小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)及教學(xué)策略

薛翠艷

[摘 ?要] 算理結(jié)構(gòu)是計(jì)算的內(nèi)在脈絡(luò)、靈活。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、回歸算法本源、利用直觀表象、溝通結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生分析、理解、應(yīng)用計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)。在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法，有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維方式，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的可持續(xù)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);計(jì)算教學(xué);算理結(jié)構(gòu);教學(xué)策略

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基石。沒有良好的計(jì)算素養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就無(wú)從談起。著名的教育家赫爾巴特認(rèn)為，“所有比較確定的知識(shí)，都必須從計(jì)算開始”。引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算，不僅要讓學(xué)生掌握技能、技巧等，更重要的是要讓學(xué)生理解計(jì)算算理。其中，算理結(jié)構(gòu)是計(jì)算的內(nèi)在脈絡(luò)、靈活，對(duì)算理結(jié)構(gòu)的分析、理解有助于學(xué)生掌握計(jì)算方法、法則等，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生形成計(jì)算思想和方法等。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深度分析、洞察計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)，讓計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)成為學(xué)生計(jì)算心理的重要組成部分。

一、立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)

所謂“算理”，是指“計(jì)算的理論依據(jù)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中，算理包括計(jì)算的概念、性質(zhì)、定律等。算理是計(jì)算法則的內(nèi)在支撐，解決的是“為什么這樣計(jì)算”的問題。在計(jì)算教學(xué)中，理解算理是一個(gè)核心的、關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，發(fā)揮著基礎(chǔ)性的功能和作用。只有深度理解了算理、把握了算理，才能有效地構(gòu)造算法、進(jìn)行計(jì)算。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生分析算理結(jié)構(gòu)、理解算理。可以這樣說(shuō)，經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生理解算理的基石。

經(jīng)驗(yàn)不僅包括學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，也包括知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。比如教學(xué)“小數(shù)的加法和減法”（北師大版第8冊(cè)）這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以從以下兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)層面來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、建構(gòu)算法：一是基于“整數(shù)加減法的內(nèi)在算理”來(lái)助推學(xué)生理解“小數(shù)加減法的算理”。我們知道，“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”本質(zhì)上也是“數(shù)位對(duì)齊”，是“計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣分析算理結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生整合算法。二是利用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解內(nèi)在算理。教學(xué)中，教師或?qū)W生可以給抽象的小數(shù)加上“單位”——比如“1.23+3.5”，加上“元”“米”等單位——促進(jìn)學(xué)生理解“小數(shù)加減法的內(nèi)在算理”，從而讓學(xué)生掌握“小數(shù)加減法的法則”。通過數(shù)學(xué)計(jì)算算理與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的融通，能讓學(xué)生真正理解算理。同時(shí)，激活學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，能為學(xué)生理解算理提供動(dòng)力源泉，讓算理在學(xué)生的心靈中扎根。

立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)，要注重引導(dǎo)方式，要助推學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)，要將新算理與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)無(wú)縫對(duì)接。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生整合算理、再構(gòu)建算理，促進(jìn)學(xué)生完成經(jīng)驗(yàn)遷移和算理再創(chuàng)造。當(dāng)學(xué)生理解了算理之后，就能“循理入法”“以理馭法”。

二、回歸算法本源，分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)

相對(duì)于算法，算理應(yīng)當(dāng)更“接地氣”。算法是抽象化、形式化、數(shù)學(xué)化的，而算理則是經(jīng)驗(yàn)化、具體化、生活化的。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師要善于發(fā)掘算法的本源，即在算法的生發(fā)、生長(zhǎng)過程中引導(dǎo)學(xué)生理解算理。教學(xué)中，教師可以采用“以退為進(jìn)”的策略，正如著名的數(shù)學(xué)教育家華羅庚所說(shuō)，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”。

比如教學(xué)“有幾瓶牛奶——9加幾”（北師大版第1冊(cè)）這部分內(nèi)容，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)概念”“運(yùn)算意義”的本源性視角去思考、探究。比如教學(xué)中可以出示一個(gè)情境圖：“在盒子里放了9瓶牛奶，在盒子外放了6瓶牛奶。”然后啟發(fā)學(xué)生思考：“一共有多少瓶牛奶？”觀察并思考情境圖之后，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到，“求一共有多少瓶牛奶”就是“將盒子里的牛奶與盒子外的牛奶合并起來(lái)”。“合并”成了學(xué)生理解算理的關(guān)鍵。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多元化操作：其一，從加法的基數(shù)意義上引導(dǎo)學(xué)生先數(shù)盒子里的牛奶瓶數(shù)，接著數(shù)盒子外的牛奶瓶數(shù);其二，從加法的序數(shù)意義上引導(dǎo)學(xué)生從盒子里的牛奶瓶數(shù)開始數(shù)起（即以9為起點(diǎn)數(shù)起），直接接著數(shù)盒子外的牛奶瓶數(shù);其三，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察“盒子里差一瓶牛奶就可以湊成10瓶牛奶”，從而幫助學(xué)生建立“湊十法”的計(jì)算模型。如此，從加法的計(jì)算本源——“合并”上引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)多樣化的算法，促進(jìn)學(xué)生理解算理、建構(gòu)法則。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)概念”“數(shù)意義”等是學(xué)生算法建構(gòu)的源頭，必須有意識(shí)地夯實(shí)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，最基本的“加減乘除”的算法都是有其本源意義的。比如“加法”的表征是“合并”，“乘法”的表征是“相同加數(shù)的‘反復(fù)合并’”;“減法”的表征是“分解”，“除法”的表征是“相同減數(shù)的‘分解’”。在計(jì)算教學(xué)中，教師完全可以借助于數(shù)概念、數(shù)意義等的支撐，促進(jìn)學(xué)生理解計(jì)算算理、建構(gòu)計(jì)算算法。

