“三會”視角下“二次函數與一元二次方程（1）”教學實錄及評析

許翠莉 王師森 于彬

[摘? 要] 以“二次函數與一元二次方程（1）”為例，詳細介紹其教學實錄和評析，并給出了“三會”視角下課例設計的三點思考.

[關鍵詞] 二次函數;一元二次方程;三會

近日，在我校數學組組織的“一課三磨，定向引領，促進青年教師專業成長”活動中，筆者有幸被選為提升對象，執教魯教版“二次函數與一元二次方程（1）”一課，得到聽課同仁們的一致好評. 這節課是魯教版九年級上冊第三章第七節的第一課時，更加注重以“問題串”的形式引導學生利用二次函數解決方程問題，特別是現實生活中的實際問題，因此本節課是培育學生抽象、推理、模型等數學思想的良好載體. 下面以教學實錄的形式進行簡單介紹，并給出幾點思考. 不當之處，敬請指正.

課堂實錄及設計意圖

1. 情境引入，疑點反思

師：同學們，學習了物理，我們知道，由于萬有引力，在地球上向上拋出物體，它們的運動軌跡是……（教師留白）

生（眾）：拋物線.

師：下面我們就來看一實際問題：將一小球向上拋出，它離地面的高度與運動時間如圖1所示. 請同學們思考，經過多少秒小球落地？

生（眾）：8秒.

師：同學們很快給出了答案，那么，你是怎樣想到的？

生1：通過圖1可以看到，當它離地面0米時，用時是8秒.

師：這位同學通過看圖得到8秒，圖像與x軸有幾個交點？交點的坐標是什么？

生2：兩個，分別是（0，0），（8，0）.

師：我們由函數圖像，從圖形的角度進行了解答. 小明同學在思考的時候不小心將墨水灑到了圖上（如圖2所示），橫軸的數據看不清了，你還有其他方法幫助小明求解么？

生3：小球落地時，小球離地面的高度為0米，即h=0. 將h=0代入函數h= -5t2+40t，得到方程-5t2+40t=0，把方程的根求出來，得到8秒.

師：非常好. 剛才這位同學讓h=0，把函數轉化成了方程，這是一個什么方程？

生（眾）：一元二次方程.

師：嗯，這里我們通過求方程的根，從代數的角度進行了解答. 這節課我們就一起來探究“二次函數與一元二次方程的關系”（板書課題并出示學習目標）.

師：說到一元二次方程，下面我們先來復習一下基礎知識. 一元二次方程的一般形式是什么？它的根是怎樣的？

生4：一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）. （若回答的是y=ax2+bx+c，教師糾正）

生5：一元二次方程的根有三種情況：兩個不相等的實數根，兩個相等的實數根，無實數根.

師：嗯，如何判斷一元二次方程根的情況呢？

生6：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0.

師：同學們的基礎知識掌握得很牢固. 我們再回過頭來看一下函數的圖像，除了與x軸有兩個交點外，還有一個點非常重要，這個點是什么？它的坐標是什么？

生（眾）：頂點，坐標是（4，80）.

師：嗯.

評析? 以學生熟知的拋球情境引入新課，很好地激發了學生學習的積極性和求知欲. 教師引導學生觀察圖像時，通過不斷地追問，引導學生有方向地思考，培養學生嚴密性思維和邏輯推理能力. 學生利用已有的知識能夠根據圖像快速得出答案，此時教師趁熱打鐵，抓住學生思維的生長點，創設墨水污漬情境，給學生制造困難，倒逼學生發散思維，再次進行思考. 學生不能通過圖像得到答案，求知欲與成功欲促使其不得不去想其他方法. 由于學生已經具備了一元二次方程的知識，經過教師這一“逼迫”，能夠想到將函數轉化成方程求解. 學生經歷了用函數與方程思想解決同一問題之后，教師向學生出示了本節課的課題，增強了學生的學習興趣，讓學生深深地感受到利用數學知識能更好地解決現實生活中的實際問題. 此外，引導學生回顧了一元二次方程的基礎知識，為突破本節課的重難點做好了鋪墊.

