條件引領思路展開 教學微設激發思維

程中曜

[摘? 要] 問題探究要注重兩方面內容：一是注重對問題條件與圖像的拆解;二是注重思路構建的方法，這也是教學指導的關鍵點. 下面以一道拋物線綜合題為例，進行思路突破，并結合教學實踐，提出相應的建議.

[關鍵詞] 解析幾何;定值;面積;反思;微設計

[?] 問題呈現，考點分析

問題：已知直線l的解析式為2x-y-4=0，與x軸的交點為E，拋物線Ω的方程為y2=2px（p>0），點F為拋物線的焦點，其中點O為坐標原點，且=，回答下列問題.

（1）試求拋物線Ω的方程.

（2）如果直線l與拋物線Ω相交于點P和B（點P在第一象限），直線PA與拋物線的交點為A，與x軸的交點為D，直線PC與拋物線的交點為C，與x軸的交點為G，且點E為DG的中點. 設直線PA和PC的斜率分別為k和k，試證明+為定值.

（3）在（2）的條件下，試求△PBC面積的取值范圍.

考點分析：上述是關于拋物線與直線相交問題，涉及了向量、直線斜率、面積模型等知識. 第（1）問求拋物線的方程，考查拋物線方程的求法;第（2）問證明+為定值，實則考查拋物線與直線相交、直線斜率構建;第（3）問求三角形面積的取值范圍，考查拋物線中三角形面積的構建方式，以及取值范圍分析方法等.

[?] 思路突破，過程評析

問題突破需要把握考點，合理構建圖像來逐步分析轉化，下面逐問探究.

（1）由直線l的解析式可求得點E（2，0），由向量條件=可知點F為OE的中點，故點F坐標為（1，0）. 所以=1，可解得p=2，則拋物線的方程為y2=4x.

（2）聯立拋物線Ω與直線l的解析式，有2x-y-4=0，

y2=4x，可求得點P（4，4），B（1，-2），點E是DG的中點，則+=0，可設點D（2-t，0），點G（2+t，0），其中t>0. 結合點坐標可求直線斜率，有k=，k=，則+=+=1，可證+為定值.

（3）可將△PBC視為是以點C為頂點，PB為底邊的三角形，則S=×PB×d，其中d表示點C到直線PB的距離. 在（2）的條件下，則直線PC的方程為y-4=（x-4），整理可得4x-（2-t）y-4t-8=0，與拋物線的方程聯立，可得y2-（2-t）y-4t-8=0，可解得y=-t-2或y=4（舍去），所以x=，即C

，-t-2

，故點C到直線PB的距離為d==. 由點P和B的坐標可得PB==3，所以關于△PBC的面積函數為S=×3×=.

設過點P的拋物線的切線方程為y-4=k（x-4），聯立y-4=k（x-4），

y2=4x，可得ky2-4y+16-16k=0，由Δ=0可得k=，所以切線方程為x-2y+4=0，令y=0，可得x=-4，所以要使過點P的直線與拋物線有兩個交點，需滿足條件2-t>-4，則有0<t<6.

綜上可知，S=，其中0<t<6，則0<S<54，所以△PBC面積的取值范圍為（0，54）.

[?] 教學探討，創新微設

上述拋物線綜合題涉及了眾多考點，所涉三問相互獨立，又緊密關聯，且難度逐問遞增，在實際教學中建議采用數形結合的方式，引導學生從問題出發，理解題意，繪制圖像，逐步構建思路. 下面具體探討數形結合的構建方式，以及創新微設計的環節引導.

1. 數形結合圖像構建

考題的第一問是基礎問題，后兩問是核心之問，構建圖像有助于條件轉化和思路構建.

第（1）問是關于直線l與拋物線Ω的相交，根據向量條件“=”可知點F為OE的中點，故可根據該信息繪制圖像，主要包含兩個信息：直線l與x軸的交點為E;點F是OE的中點. 可繪制圖1所示圖像.

第（2）問涉及眾多直線與拋物線相交，總體上有三條直線，且直線之間存在相對關系：直線l與拋物線Ω相交于點P和B，直線l位于中間;直線PA與拋物線交于點P和A，直線在左側;直線PC與拋物線交于點P和C，直線在右側. 由此可繪制圖2所示圖像.

第（3）問是在（2）問基礎上的構建，以交點為基礎構建了△PBC，需要關注其中的兩個信息：直線PA與拋物線有兩個交點;直線PC與拋物線相交于點P和C.