三、利用直觀表象，分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)

計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)是抽象化、形式化的，因此教師可以借助于形象化的圖式、具象化的操作等手段、方法，幫助學(xué)生建立算理的直觀表象，促進(jìn)學(xué)生分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)。在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師可以借助于具有“齊性”特質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)具，比如小棒、圓片等，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作。通過對(duì)這些數(shù)學(xué)學(xué)具的操作（如重組、合并、分解等），引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，引導(dǎo)學(xué)生建立算理的直觀表象，進(jìn)而助推學(xué)生理解、遷移、應(yīng)用計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)。

比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”（北師大版第10冊(cè)）這部分內(nèi)容，教師可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義畫出直觀的長(zhǎng)方形圖。比如教學(xué)“×”，先讓學(xué)生畫出一個(gè)長(zhǎng)方形表示單位“1”，然后將這個(gè)長(zhǎng)方形豎著（或橫著）平均分成3份，涂上斜線（單陰影）表示其中的2份;在此基礎(chǔ)上，將圖中的按相反的方向（原豎著現(xiàn)在橫著，原橫著現(xiàn)在豎著）平均分成5份，再用雙陰影表示其中的3份。接著，啟發(fā)學(xué)生：×就是將整個(gè)長(zhǎng)方形平均分成了多少份？表示了其中的多少份？學(xué)生經(jīng)歷了畫圖的過程，通過結(jié)果的直觀呈現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)×=。由此，學(xué)生猜想：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)就是用分母相乘的積作新分?jǐn)?shù)的分母（平均分的總份數(shù)），用分子相乘的積作新分?jǐn)?shù)的分子（表示的總份數(shù)）。同時(shí)，學(xué)生會(huì)再一次舉例驗(yàn)證，并且從分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義上加以理解，即分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)表示的是幾分之幾的幾分之幾。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、分析、概括。經(jīng)過一系列的操作過程，學(xué)生就能建立“分?jǐn)?shù)”（單陰影）、“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”（雙陰影）的算理認(rèn)知，算理表象積極內(nèi)化，學(xué)生對(duì)計(jì)算法則的理解便更加清晰、更加深入。

華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過，“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微”。直觀表象是學(xué)生理解算理結(jié)構(gòu)的基石。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助于動(dòng)手操作（如畫圖），將抽象的算理轉(zhuǎn)化成直觀圖形，從而幫助學(xué)生建立直觀表象。借助于幾何圖形的直觀表象，支撐學(xué)生理解算理，同時(shí)還促進(jìn)學(xué)生的直觀思維和抽象邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。

四、溝通結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師還要將不同計(jì)算的算理、算法進(jìn)行溝通，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到算理、算法內(nèi)在的一致性。通過溝通結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算的算理結(jié)構(gòu)。為了讓學(xué)生擺脫非本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、比較，把握知識(shí)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到對(duì)算理結(jié)構(gòu)的深層次理解。溝通結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，有助于學(xué)生理解計(jì)算算理，從形式化走向結(jié)構(gòu)化。

比如教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)相加減”（北師大版第10冊(cè)）這部分內(nèi)容之后，筆者將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”一起引入其中，引導(dǎo)學(xué)生比較算法。通過算法比較，深化學(xué)生的計(jì)算識(shí)別力，讓學(xué)生主動(dòng)把握算理的內(nèi)涵，從而積極地類比算理，獲得遷移能力。通過算法比較，學(xué)生認(rèn)為，盡管“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“分?jǐn)?shù)加減法”的計(jì)算法則不同，但其本質(zhì)（算理）是相同的，都是“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣進(jìn)行比較，讓學(xué)生深刻理解不同加減法的計(jì)算算理內(nèi)在的一致性。在算理的內(nèi)在關(guān)聯(lián)中，學(xué)生形成了對(duì)“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“分?jǐn)?shù)加減法”的算理、算法的整體性認(rèn)知，有助于學(xué)生的算法遷移、算法應(yīng)用。在算理的融通中，學(xué)生對(duì)計(jì)算算理不僅“知其然”，更“知其所以然”。

結(jié)構(gòu)性的算理是算理教學(xué)的暗線。將結(jié)構(gòu)性的算理顯現(xiàn)出來(lái)，有助于凸顯算理蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，有助于學(xué)生精致化理解算理。理解算理結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生的算法遷移、算法應(yīng)用，讓學(xué)生感受到、體驗(yàn)到算理結(jié)構(gòu)的力量。在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法，有助于豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維方式，促進(jìn)學(xué)生計(jì)算能力的可持續(xù)發(fā)展。

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