問題解決教學中學生計算思維的培養

唐斌?付興容

摘 要 計算思維是基于計算手段，以數據推理為核心的思維習慣與能力，包含計算的合理性、準確性、簡約性、靈活性、創造性等。將計算教學恰當地置于生活問題大情境之中，沿著提出問題-分析問題-解決問題之路，著力探究“用什么”“為什么”“怎么樣”“還可以怎么樣”等系列問題，幫助學生掌握問題解決策略，提高學生思維能力，發展學生數學思想。

關鍵詞 問題解決 計算思維 思維能力

“數學教育中的計算思維，是指從計算角度思考問題，把問題數量化，化歸或遞歸為可計算的問題，用數據來進行推理。”[1] 因此，計算思維是一種從計算的角度，提出問題、分析問題、解決問題的思維習慣與能力，包含了計算的合理性、準確性、簡約性、靈活性、創造性等。計算是尋求合理計算途徑解決問題，計算思維能力是在問題解決過程中得以發展。

一、問題情境，抽象算式，合理思維

計算的目的是合理地解決數學問題，算式是回答“用什么”解決問題的問題。計算教學，需要在具體情境中讓學生經歷從數的運算到式的運算、從具體數到數量關系的抽象過程[2]。創設符合學生認知及心理發展規律的問題情境，可以激發他們學習數學的興趣。單純的計算教學常是枯燥無味，如將計算情境融入學生真實生活，學生就容易在生活中感受事物間的數量關系，發現數學問題，將生活情境轉化為計算問題情境，憑借已有的數學經驗，合理分析問題，把數量關系抽象建模后用算式表達。

例如小數除法“精打細算”中，學生根據情境圖收集數學信息：笑笑要去買牛奶，佳佳超市8袋牛奶共18.4元;樂福超市7袋牛奶共14.7元。提出結構性問題：佳佳超市每袋牛奶多少錢？樂福超市每袋牛奶多少錢？笑笑會去哪家超市買牛奶，為什么？……在解決“佳佳超市每袋牛奶多少錢”這一問題時，學生由于思維方式不合理、不會從生活情境抽象出“18.4里面包含了幾個8”，導致不能正確應用單價、數量、總價之間的關系列出算式。那么如何算？引出了新的問題。

正確的算式是數量關系的表現形式，是問題解決的前提條件，同時也是培養學生思維合理性的主要方法之一。借助日常生活情境，能使學生在情境中思考，在問題解決過程中進一步感知和增強對數的認識，促進對數的思考，加深對數量關系的理解，同時培養學生計算思維的合理性。教學中借助問題教學調動學生已有的知識經驗，讓數學與學生已有的生活體驗、知識經驗聯系起來，讓他們帶著探究的眼光解決問題，感受知識之間的內在聯系，有助于理解和建構新知結構，抽象出算式，提高問題解決的能力。日常生活中，買東西是每位學生常常經歷的事情，他們需要“貨比三家”，用最少的錢買同質量的物品，這是求牛奶單價之必須，建立總價、數量、單價間的數量關系。學生感受到數學在生活中的價值，便會自主地激發問題意識，調動學習的內驅力，有效地增強他們自主探究問題的意識，提升問題解決的能力。

二、問題分析，演繹算理，準確思維

小學生在解決計算問題時，需要借助已有生活經驗和知識經驗理解算式，嘗試計算、探究算理，分析“為什么”要這樣算。現代信息加工心理學認為：問題分析屬于問題表征，即審題、了解題意的過程。計算教學時，教師應引導學生在學具操作中分析問題、感悟算理，溝通算理與算法的聯系。動手操作，學生不僅要觀察、分折、比較，還要抽象、概括、歸納、總結，把抽象、復雜的算理形象化、簡單化，演繹算理模型，提高問題解決的能力，提升思維的準確性。如“樹上有16只小鳥，又飛來了7只，現在樹上共有多少只小鳥？”列式“16+7”計算時，學生以小棒代替小鳥，以擺小棒、撥計數器等直觀操作模型，在頭腦中建立起算理與算法的橋梁，能直觀感悟、理解“滿十進一”的算理。流暢的思維、有序的操作讓學生在腦中進行形象和抽象的對位，有效幫助學生實現從形象思維到抽象思維的過渡。這種方法常用于小學低段計算教學，以便于學生以形象方式理解抽象的算理，將算理與算法結合。

到了小學中段計算教學時，通過畫格子圖、點子圖、面積圖等數形結合的方式理解計算的原理。這些方式常用于小數、分數的計算中。例如小數乘法“買文具”中的問題：3枝鉛筆需要多少錢？列式：3×0.3。有學生結合小數的意義，采用畫圖的方法計算（如圖1）。

用直觀圖幫助學生還原最簡單、最直觀的道理，使算理與算法有機融合，明確算理與算法的對應。學生通過畫圖明白：0.3是3個0.1，3個0.3就是有3×3個0.1，也就是9個0.1，結果是0.9。在操作活動中，學生思維清晰，調動多種感官參與學習、自主探究，從多層面、多角度發現問題、思考問題、解決問題，以提高解決問題的能力。

計算的準確率除了與計算習慣有關，還與計算思維的縝密性相關。只有準確而深刻地理解了算理，算法才有嚴密的邏輯關系;將算法與算理有機融合，才能讓學生在理解算理的基礎上，更深入地理解數學核心概念，計算方法才有可行性，計算結果才可能正確。

三、問題解決，歸納算法，簡約思維

算法，是解決“如何算”的問題，是從算理中概括出的計算方法，是一種抽象的過程，包括了計算順序、計算的法則及計算的定律。一般在問題分析的環節，學生從不同的角度，探索算理，掌握多種計算方法，更重要的是比較深刻地明白了“為什么”的問題，讓算理融入算法之中，由多種算理中歸納出一種簡潔的算法。