2. 創新微設計引導環節

實際教學中建議采用“微設計”的方式，讓學生逐步感受考題構建，通過設問引導的方式指導學生思考問題，轉化條件，體驗思路構建. 下面分三大環節進行教學設計，由淺入深，深刻理解問題.

環節（一）——基礎鞏固，初繪圖像

題設：已知直線l：2x-y-4=0，與x軸的交點為E，拋物線Ω：y2=2px（p>0）的焦點為F，其中點O為坐標原點，且=.

設問1：從向量“=”中可以獲得哪些位置關系和數量關系？

設問2：試求點F的坐標，并求出p的值.

設問3：根據直線l的方程確定與坐標軸的交點，結合點E和F的位置繪制圖像.

教學引導：引導學生確定點F的坐標，確定拋物線的方程參數p，求解方程，然后把握直線與拋物線的位置關系繪制圖像.

環節（二）——能力強化，關系探究

題設：根據如下信息繪制圖像.

信息1：直線l與拋物線Ω相交于點P和B（點P在第一象限）;

信息2：直線PA與拋物線的交點為A，與x軸的交點為D;

信息3：直線PC與拋物線的交點為C，與x軸的交點為G;

信息4：確保點E為DG的中點.

繪圖過程引導學生思考如下問題：直線PB，PA和PC的相對關系;三條直線的交點P的位置;點E和點D，G的相對關系.

問題探究中引導學生合理設定坐標，構建直線斜率：

設問1：根據直線l與拋物線相交求點P和B的坐標.

設問2：E是DG的中點，則+等于多少？若設點D（2-t，0），如何表示點G？

設問3：請根據點P和D的坐標求直線PA的斜率k，根據點P和G的坐標求PC的斜率k，并求+的值.

環節（三）——知識綜合，建模解析

題設：連接BC，構建△PBC，繪制相應的圖像.

求△PBC面積的取值范圍需要經歷構建模型、轉化面積函數、定義域分析三個階段，教學可根據上述三階段來設問引導.

設問1：若將△PBC視為是以點C為頂點，PB為底的三角形，可構建怎樣的面積模型？

設問2：請根據點P和G的坐標表示直線PC的解析式，與拋物線方程聯立求點C的坐標，設點C到直線PB的距離為d，利用“點到直線的距離公式”求d的值.

設問3：結合上述信息來構建△PBC的面積函數，S=×PB×d.

設問4：要使直線PA與拋物線有兩個交點，則與過點P的拋物線的切線方程有怎樣的位置關系？過點P的拋物線的切線與x軸的交點為（-4，0），則點D（2-t，0）與（-4，0）有怎樣的關系？可得出哪些結論？

設問5：請根據上述△PBC的面積函數及關于參數t的取值范圍求面積的取值范圍.

[?] 解后反思，教學建議

上述基于一道拋物線綜合題進行了解題突破、教學探討，整個過程側重解題思路的構建，培養學生的數學思維，下面深入反思，提出幾點建議.

1. 無圖問題提信息，精心構圖探方向

部分解析幾何問題沒有給出圖像，但問題又涉及眾多的曲線特征和幾何性質，分析難度較大，因此理解題意，精準構圖是突破的關鍵. 教學中建議首先指導學生繪制圖像，然后進行思路構建. 構圖環節需要注重兩點：一是引導學生明辨條件與結論，提取圖像信息;二是轉化文字信息為幾何信息，根據幾何語言來繪制圖像. 后續的探究分析則只需立足圖像特征，采用數形結合的方法探討突破方向即可.

2. 解后反思評過程，結構分析生策略

教學中要注重解后反思，引導學生反思解題過程，分析問題結構，生成合理的解題策略. 以上述問題為例，要引導學生總結問題類型、結構特點及問題解法. 必要時可開展“一題多解”“多題一解”，指導學生總結問題的“通性通法”，合理進行方法拓展，探究關聯性問題的解法. 教學中要充分發揮經典問題的價值，利用考題探究來提升學生的能力.

3. 教學微設勤互動，追問對話促思維

解題教學建議采用“微設計”的方式，圍繞考題開展微設計，將問題條件與結論拆解為多個模塊，引導學生逐步探究，可幫助學生構建思路，形成正確的解題思維. 而“微設計”環節需要采取“互動探究”與“追問對話”相結合的方式，重視學生的主體地位. 設置具有啟發性的問題，讓學生在互動思考中“生成”觀點，通過追問對話促發學生新的“思想”.

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