在概念的自主建構中深層理解意義

潘珍珍

[摘? 要] 數學教學是通過建構概念來引領學生跨進數學王國的大門的，但是由于概念比較抽象，小學生又以形象思維見長，因此，概念的建構與小學生的學習思維有所沖突。基于此，在教學中，教師可以通過初步探究，認識概念外延;探尋變化規律，揭示概念內涵;建構數學模型，凸顯概念要素;借助數形結合，促進深層理解等環節來促進學生的學習，讓學生自主建構概念，更加深入地理解概念的意義，學好數學知識。

[關鍵詞] 正比例;概念;理解意義

數學教學是通過建構概念來引領學生跨進數學王國的大門的，但是由于概念比較抽象，小學生又以形象思維見長，概念的建構與小學生的學習思維有所沖突，因此數學概念的建構有賴于學生的感性認識，如何才能讓小學生自主建構概念呢？筆者經過多年實踐，發現只有引導學生聚焦概念特征，呈現出知識發生、發展的過程，才能使學生更好地自主建構概念，主動探究概念的深層意義，運用概念靈活解決實際問題。下面筆者以人教版六年級下冊的“正比例意義”教學為例進行分析和探討。

一、初步探究，認識概念外延

自主建構概念，就是要讓學生自主地理解概念的外延和內涵。概念的外延是指此概念所適用的范圍，概念的內涵是指此概念所反映事物的特有屬性。建構“正比例關系”的概念時，憑借教材提供的有效材料，教師引領學生通過判斷、思考，首先認識概念的外延。

[教學片段] （出示《賣彩帶》場景圖以及表格）

師：請同學們認真觀察表格，說說表格中有哪兩種量。

生：表格中有銷售的數量和總價。

師：這兩種量之間存在什么關系呢？

生：銷售的數量發生變化時，總價就隨之發生變化。

師：是的，總價隨著銷售數量的變化而變化，我們把這樣的兩種量叫作兩種相關聯的量。（板書：兩種相關聯的量）。

師：那總價是怎樣隨著數量的變化而變化的呢？

生：從左往右看，銷售的數量增加，總價就隨著增加;從右往左看，銷售的數量減少，總價也就隨著減少。

師：通過觀察可以知道這兩個相關聯的量中，其中一種量變化，另一種量也會隨著變化。在現實生活中，我們經常遇到兩種相關聯的量的變化情況，你還能舉出一些這樣的例子嗎？

生1：正方形的邊長越長，周長越大;正方形的邊長越小，周長就越小。

生2：我們在排隊的時候，排的排數越多，每排人數就越少;排的排數越少，每排人數就越多。

生3：我家離奶奶家近，我走到奶奶家所花的時間就短;我家離外婆家遠，我走到外婆家所花的時間就長。

生4：我長大一歲，身高就會增長，體重也會增加。

這一教學環節中，教師通過實例讓學生理清正比例關系的外延——“總價”與“數量”是兩個相關聯的量，并了解到兩個相關聯的量之間會存在著一些變化情況?！白兓牧恐g的關系”就是正比例關系概念的外延，學生厘清這個知識點以后就為建構正比例關系的概念掃清了障礙。

二、探尋變化規律，揭示概念內涵

在學生對“兩個相關聯的量”的特征有了正確的認識以后，教師要進一步引導學生探尋“總價為什么會隨著銷售數量的增加而增加”的變化規律，將學生的思維繼續延伸下去，通過計算總價與數量的比值來觀察算式，提煉出這兩種量的共同變化規律，逐步揭示出正比例關系概念的內涵。

[教學片段]

師：請同學們再仔細觀察表格，說說你還有什么新發現。

生：我發現彩帶的單價沒有變化。

師：真是個善于觀察的孩子。彩帶單價是怎么求到的？

生：總價除以數量等于單價。

師：“除以”我們可以用比的形式表示嗎？

生：可以。

師：觀察這條比例等式，你們發現了什么？

生：我發現這兩種量的比值都是3.5，也就是相對應的兩個量的比值不變。

師：這里的比值是3.5，實際上就是彩帶的單價，這個單價一直保持不變。我們能不能把“不變”換成另外一個詞來表示？

生1：可以換成“一定”。

師：（手指板書）總價和數量是兩種相關聯的量，總價變化，數量也隨著變化，當總價和數量相對應的比的比值總是一定，也就是單價一定時，那我們就說總價和數量是成正比例的量，他們的關系叫正比例關系。

