關(guān)于“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的過程分析與教學(xué)思考

徐元珍

[摘? 要] 知識與能力是課堂教學(xué)的重點，教學(xué)中建議立足教材內(nèi)容設(shè)計閉環(huán)過程，引入情境豐富探究過程，教學(xué)環(huán)節(jié)以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生思考. 文章以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”章節(jié)內(nèi)容為例，進(jìn)行教學(xué)反思、環(huán)節(jié)設(shè)計，提出了四點建議.

[關(guān)鍵詞] 橢圓;情境;過程;活動;問題;教學(xué)

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是高中數(shù)學(xué)的重要知識內(nèi)容，教學(xué)的重點是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橢圓方程的構(gòu)建過程，掌握橢圓方程的基本形式;同時感悟探究過程，積累探究經(jīng)驗，獲得知識與能力雙重提升. 課堂教學(xué)要立足知識重點，喚起學(xué)生參與過程探究，在探索中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng). 下面基于教學(xué)實踐開展反思討論.

[?] 過程把控，落實閉環(huán)教學(xué)

過程把控是課堂教學(xué)的關(guān)鍵，也是難點所在. 教學(xué)中需要立足教學(xué)重點，把控基礎(chǔ)知識、活動環(huán)節(jié)、學(xué)生思維，即把控課堂的探究過程，幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗. 同時，要落實教學(xué)閉環(huán)，強(qiáng)化知識重點，全面提升學(xué)生的能力，故可圍繞“四基”設(shè)計教學(xué)活動，包括數(shù)學(xué)活動、基本活動經(jīng)驗、基本思想、基礎(chǔ)知識和基本技能，閉環(huán)流程如圖1所示.

按照圖1進(jìn)行“四基”流程設(shè)計，依托數(shù)學(xué)活動，即情境化教學(xué)活動，讓學(xué)生在活動中積累探究經(jīng)驗. 同時，數(shù)學(xué)活動應(yīng)立足核心任務(wù)，為基礎(chǔ)知識的教學(xué)與基本技能的傳達(dá)服務(wù). 在知識與技能的教學(xué)中要合理滲透數(shù)學(xué)的基本思想，如情境教學(xué)中滲透類比思想，橢圓定義推導(dǎo)中滲透歸納推理思想，方程建系中滲透模型思想，橢圓方程與圖像分析中滲透數(shù)形結(jié)合思想;在活動探究中要讓學(xué)生直接感悟數(shù)學(xué)思想，深刻體會思想的本質(zhì)內(nèi)涵.

數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗是學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動中對數(shù)學(xué)知識與技能的內(nèi)化，故活動設(shè)計要遵從教學(xué)探究理念，重視知識與技能的融合，幫助學(xué)生積累探究經(jīng)驗. 而強(qiáng)化學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識是探究活動的最終目的，往往以探究結(jié)果的形式來呈現(xiàn)，教學(xué)中要注重知識與能力的融合與提升.

[?] 情境引入，探索定位新知

橢圓是生活中常見的圖形，與我們的生活息息相關(guān)，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從實物的感性認(rèn)識上升到理性研究，故在課堂教學(xué)中建議采用情境引入的方式. 利用多媒體展示與橢圓相關(guān)的生活場景，如大家熟悉的天體運動、橢圓形的建筑物、生活物品等，同時讓學(xué)生思考生活中其他的橢圓物件，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓，從感性層面認(rèn)識橢圓.

后續(xù)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況提出深層的數(shù)學(xué)問題并在互動中設(shè)置問題引發(fā)思考：類比圓的學(xué)習(xí)過程，橢圓應(yīng)該按照怎樣的順序來探究？有哪些需要重點關(guān)注的內(nèi)容？從而調(diào)動學(xué)生的思維，聚焦知識重點，形成橢圓內(nèi)容探究的邏輯軌跡：橢圓繪圖→橢圓形成的條件→橢圓定義，探索橢圓概念→橢圓方程的構(gòu)建過程→總結(jié)橢圓的幾何特征.

由情境素材到橢圓的探究內(nèi)容，學(xué)生根據(jù)自我的知識經(jīng)驗完成過渡，并結(jié)合類比方法概括橢圓探究的重點. 該過程中涉及感性思維與理性思維的融合，直觀想象與類比分析的融合. 同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有助于學(xué)生定位新知，主動學(xué)習(xí).

[?] 精致構(gòu)建，豐富探究活動

教材在編排“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”內(nèi)容時設(shè)計了眾多的探究環(huán)節(jié)，應(yīng)嚴(yán)格按照知識探究的邏輯順序進(jìn)行課堂推進(jìn). 這樣設(shè)計的原因有兩點：一是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，二是遵從數(shù)學(xué)探究的過程要求. 而在課堂教學(xué)中也應(yīng)根據(jù)對應(yīng)內(nèi)容精致構(gòu)建，設(shè)計豐富的探究活動.

在“橢圓繪圖”環(huán)節(jié)，引入實踐活動，讓學(xué)生準(zhǔn)備一塊紙板、一段細(xì)繩、兩枚圖釘，類比圓的畫法來作橢圓的圖，思考具體的作圖方法——將繩子的兩端用圖釘F和F固定于紙板上，確保兩點之間的距離小于細(xì)繩的長度，用筆將細(xì)繩拉緊在紙板上慢慢移動，同時讓學(xué)生觀察所繪的圖形.

