“類比”視角下的小學數學教學

趙利琴

[摘 ?要] “類比”不僅是數學思維的“法寶”，也是數學創造的“法寶”。在小學數學教學中，教師要引導學生在數學概念學習中“類同”，在數學方法學習中“類異”，在數學原理學習中“類推”。通過類比學習，不僅有助于學生建構、創造數學新知，更能有效提升學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞] “類比”視角;類同;類異;類推

所謂“類比”，是指“一種找出兩個或者兩個以上事物的某些相同、相異、相似、相反等特征，將一事物的有關屬性、特質推移到另一事物的過程”。“類比”是學生數學學習常用的一種思想方法、策略方式。“類比”不僅是數學思維的“法寶”，也是數學創造的“法寶”。在小學數學教學中，實施類比教學，能豐富學生的想象力，幫助學生認識數學知識的內在本質、結構，從而深化學生對數學知識的理解。類比教學，有助于學生數學學習積極遷移，能有效地提升學生的數學學習效能。基于“類比”視角，教師在數學教學中要深入發掘類比思維的時空，穩固類比思維的根脈，對不同類型的數學知識進行不同的類比。通過比較、分析，引導學生積極地求同、求異、求似，進而助推學生的數學學習遷移。

一、在數學概念教學中“類同”

概念是學生數學學習的重要組成部分，是數學知識的基本組成要素。概念教學是數學教學的重中之重。作為教師，在數學教學中要深入研究概念教學。從根本上說，概念教學有兩個主要的方面：一是引導學生把握概念的內涵，二是引導學生把握概念的外延。概念學習過程說到底就是去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的抽象化、概括化的過程。抽象、概括是概念學習的重要思想。作為教師，要善于引導學生舍棄數學概念的非本質屬性，提煉概念的本質屬性，這個過程需要學生展開積極的“類同”。

為此，在概念教學中，教師要給學生提供與概念有關聯的多樣、豐富的素材，引導學生進行比較、抽象和概括。這個過程偏重于同化建構、上位遷移。其中，一種是同類事物的抽象、提煉;另一種是跨層次事物的抽象、提煉。比如教學“高”這一概念，需要教師循序漸進地引導學生認知。首先是學習三角形的高，其次是學習平行四邊形的高，再次是學習梯形的高，等等。比如教學“三角形的高”這一概念，教師不僅要呈現標準范式，還要呈現多樣的非標準的其他范式。如銳角三角形的三條高、直角三角形的三條高、鈍角三角形的三條高等。以“銳角三角形的高”為例，教師不僅可以變化三角形的位置，還可以改變三角形的方向，等等。通過多元化變式引導學生建立本質意義上的“三角形的高”的概念。在此基礎上教學“平行四邊形的高”，就可以從圖形特征、數學概念、位置關系、知識關聯等方面引導學生進行類比。比如在圖形特征方面，三角形的高是頂點到底邊的垂直距離，因此平行四邊形的高就是頂點到對邊的垂直距離。為此，筆者重點引導學生思考經過三角形一個頂點可以畫幾條高、經過平行四邊形的頂點可以畫幾條高，等等。比如在位置關系方面，引導學生對比三角形的高的位置和平行四邊形的高的位置，從而讓學生認識到三角形的高只有三條，而平行四邊形的高卻有無數條，在平行四邊形的兩條平行邊之間的垂直線段的長度都是平行四邊形的高，等等。通過“三角形的高”“平行四邊形的高”以及“梯形的高”等概念的建立，才能幫助學生有效地建構“高”的概念。顯然，這個過程是一個“類同”的過程，它能集中、有效地體現學生的數學抽象素養。

概念教學過程中的“類同”，要讓學生思考并用數學語言描述對象的共同要素和邏輯關系。這個過程需要引導學生完整經歷解構、變換、類比等思維、想象的過程。在數學教學中，教師要引導學生進行知識對比，從而讓學生厘清易于混淆的知識點，進而對相關的知識進行查漏補缺;要引導學生有效地梳理和整合相關的數學知識，讓學生掌握相關的知識結構，幫助學生形成數學的大概念、高端點等，促進學生學習能力的提升，促進學生數學核心素養的生成。

二、在數學方法教學中“類異”

“類同”是一個從多樣化到本質化、單一化的思維、推理過程。與此相反，“類異”就是運用數學抽象或直觀想象，幫助學生建構不同的數學模型、實施多樣化應用的過程。在數學方法教學中，教師要有效地利用“類異”，豐富學生在情境中實踐應用的感受與體驗。換言之，同樣的數學法則、定理等在不同的情境中有著不同的應用。