這一教學環節中，教師讓學生分析具體事例，幫助學生建立一一對應的觀念，讓學生在交流中發現規律，計算比值后探尋出兩個變量后面隱含著的不變量，從而明確了正比例關系的內涵特征——比值一定。從概念的外延推進到內涵的理解，幫助學生較快地掌握了正比例關系的含義。

三、建構數學模型，凸顯概念要素

建構正比例關系的概念只憑一個例子，效果顯然不會很明顯。這時，教師還可以根據學生的學習情況，結合其他實例讓學生辨別兩個相關的量之間是否符合正比例關系，從而進一步明確正比例關系的判斷要素，然后引導學生脫離情境，抽象概括出正比例的意義，建構數學模型，實現由具體數量關系到抽象模型的轉化，這時就會有很明顯的效果。

[教學片段]

師：剛才在學習兩種相關聯的量的時候，大家列舉了一些生活中的事例，我們一起去看看這些關聯的量是不是正比例關系。

生2：我們排隊的時候，排數和每排人數不成正比例關系，因為每排人數×排數=總人數，這兩個量之間不是除法的關系。

生4：我長大一歲與身高和體重不成正比例關系，因為我每年生長的高度都不同，體重增長也不同。

師：從你們所舉的事例來看，判斷兩種相關聯的量是不是成正比例，必須符合哪些條件？

生5：判斷要素主要有三個——兩個量是相關聯的量，必須是變化方向一致，比值一定。

師：其中最主要的特征是哪一個？

生6：比值一定。

師：你能說說為什么嗎？

生7：只要比值一定，其他兩個條件也就符合要求。

師：如果用x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子表示？

這一教學環節中，教師讓學生掌握了正比例關系中的“相關聯的兩個量”“變化”“比值”“一定”等要素的含義，并從中抽象出正比例數量的關系模型。這一教學過程，通過分析生活中常見的學習素材，把相關的知識縱向聯系起來，對比思考其表征關系，從“變化”中發現了“不變”，讓學生經歷建構正比例關系概念的整個過程，概念的核心要素也就深深地留在學生的腦海中。

四、借助數形結合，促進深層理解

把抽象的數量關系與直觀的幾何圖形相結合，這對于形象思維占優勢的小學生來說無疑是一個最好的學習手段了。“數”與“形”合一，可以有效促進學生的學習思維從表層向深層躍進。

[教學片段] （多媒體出示彩帶銷售數量與總價的表格）

師：銷售數量與總價這兩個量，除了可以用表格表示以外，還可以用圖象來表示。從圖象中你讀懂了什么？

生1：橫軸表示數量，縱軸表示總價。

師：將表格中每兩個相對應的量看作一個數對，如（1，3.5）對應的位置在哪里？你能將表格中的其他數對一一表示出來嗎？

（請學生動手在書上畫一畫，再把這些點連起來，然后上臺展示。）

師：這些點連起來成為什么？

生2：線段。

師：那要是把表格中省略號里表示的數對標出來，這條線段會向哪一端延伸？

生3：（0，0）是起點，只能向右上方無限延伸，這條線應該是射線。

師：正比例圖象就是一條從（0，0）出發的無限延伸的射線。

師：縱軸上表示的總價和橫軸上表示的數量是兩種相關的量，那么總價是如何隨著數量的變化而變化的呢？

生4：數量在增加，總價也在增加。

生5：這兩個量變化的方向也是一致的。

師：再觀察這條線上所有的點所對應的兩個量，你有什么發現嗎？

生6：我發現縱軸和橫軸的兩個量的比值都相等。

這一教學環節中，教師緊緊抓住正比例關系的本質特征，將表格轉化為函數圖像，把正比例中一一對應的函數思想直觀建構在學生的腦海中，使原本抽象的數學知識變得直觀形象、淺顯易懂;學生“感性”地掌握了正比例關系的特征，對正比例關系概念的理解也變得更加豐滿和深刻。

數學概念是學生學習數學知識的重要依托，讓學生經歷思辨過程，自主建構概念，有利于學生提高數學學習能力。教師在設計教學環節時，不僅要在揭示概念本質的特征上下功夫，還要高屋建瓴，從數學思想方面引領學生自主建構概念，促使學生更加深入地理解概念的意義，學好數學知識。

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