一道期中試題引發的高中數學文化的課堂教學思考

徐蘭

[摘? 要] 由一道期中試題引發的關于數學文化在高中數學課堂中滲透的教學思考，文章從情境引入數學文化、課堂小結展示數學文化、習題講評擴充數學文化三個方面進行了闡述. 作為一線數學教師更要提高自身的數學文化修養，提升專業素質，打造高效課堂.

[關鍵詞] 數學文化;數學思維;滲透方式

2020—2021學年溧陽市高二數學階段性測試中出了這樣一道題：

數學中，斐波那契數列看似平凡無奇，卻對圖案和圖形“滋養”甚豐，且與大自然關系奇妙. 斐波那契數列{a}滿足a=a=1，a=a+a（n∈N*）. 圖1是由邊長為斐波那契數列生成的“斐波那契數列矩形”，由此生成的矩形邊長之比越來越接近于（? ）

A. B.

C. 1.5 D.

辦公室數學教師做完這道題后，明顯形成了兩個截然不同的立場，有一方認為本題的難度太大，二階線性遞推數列的通項不是教材的主干知識，所以不作要求;另一方則認為本題是一個好題，因為是一道選擇題，所示選出正確答案不一定需要用到數列的遞推關系，可以根據對題意的理解，多列舉斐波那契數列幾項，然后用排除法求解.

我們先來看一下推導數列通項的求解過程：因為a=a+a，構造a+λa=μ（a+λa），所以μ-λ=1，

λμ=1，解得

λ

=，

μ

=，

λ

=，

μ

=，代入上式可得

a

-

a=

n+1，

a

-

a=

n+1，消去a，得a=

-

. 所以a=·

-

，將n=1，2代入驗證符合. 根據圖形得知，矩形的長與寬之比為=，當n→+∞時，

n→0，

n+1 →0，所以→.

另一種解法是多列舉出斐波那契數列幾項：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 144，…. 通過計算會發現每一個數與前一個數的比約等于1.618，而A選項、B選項、C選項的數值都小于或等于1.5，只有D選項大于1.5，所以用排除法選出D選項.

從上面的解法分析中，我們可以看到出題者的本意肯定不是用推導數列通項的方法來求解本題，而是考查學生對數學文化的認知程度.筆者是這樣認為的，斐波那契數列滿足a=1，a=1，an+2=an+1+a，當n→+∞時，的極限值為λ=，只要學生了解了這點數學文化，那么這個題目立刻就可以選出D選項. 筆者本校的兩個文科班都是16人選對了選項，其中絕大部分學生是用第二種方法（排除法）求解的，并非直接根據認知進行的判斷，可見真正知道斐波那契數列的黃金分割比的學生少之又少. 那么，是學生缺少接觸這些數學文化的機會嗎？初中、高中都有的一些包含斐波那契數列的相關習題，為什么學生在考場中一點認知反應都沒有？筆者認為，這是因為教師在處理這些題目時僅僅停留在了解題上，而錯過了向學生滲透相關數學文化的時機，所以這道題狠狠地給了我們教師一個教訓.

[?] 數學文化的含義

數學除了知識與方法之外，還是一種文化的傳承.數學文化從廣義上講就是數學本身，從俠義上理解是指數學思想和方法、數學觀點、數學語言及其形成和發展的過程，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學有關的人文活動.這種文化的熏陶對提高學生的數學核心素養起著不可估量的作用.

高考卷中總有以數學文化為背景的考題出現，這類考題本身用到的數學知識與方法較為簡單，但是從文化背景中抽象出數學模型或者數學知識是一個難點，也是學生最畏懼的.原因還是平時的課堂中相應的實踐太少，教師對數學文化的了解不夠深入、不夠全面，課堂上不能在恰當的情境中傳播數學文化.

[?] 數學文化在數學課堂中的滲透方式

1. 情境引入數學文化，激發學生的學習興趣

案例1 “函數與方程”的情境引入.

在神圣羅馬帝國時期，國王腓特烈酷愛數學，經常舉行宮廷數學競賽.在一次競賽中，有一道題是“求三次方程x3+2x2+10x=20的解”. 來自比薩的斐波那契成功判斷其只有一個解，且獲得了精確到小數點后六位的近似解（1.368808）.用方程求根的典故來激發學生的學習欲望：形如x3+2x2+10x=20，lnx+2x-3=0， 0.84x=0.5等這樣的方程該如何求解呢？用這樣的典故引出課題，學生一開始都會感覺到很新奇，積極地思考用什么方法能解決這么復雜的方程，當上完這節課后學生會獲得很大的成就感！

案例2 “橢圓的幾何性質”的情境引入.

如圖2所示，地球繞太陽公轉的軌道大致是一個橢圓，太陽的位置在橢圓軌道的焦點F處，地球的位置是動點P，近日點是地球離太陽最近之處，你能確定此時地球（點P）的位置嗎？學生感知此時地球在橢圓軌道的右頂點處，但是又說不出道理，教師解惑釋疑——求PF的最小值，于是進入課題，即用代數的方法來研究橢圓的幾何性質.

案例1中引入數學家的事跡不僅可以拓展學生的視野，也能夠讓學生對本節課所授知識充滿好奇心和征服欲望，活躍進入課題的氣氛. 案例2中對近日點和遠日點位置的確定，學生從猜想到證明，思維從“形”轉化為“數”，需要建立直角坐標系用點的坐標來刻畫目標函數，這樣用代數的方法解決幾何問題就會深深地刻在學生的腦海里. 同時也加強了學科之間的聯系，讓學生感知數學在科學界的重要地位. 高中數學的概念學習非常抽象，在新授課的情境中恰當融入相關的數學文化，可以增加學生學習數學的興趣，幫助學生更好地理解數學.