比如行程問題總體的解題方法、公式、策略等是“路程=速度×時間”，但在具體的應用過程中可以分為“相遇問題”和“追及問題”，因而解題方法、公式、策略等就相應地演變為了“路程和=速度和×相遇時間”“路程差=速度差×追及時間”。不僅如此，在“相遇問題”中，又可以分為“相向而行問題”和“相背而行問題”，而且在這些問題中，情境又有著豐富的變化，如“同時出發”“先出發”“中途休息”等。不同的問題情境必然要對公式、方法等進行變異應用。比如這樣的一道習題就需要教師引導學生從整體上進行思考：“甲、乙兩車同時從A、B兩地相對勻速開出，到達終點后迅速返回，第一次在距離A地50千米處相遇，第二次在距離B地30千米處相遇，兩地相距多少千米？”第一次相遇，甲、乙兩車一共行駛了一個全程，其中甲車行駛了50千米;第二次相遇，甲、乙兩車一共行駛了三個全程，甲車行駛了三個50千米，也就是150千米;而這時甲車也行駛了一個全程再加上30千米，因此全程是120千米。這樣的數學問題，運用了基本行程問題的解題方法，但卻不是簡單的應用，而是一種情境變化式的靈活應用。

在數學教學中，這樣的解題方法“類異”的問題有很多，比如著名的“蘇步青問題”，即“兩人從相距3000米的兩地相向而行，甲每分鐘行140米，乙每分鐘行160米，甲帶著一只狗，狗每分鐘行250米。狗同甲一起出發后，遇到乙時即轉身向甲走，如此反復，直至甲、乙兩人和狗同時相遇，狗一共走了多少米？”在解決這類問題的過程中，學生需要運用的就是行程問題的基本數量關系。但顯然，這不是機械地套用，而是要求學生靈活地、靈動地應用。在數學教學中，教師首先要讓學生掌握最基本的數量關系，如工程問題的“工作效率×工作時間=工作總量”，倍比問題的“一份數×份數=總數量”，分數應用題的“單位‘1’的量×分率=比較量”，等等。在此基礎上，通過變式教學，引導學生靈活遷移所學的知識、方法、策略，引導學生有效地觀察、猜想、思考、類比、發現，幫助學生解決問題。

三、在數學原理教學中“類推”

所謂“原理”，是指“具有普遍意義的基本規律”。數學中的原理、公理、定理、法則等是人們在大量的觀察、實踐的基礎上，經過比較、歸納、概括、推理而形成的。作為教師，在數學教學中要引導學生積極地進行“類推”，從一類原理、定理、法則等類比出有關聯的其他原理、定理、法則等。通過這樣的“類推”，助推學生自主建構、創造數學知識。

比如教學“比的基本性質”，教師就可以從學生已掌握的數學原理“商不變的規律”“分數的基本性質”“小數的性質”等展開教學。一方面，教師要幫助學生復習“比與分數、比與除法的聯系與區別”，另一方面要幫助學生復習“商不變的規律”“分數的基本性質”，從而催生、喚醒、激活學生的“類推”心理，產生“類推”動力，構建新舊知識的鏈接點、新知識的生長點。在除法中有“商不變的規律”，在分數中有“分數的基本性質”，在小數中有“小數的性質”，那么在比中是否有“比值不變的規律”，是否有“比的基本性質”呢？正是通過“類推”，能引導學生積極地、大膽地且符合情理地進行數學猜想，并根據除法、分數、小數和比的內在關聯，助推學生獨立地提出猜想、驗證猜想，從而自主地建構數學知識。在數學原理的“類推”過程中，教師不僅要引導學生認識“原理是什么”，更重要的是要引導學生思考、探究“原理為什么”。原理“類推”的關鍵在于：深入理解事物的本質，把握事物的內容、形式、關系。通過“類推”，學生能積極地、主動地從一類特定對象的原理、規律、性質推導另一類特定對象的原理、規律和性質。可以這樣說，“類推”是人類數學知識學習中經常應用的一種模式。通過“類推”的思維模式，逐步培育學生學會“數學地思考”，讓學生形成“數學的眼光”和“數學的大腦”。

“類比”在學生的數學學習中發揮著無法比擬的作用。通過“類比”，能幫助學生理順數學知識的本質聯系。數學概念的“類同”、方法的“類異”以及原理的“類推”，其實質是引導學生發現、提煉概念、方法、原理等的本質，以及洞察概念、方法和原理等之間的聯系。引導學生完整經歷“類比”過程，不僅有助于學生建構數學知識，還有助于提升學生的數學學習能力，發展學生的數學核心素養。

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