿足學生的求知欲，讓學生體會到數學是一門生動有趣、不斷發展的學科，學生很有可能就會因此喜歡數學，開啟一段不一樣的數學趣味學習之旅.

2. 培養學生良好品格

在初中數學教學中，讓學生掌握基本知識與技能固然重要，但學習數學知識中蘊含的人文精神同樣重要，這對培養學生優秀品質很有幫助. 數學有著輝煌的發展歷史，在數學史上有著很多優秀的數學家，如華羅庚、阿基米德、高斯等等，他們完全可以作為學生學習的榜樣. 如教師可以為學生介紹華羅庚的故事，向學生展示榜樣身上的優秀品質，激勵學生在學習中以榜樣為目標，不斷地向榜樣學習. 學習數學名人故事也能讓學生意識到，學習的道路并不是一帆風順的，面對學習和生活中的困難，我們要做的是迎難而上，努力克服. 這些優秀品質會隨著數學史的學習而深入學生的思想，成為健全學生人格的重要組成.

3. 提高教師教學效率

江蘇省教學名師蔡宏圣指出：“個體的發育與其種族的發展往往存在相似的地方. 這種現象在數學學習中同樣適用，也就是說學生學習數學的過程與數學史的發展過程是類似的. ”

歷史的相似性告訴我們，學生在學習概念、公式、數學思想中出現的認知障礙和錯誤其實歷史上的數學家們也遇到過. 學習數學史能夠幫助學生診斷錯誤的原因，解決學習中存在的障礙，也便于教師制定更有針對性的教學計劃，提高教學效率.

HPM視角下的初中數學教學

案例

結合對HPM理論的研究和教學實踐，筆者設計了“負數”相關內容的教學設計，具體流程如下.

1. 借助數學史料，進行情境引入

在教學之初，教師引導學生回顧了一些數字，0，1，2，3，并為學生講解了數字的由來：“在沒有發明數字計數之前，人們計數是通過打繩結、擺算籌等方式來計數的，后來為了使用更加方便，于是發明了1，2，3…這些數字;由于需要數字表示‘沒有’，于是就發明了‘0’;后來，在計算和測量中發現所出現的數字并非都是整數，于是發明了分數. 可見數字的產生和發展都是為了服務于生活. 今天我們要學的也是一種數，叫負數. ”

教學設計思路是從學生已有認知出發，引入數學史幫學生回顧數字的發展，然后引入新知，完成新知的過渡.

2. 引導數學探究，形成負數概念

（1）感知負數產生的必要性

在引導學生思考負數的產生時，先設計了一個關于分數的問題導入：“有3個小孩分4個蘋果，要想平均分配，每個小孩分得多少個蘋果？”這個問題對初中生來說沒有任何難度，于是教師進行了一點小變通：“能不能讓每個學生分得的蘋果是整數個？請列方程求解. ”

學生很快列出了方程，設每個小孩分得蘋果x個，根據題意列出方程3x=4，解出x. 求解中大家發現結果不可能是整數，如果要求結果是整數那么方程就是無解的，為了讓方程有解，分數也因此被納入了數系的體系. 引入了分數后，任何兩個非零整數的除法都能夠有解，除法的運算也能較好地實現了.

這個教學設計是先讓學生體驗分數的產生緣由，所謂一通百通，有了分數的鋪墊，學生接受負數的概念也會更加順暢. 之后，又設計了兩個問題：

①張濤有10元錢，他想買一個足球，足球的售價是18元/個，請問張濤想買足球還差多少錢？

②小李今天掙了200元，但買衣服花了230元，請問小李今天凈收入多少？

學生很快列出了這兩個問題的式子：①18-10=8（元），張濤買足球差8元. ②200-230. 第一個式子很快列出來了，但第二個式子同學們都陷入了沉思，被減數比減數小，不夠減該怎么辦呢？這種減法學生之前是沒有學過的. 鼓勵學生思考：在分數沒有被發明之前是沒有分數的，大家能不能也發明一種數字來解決這道題呢？很多同學預習過了，答出了“負數”這個概念，同時大家也明白了負數的意義，是用來解決被減數比減數大的問題.

這兩道問題解決了具體的情境，能幫助學生更好地理解“負數”的意義，學生在解題中積極思考，很多學生思考出了負數的意義，概念的生成也就水到渠成;有些學生沒有想出答案，但有了這個思考過程，教師再引入負數的概念學生并不會覺得違和.

（2）學習負數的表示方法

學習了新知后就要進行知識的探索與鞏固. 教學中筆者設計了這樣的問題：今年初春的某一天，哈爾濱的平均氣溫是零下5℃，北京的平均氣溫是2℃，上海的平均氣溫是5℃，請問這天上海的平均氣溫比北京高多少？比哈爾濱的平均氣溫高多少？

關于這道題，第一問學生們很快就解答出來了，上海平均氣溫比北京平均氣溫高3℃，用5-2就能夠得出. 但是上海與哈爾濱的氣溫差多少學生們就不知道如何計算了，也用減法嗎？5-5=0，難道兩地氣溫差0℃？可是很明顯上海要比哈爾濱氣溫高，這樣求解肯定是不對的. 教師讓學生仔細看看這兩個溫度有什么不同. 大家討論后發現一個是零上5℃，一個是零下5℃，這兩個5是不一樣的. 教師建議大家將這兩個5區分開來. 這時，學生心里產生了對負數的心理需求.

這樣，以問題為引導，設計了問題沖突，激起了學生對負數學習的需求，強化了學生的學習動機. 在學生不解的眼神中開始了講解：數學上將大于0的數記為正數，將小于0的數記為負數. 所以哈爾濱的平均氣溫應記為“-5”℃. 有時候為了強調正數，可以在正數前面加一個“+”號.

在這個教學設計中，巧妙地融入了負數的重構，學生理解了負數的構建過程，大家覺得十分有趣.

教師繼續進行教學補充：“﹢”“-”這兩個符號是近代數學用來區分正負數的方法. 早在1700多年前，魏晉時期數學家劉徽就提出了正負數的計數方法：“今兩算得失相反，要令正負以名之. ”這就是說，為了對相反意義數字進行區分，可以采用正數和負數的方法來表述. 而且他還以顏色來表示正負：“正算赤，負算黑”，即用紅色算籌表示正數，用黑色算籌表示負數.

在教學設計中，教師為學生介紹了古代人表示正負數的方式，讓學生感受古人的智慧，以此來激發學生的求知欲和想象力.

3. 優化例題講解，推進深度認知

教學中，筆者設計了這樣一道例題：某天的天氣預報顯示，上海明日天氣會比當日氣溫升高2℃，北京的明日氣溫則會下降1℃，天津明日氣溫與今日一致，請寫出上海、北京、天津三地明天的氣溫會上升多少.

這道題提問的是會上升多少，所以即使氣溫下降，也要表達上升了“負多少”，因此，上海、北京、天津三地的氣溫上升分別是2℃，-1℃，0℃. 這個教學設計通過問題來啟發學生思考和解決，在知識遷移中增加對知識的認知. 然后，引導學生進行課堂總結，對負數所學相關知識進行歸納：（1）負數的由來;（2）負數的概念及表達.

教學實踐證明，在HPM視角下開展初中數學教學，能夠有效地促進學生數學學習情感的提升，能夠有效地引導他們深度參與到數學學習中來，從而收到事半功倍的教學效果.

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