2. 課堂小結時展示數學文化，延伸數學思維

案例3 “充分條件和必要條件”這節課結束時，插入閱讀題：我國戰國時期墨子及其弟子們所著《墨經》有一段精辟描述：“有之則必然，無之則未必不然，是為大故;無之則不然，有之則未必然，是為小故.”根據今天所學的內容，說一說“大故”“小故”的含義并談談對這段話的理解.

案例4 函數概念的第一課，教師在課堂的結尾可以花上幾分鐘的時間向學生普及函數的發展歷程：1673年前后笛卡爾在他的解析幾何中發現了一個變量對于另一個變量的依賴關系;1718年貝努利定義了函數概念：由任一變量x和常數的任一形式所構成的量，叫作“x的函數”;歐拉于1748年也給出了函數的定義：一個變量的函數是由該變量和一些常數或常量以任何方式組成的解析式. 在這個定義中第一次提到了“解析式”. 這個時期是人們對函數概念的第一次抽象認識. 后來人們發現，不是所有的函數關系都能用解析式來表示，比如溫度與時刻的關系、人口總數與年份的關系就不能用解析式表示. 于是歐拉更正了對函數的認識：函數是指兩個變量之間具有的依賴關系. 這是人們對函數概念的第二次抽象認識. 新的問題又出現了，有的函數關系中兩個變量之間不具有依賴關系，如計程車的收費問題——起步價范圍內收費與路程沒有關系，引發了人們對函數概念的第三次抽象認識. 主要代表人物有狄利克雷，觀點是：函數就是兩個變量之間的對應關系. 到了20世紀，隨著康托爾創立的集合論，函數迎來了人們對它的第四次抽象認識——用集合的語言包裝了函數變量的對應關系. 這就是我們今天課堂上學習的函數概念.

案例3中的課堂以中國的古代文化結尾，讓學生談談對這段話的理解，由此加深了學生對充分性和必要性的理解. 解決數學問題首先要理解表達問題的文字，在此基礎上再用數學語言來表達文字，所以平時的教學中教師要找機會在概念的理解或者辨析時滲透一些中國古代文化，在促進學生理解數學概念的過程中也能提高學生的語言理解能力，感受中國文化的源遠流長. 案例4中提出的函數是高一學生覺得最抽象、最難理解的一個概念，而對函數數學史的介紹能夠讓學生獲得心理安慰——原來經歷了這么長的時間，經過幾代偉大數學家艱辛的努力才有我們今天對函數的定義——可以增強學生學習函數的信心，也讓他們感受到歷史長河中的任何一個數學家都是在曲折中不斷前進的，有的甚至用了畢生精力還沒有完成一個猜想的證明. 這將鼓勵學生在挫折、錯誤和失敗面前不必輕易否定自己，要鼓起勇氣迎難而上. 美國數學史家M·克萊因指出：“歷史上數學家遇到的困難，正是學生會遇到的學習障礙，因而數學史是教學的指南.”

3. 習題評講時擴充數學文化，增加學生的知識，提升學生解決問題的成就感

案例5 課本習題：已知點M到定點O（0，0），B（3，0）的距離之比為1∶2，求點M的軌跡方程，并畫出該曲線.

變式：如果比值變為2呢？變成1呢？變成λ呢？

我們知道：平面內到兩定點的距離之和為定值（大于兩定點的距離）的點的軌跡是橢圓;到兩定點的距離之差的絕對值為定值（小于兩頂點的距離）的點的軌跡是雙曲線. 那么，在平面內到兩定點的距離之比為λ的點的軌跡是什么呢？案例5以課本習題為切入口，進行從特殊到一般的探究、拓展、歸納、猜想，得出阿波羅尼斯圓的定義：平面上給定相異的兩點A，B，設點P與其在同一平面上且滿足=λ，當λ>0且λ≠1時，點P的軌跡是一個圓. 借此機會展示背景：阿波羅尼斯是古希臘著名的數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》. 之后很長一段時間，后人對圓錐曲線的研究都沒有超越過這本書.

數學文化的介紹可以滲透進教學的各個環節，它在數學課程中的體現是多樣化和靈活的，像這樣利用課本中的一個習題來引出阿波羅尼斯圓，一方面可以培養學生的歸納推理能力，另一方面展示了阿波羅尼斯圓的定義，并且順勢介紹了數學家阿波羅尼斯，促進學生對這一知識的掌握和理解，也增加了學生學習數學的興趣.

從以上案例可以看出，在高中數學的教學中滲透數學文化有著重要的意義. 首先，可以激發學生學習數學的興趣，優化學生的學習方式，促進學生深度理解數學;其次，古今中外的數學家在艱難的環境中研究科學的無私精神和崇高品質是我們學習的榜樣，是我們敬佩的對象.這正是文化的遷移、文化的教育.

張奠宙先生提出“數學文化必須走進數學課堂”，所以數學文化不能停留在一個個數學小故事中，數學文化更應該以合理的形式和內容延伸到課堂教學活動中，通過數學文化的有效價值來提升課堂的品位，提高課堂的質量，改變學生的數學觀，促進學生理解數學，提升學生的數學核心素養. 數學文化以怎樣的方式進入課堂，怎樣與課堂內容進行有機結合，依舊是國內學者研究的重要內容之一. 作為一線數學教師，首先要充分開發并利用教材中的數學文化資源;其次要深入研究平時的練習中遇到的數學文化，挖掘其教學價值;最后是多學習、多研究教學案例，教師之 間互相探討、互相吸取有益的思想養料，提升自身的專業素質，打造更高水平的課堂.

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