在“橢圓形成的條件”環(huán)節(jié)應(yīng)注重探索與思考，應(yīng)根據(jù)橢圓的繪圖過程，思考兩點問題：①筆尖移動過程中哪些條件是不變的，哪些是變化的？②繩子的長度與定點的距離有何關(guān)聯(lián)？

在“橢圓定義”環(huán)節(jié)應(yīng)類比圓的定義，引導(dǎo)學(xué)生充分利用幾何與文字語言全面概括橢圓，該環(huán)節(jié)應(yīng)關(guān)注定義中的關(guān)鍵詞，如“平面內(nèi)”“常數(shù)>

F

F”等. 同時，可采用類比辨析的方式，引導(dǎo)學(xué)生對照圓的概念逐條對比，引出橢圓的焦點、焦距等概念.

而“橢圓方程的構(gòu)建過程”則應(yīng)突出建系過程，可設(shè)置實踐活動，突出數(shù)形作圖過程，同時讓學(xué)生思考建系的一般流程. 具體過程如下：①提取橢圓的兩條對稱軸，建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)定坐標(biāo)軸，引出x軸和y軸;③引出動點，將動點的條件量化.

最后的“總結(jié)橢圓的幾何特征”環(huán)節(jié)，則要重點培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)、歸納能力. 可給出如圖3所示的圖像. 從數(shù)形角度進(jìn)行橢圓方程與直觀圖像的對應(yīng)探討，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注橢圓的圖像與方程的兩點關(guān)系：一是橢圓的焦點位置與方程參數(shù)的關(guān)系，二是橢圓的形狀與方程參數(shù)的關(guān)系. 通過數(shù)形探究的方式引導(dǎo)學(xué)生對橢圓的幾何特征形成深刻的認(rèn)識，并理解橢圓方程參數(shù)的實際意義.

精致構(gòu)建、活動探究的方式更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生親歷探究過程，參與課堂探討，可充分鍛煉學(xué)生的思維，從感性認(rèn)知上升到深度的理性認(rèn)知. 同時采用活動探究的方式來學(xué)習(xí)橢圓及其方程，學(xué)生可充分體會數(shù)形結(jié)合思想，提升語言表達(dá)、構(gòu)圖作圖、總結(jié)概括等能力，其中核心素養(yǎng)的提升是永久的，對于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展十分有利.

[?] 問題驅(qū)動，構(gòu)建“知識鏈”

設(shè)問引導(dǎo)是課堂教學(xué)的重要方式，課堂中合理設(shè)置問題，可以啟發(fā)學(xué)生主動思考，同時以問題為線索可驅(qū)動課堂，構(gòu)建系統(tǒng)化“知識鏈”. 設(shè)置問題應(yīng)遵循以下幾點：一是問題要具有層次性，含有內(nèi)在邏輯;二是問題要具有拓展性、遷移性，對學(xué)生的探究學(xué)習(xí)有遷移作用;三是整個“問題鏈”要形成體系，可促進(jìn)課堂的自然過渡.

基于上述對問題設(shè)置的分析，建議采用“‘六何’問題鏈”，即利用問題驅(qū)動學(xué)生經(jīng)歷新知“從何”“是何”“與何”“如何”“變何”“有何”的變化過程，使學(xué)生成為課堂主體，強(qiáng)化學(xué)生的問題意識. 對于教學(xué)中的“‘六何’問題鏈”，如圖4所示.

“從何”，即思考橢圓從何而來，如何被發(fā)現(xiàn)的. 教學(xué)重點是創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生充分感知橢圓. 故核心問題可設(shè)置如下：①生活中還有哪些橢圓實物？②這些橢圓實物有哪些特征？

“是何”，即思考橢圓的定義，何為橢圓. 教學(xué)重點是概括橢圓的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷橢圓作圖過程，理解橢圓的定義. 故核心問題如下：①描述作圖過程，如何改變作圖工具繪制不同的橢圓？②思考作圖過程，實驗工具的哪些量是變化的，哪些是不變的？有哪些發(fā)現(xiàn)？

“與何”是關(guān)于構(gòu)建坐標(biāo)系的思考，是建系過程、橢圓方程內(nèi)容等的探討. 故在教學(xué)中需要學(xué)生思考如下問題：①如何建系，如何與橢圓圖像銜接起來？②若其中的常數(shù)不大于

F

F，則動點是什么軌跡？

“變何”是關(guān)于橢圓方程與圖像的特征的探究，關(guān)注的重點是橢圓的焦點位置與橢圓形狀的關(guān)聯(lián)，突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合. 故需要變換橢圓方程的條件，要讓學(xué)生思考如下問題：①定義中2a值不變，橢圓焦距的變化對圖像有何影響？②橢圓的焦點位置與方程的哪個參數(shù)有直接關(guān)系？

最后的“如何”和“有何”是關(guān)于橢圓的知識應(yīng)用與反思?xì)w納，是后續(xù)探究解題的關(guān)鍵，并提出問題：求橢圓方程有幾種方法？引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的知識解決問題，倡導(dǎo)知識的應(yīng)用，并提出問題：掌握了橢圓的哪些知識、方法？有何感想？設(shè)計意圖是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思，根據(jù)自我學(xué)習(xí)的情況查缺補(bǔ)漏，完成知識的梳理總結(jié).

“六何”受問題驅(qū)動，旨在引導(dǎo)學(xué)生探索知識本質(zhì)，總結(jié)知識規(guī)律，形成新知“認(rèn)知鏈”，而不是簡單的問題疊合. 實際教學(xué)時可結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)情況靈活變動，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，更好地掌握橢圓的定義及方程.

總之，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)要立足重點，采用知識探究的方式，把握探究過程，形成知識與能力的閉環(huán). 教學(xué)環(huán)節(jié)，采用情境引入，探索定位新知;而探究環(huán)節(jié)則要精致構(gòu)建，豐富教學(xué)活動;同時建議課堂用問題驅(qū)動，形成“‘六何’問題鏈”，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

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