1.從算理中歸納計算順序

為什么用豎式計算時，加法、減法、乘法是從低位開始，而豎式除法從高位開始？口算的順序與豎式計算又有什么不同？四則混合運算中，為什么先算括號內，再算括號外？為什么先算乘除，后算加減呢？……這一系列問題，都需要從算理入手，結合具體的生活情境，在問題解決的過程中，明確計算的順序。

2.從算理中抽象算法

（1）從多種方法中優化算法。計算方法看起來簡潔、用起來簡化、說起來簡單，因此教師需要引導學生在解決問題后及時歸納、總結算法，這樣才能有效地提升問題解決的能力，促進思維的發展。例如：小數除法中，學生計算14.7÷7，呈現了以下三種方法：

學生觀察、對比這三種算法后發現：除計算結果相同外，它們都將小數除法轉化為整數計算，再借助小數的意義，將結果轉化成小數。歸納的算法如下：小數除法中除數是整數時，先按整數除法的法則計算，最后商的小數點要對齊被除數的小數點。三種方法對比、歸納、推理出小數除法的計算法則，不僅能提高他們解決問題的效率，還能促進思維的發展。

（2）從過程中概括計算的法則。計算分數乘整數時，將乘法轉化為加法，理解算理;在轉化的過程中，抽象出算法。如從過程：×3=++=

==中，得到×3=。在此過程中，學生從中可以發現，分數乘法其實就是同分母分數相加的簡便計算，從而得出分數乘整數的計算法：分母不變，分子乘整數作積的分子。

在問題情境中理解運算定律、運算性質，建立常見計算模型。加法（乘法）交換律與結合律、乘法分配律、商不變性質、積不變性質等，均需要在解決生活情境問題中建立運算模型。如“三套衣服，上衣300元，褲子200元，一共多少元？”在解決此問題中抽象出乘法分配律：（上衣300元+褲子200元）×3套=上衣300元×3+褲子200元×3。

四、問題延伸，拓展算模，靈活思維

解決了“用什么”“為什么”“怎樣做”等三個問題，并不意味著問題解決已經結束，計算教學任務完成，還需要進一步拓展問題，思考“還可以怎樣做”“用這些方法還能解決哪些類似問題”“計算的方法還能解決哪些非計算類的問題”等，深入分析算理，拓展算法。知識的獲得是學生思維碰撞的結果，是學生智慧的結晶，因此要讓學生不再陷入個人教條或自己信念的泥沼中，不要落入非此即彼的陷阱;而應將同類問題延伸，不同類問題建立聯系，創設能讓學生產生認知沖突的問題，以激發思維的靈活性。

1.一題多解，同中求異，多模固本

學生在解決問題的認知沖突中，可以引發他們思維的矛盾——同中求異。結果相同，而過程不同，通過思考形成數學思想，發展數學本質性思維。在疑問中學生會追根溯源的想法，能打破那些阻礙自己的習慣思考，突破思維上不合理的定勢，使思想不再保守，在思維碰撞中不斷獲得新的靈感。

例如用多種簡便方法計算9.6×2.5。學生呈現了以下兩種計算方法：

由于學生的認知及思維水平不同，思考簡算的方法也不一樣。學生通過觀察、對比發現，方法二可以使計算更準確、更簡便。通過問題的延伸讓學生的思維產生了認知沖突：這兩種方法的異同是什么？為什么第二種方法更簡便？……在追問中，進一步思考簡便計算的根本在運用規律“簡”化算法。

2.此問題到彼問題，異中求同，“模”而無“模”

計算，不是機械的、簡單的、程式化的練習，而需要深入思考，由此及彼，不受某種方法、模型、框架的限制，能將不同類的事物建立起聯系，發展結構性思維，形成數學思想。一是同一算式解決多個問題。根據算式編寫不同的應用題，或以一個算式解決多種問題。如用13-7這個算式，可以解決“多多少”“少多少”“余下多少”“還差多少”等問題。二是同一算法解決多個問題。學了整數加減法數位對齊的法則后，同樣用于乘法、除法等，建立聯系或轉化的數學思想。三是算法靈活而合理跨界。除法豎式，同樣也可以先從低位除，從“少”的開始分，不夠分時從“多”的借來分;交叉相乘法，同樣可用于異分母加法等。如此就可以培養數感，發展類比的思想，從有序計算，發展到有序思考，由計算方法發展到數學思想。

拓展計算模型有助于提高學生的計算能力、問題解決能力，促進邏輯思維能力的發展。正確的計算方法，是得到正確答案的路徑，計算中蘊含的數學思想才是靈魂，沒有思想的方法僅是呆板的工具，蘊含思想的方法才具有強大生命力。

教學中創設符合學生認知及身心發展的活動，讓學生愛學、會學，在掌握計算方法、明晰算理的同時，還鍛煉了學生思維、啟迪了學生智慧。計算教學屬于解決數學問題的教學，將計算教學恰當地置于生活問題的大情境之中，沿著提出問題、分析問題、解決問題之路，著力探究“用什么 ”“為什么”“怎樣”“還可以怎樣”等系列問題，幫助學生掌握問題解決策略，提高學生思維能力，發展學生數學思想。

參考文獻

[1] 吳潔瑩，徐章韜.面向未來的核心素養：從運算能力到計算思維[J].湖南教育（A），2017（05）.

[2] 吳正憲，張秋爽，李惠玲.和吳老師一起讀數學新課標[M].北京：教育科學出版社，2013.

[責任編輯：陳國慶]