2. 新知探究，問題反思

師：接下來，我們就通過特例研究二次函數與一元二次方程之間有怎樣的關系. 我們先來看函數y=x2+2x （如圖3所示），觀察其圖像. 該函數圖像與x軸有幾個交點？交點的坐標是什么？

生7：函數圖像與x軸有兩個交點，分別是（0，0），（-2，0）.

師：很好. 那我們繼續思考：利用交點的坐標，你能說出當x取何值時，y=0嗎？

生8：x=0或x=-2.

師：當y=0時，y=x2+2x變成了什么？

生9：一元一次方程x2+2x=0.

師：很棒. 不用計算，請同學們直接說出這個方程的根.

生（眾）：x1=0，x2=-2.

師：體會上面的幾個問題，我們來總結一下拋物線與x軸交點的坐標與方程的根有什么關系.

生10：（0，0），（-2，0）;x1=0，x2=-2. 交點的橫坐標等于方程的根.

生11：交點的橫坐標等于方程的根. （重復了一遍）

師：非常好，同學們齊心協力，準確簡練地做出了總結：函數y=x2+2x與x軸有兩個交點，對應方程x2+2x=0有兩個不相等的實數根. 判別式呢？

生（眾）：b2-4ac>0.

師：嗯. 拋物線與x軸的交點，除了有兩個外，還有哪些情況？

生（眾）：一個交點或沒有交點.

師：很好. 下面我們先看“一個交點”的情況，以函數y=x2+2x+1的圖像（如圖4所示）為例，同桌兩人相互說說屏幕上的三個問題（略），并類比“兩個交點”的情況后進行總結（同桌交流，教師巡視，時間2分鐘）. 下面請同桌的一位同學回答問題，另一位同學進行總結，同桌兩人可以相互補充糾正.

生12：圖像與x軸有一個交點，坐標是（-1，0）.

生13：當函數y=x2+2x+1與x軸有一個交點時，方程x2+2x+1=0有兩個相等的實數根，b2-4ac=0.

師：這兩位同學配合得很默契. 最后，我們再來看一下函數y=x2+2x+2的圖像. （如圖5所示）

生14：圖像與x軸沒有交點，方程x2+2x+2=0無實數根，b2-4ac<0.

生15：當函數y=x2+2x+2與x軸沒有交點時，方程x2+2x+2=0沒有實數根，b2-4ac<0.

師：嗯，以上三種情況是拋物線開口向上時，請同學們思考：當拋物線開口向下時，以上結論還成立嗎？（如圖6所示）

生（眾）：成立.

評析? 此環節是本節課教學的重難點，教師設計了三個特殊的例子，以“問題串”的形式引導學生層層深入思考，學生經歷了過程探究、問題思考之后有所感悟，教師再引導學生總結. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程. ”這樣的設計充分體現了“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”. 對于第一個函數y=x2+2x，教師引導得較細，目的在于引導學生學會探究性學習;有了第一個函數作為基礎，針對第二個函數、第三個函數，教師就完全放手了，讓學生能夠類比學習，自己歸納總結第二種、第三種情況;以上三個特例是拋物線開口向上的情況，教師以問題的形式引導學生思考拋物線開口向下的情況. 多角度、全方位地思考，由特殊到一般，總結出規律，避免了以偏概全，體現了數學思維的嚴密性和嚴謹性.

3. 歸納總結，達成反思

師：因此，我們總結出二次函數與一元二次方程的關系，（交點）三種情況分成幾類？哪幾類？

生16：兩類，有交點和無交點.

師：方程的根呢？

生17：有實數根和沒有實數根.

師：所以，當拋物線與x軸有交點時，方程有實數根，b2-4ac≥0. 那么，同學們能用一句話說清交點的坐標與方程的根的關系嗎？（以小組為單位，展開討論）

生（眾）：交點的橫坐標是方程的根.

師：同學們討論的結果非常正確. 給大家一點時間，對照PPT，將學案上的“歸納總結”補充完整（在師生互動、生生互動中，PPT漸次呈現，如圖7所示）. 同學們掌握了嗎？下面我們通過例題和練習題試一試（略）.

評析? 此環節的教學主要是將本節課的重點系統化，幫助學生建立知識體系，形成知識框架. 有了理論支撐，教師設計了例題和練習題，讓學生在練習的過程中體會知識的應用，鞏固新知.

4. 解決問題，反思方法

師：最后，我們再來看看課堂開始給出的實際問題（如圖8所示），繼續思考，小球何時離地面的高度為60米？

生（眾）：2秒或6秒.

師：你能得到哪個方程？

生（眾）：-5t2+40t=60.

師：什么時候小球離地面的高度會達到80米？

生（眾）：4秒.

師：你又能得到哪個方程？

生（眾）：-5t2+40t=80.

師：小球離地面的高度能達到90米嗎？為什么？

生18：不能！因為函數圖像與直線h=90沒有交點.

師：非常棒.

評析? 學生在前面已經系統化學習了二次函數y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0之間的關系，能夠深入理解一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以看作是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=0的交點的橫坐標. 此環節再次回歸課堂開始給出的實際問題，引導學生用已學的知識回過頭來解決這個實際問題，讓學生感受到數學來源于生活又服務于生活. 此環節以問題的形式，對本節課的重難點進行適當延伸，引導學生更深層次地思考，為以后的進一步學習奠定基礎.

5. 達標檢測，總結反思

略.

總評

新課標修訂組組長史寧中教授指出：數學核心素養的培育要引導學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界（簡稱“三會”）. 下面從“三會”的角度對上述設計進行簡單評析.

1. 會用數學的眼光觀察世界

數學來源于生活又服務于生活. 上述課例從現實生活中的實際問題開始（此時y=0），引導學生用數學的眼光去觀察這個問題，進而將其抽象為“二次函數與一元二次方程”相關的數學問題，讓學生從“數”與“形”這兩個角度去思考問題，體現數學問題的層次性和多樣性. 后面通過回歸生活問題（此時y≠0），引導學生采用類似的方法解決上述問題. 整個過程體現了數形結合與類比等數學思想，教學中教師也應該有意識地滲透數學思維，特別要引導學生學會將生活問題（或其他問題）抽象為數學問題，進而發現問題和提出問題，實現“兩能”到“四能”的突破.

2. 會用數學的思維思考世界

數學是思維的體操，數學教學重在培養學生的思維. 在本節課的教學中，學生獲得數學問題之后，教師引導學生首先從前面已經熟悉的一元二次方程的角度去思考問題;然后引導學生自行嘗試從剛剛學習的二次函數的角度去解釋上述問題;隨后，在教師“腳手架”問題的引導下，讓學生自行將一元二次方程和二次函數組合在一起重新思考問題，進而獲得二者之間的關系. 順利解決上述特例（y=0）之后，教師放手讓學生獨立探索y≠0的情況，此時例題的拋物線的開口都是向上的，為了體現數學思維的嚴密性和嚴謹性，于是教師提出了問題：如果拋物線的開口向下，上述結論還成立嗎？這樣，通過一系列“問題串”的引導和學生的自主探究，學生經歷了上述問題完整的解答過程，提升了學生的思維水平，進而實現用數學的思維思考世界，獲得嚴密的、嚴謹的邏輯推理能力.

3. 會用數學的語言表達世界

在學生通過自主探究和小組合作獲得相關結論之后，能否用自己的語言（數學語言）表達出來至關重要. 因此，在本節課的教學中，教師首先讓學生用自己的語言表述所思所想，然后通過“個人說”“同桌說”“小組說”“全班說”等四個環節讓學生逐步完善所思所想，進而完成完整的解決過程. 這不僅培養了學生的表達能力，而且為后續相關內容的學習奠定了堅實的基礎.