新課程理念下抽象素養立意的初中數學概念教學

于美

[摘? 要] 數學概念不僅是數學思維的核心，還是數學抽象的源泉. 在概念教學中培養學生的數學抽象素養，意義重大. 基于此，文章以“反比例函數”的教學過程為例，進行新課程理念下數學抽象素養立意的概念教學嘗試.

[關鍵詞] 數學抽象;概念教學;反比例函數

近年來，核心素養越來越受到人們的重視. 通過課堂教學落實核心素養，不僅能讓學生體驗到數學的價值和魅力，還能激發學生的求知欲，激活學生的數學思維. 數學概念獲得的過程是最典型的數學抽象過程，因此，在概念教學中培養抽象素養意義重大[1]. 在教學中，教師需盡可能地采用適當的教學策略，創設適切的問題情境，設計深刻的學習活動，凸顯概念的“再創造”過程，使學生理清概念的本質，生成數學抽象能力. 文章以“反比例函數”的教學過程為例，探討基于數學抽象能力培養的初中概念教學的基本策略.

課前思考

1. 確立教學目標

從學生認知規律和思維水平出發，這節課可確立如下教學目標：追溯概念的本源，經歷抽象出反比例函數的過程，深刻理解概念的本質，實現靈活運用，進一步發展抽象素養.

2. 抽象素養與本節課的關系

張建躍博士曾說：要想提升概念教學的水平，最根本的是把握概念形成過程的教學. 由此可見，數學抽象是貫穿概念探究的思維主線，教師應選取典型生活實例，讓學生經歷完整的抽象過程，從而促進反比例函數概念的生成.

教學過程

1. 情境引入，感知函數

問題1：設花費10元購買的水果的價格是x元/斤，質量是y斤，那么y與x之間滿足怎樣的關系式？

問題2：已知橘子4.5元/斤，若購買n斤，該如何表示需要花費的錢數y（單位：元）？

問題3：王阿姨買水果已經花費了25元，她還想購買8元/斤的新鮮蘋果a斤，那么該如何表示總花費的錢數y與a之間的關系？

問題4：如果水果超市距離王阿姨家1000 m，那么該如何表示王阿姨從家到水果超市所用時間t（單位：s）與步行平均速度v（單位：m/s）之間的關系？

設計意圖 興趣是培養學生思維的動力，誘發探究欲望是引導學生主動參與的前提. 函數是對現實世界變化的刻畫，在這一環節，教師以趣引路，以學生的現實生活為出發點，設計貼合實際的問題串，剛好切合函數的本質特征，能為進一步探究反比例函數的概念奠定感性認識的基礎.

2. 類比探究，認識函數

問題1：觀察表達式y=，y=4.5n，y=8a+25，t=，并思考下面的問題.

（1）以上各表達式，變量有幾個？

（2）以上表達式中的變量之間有何聯系？試著說一說它們之間的聯系.

（3）我們通常通過哪類數學模型來研究變量之間的關系？

設計意圖 “問題1”借助類比辨析，使學生發現一次函數、正比例函數和反比例函數之間的共同點和不同點，既立足教材展現反比例函數的概念，促進學生的理解，又以問題為載體，培養學生的數學抽象能力. 這樣的教學效果比教師直接講解概念更好[2].

問題2：試著回憶一次函數的研究方法，并思考研究反比例函數該從哪些方面著手.

問題3：觀察并說一說以上反比例函數解析式（解析式此處略）的共同特征.

問題4：類比正比例函數的定義，試著給反比例函數下定義.

設計意圖 這里的問題串能引導學生進行類比、辨析、歸納和提煉等活動，能讓他們在再創造和再加工的過程中感受概念的產生和發展過程，從而對反比例函數有更深入的認識和理解. 此時，概念的雛形已在學生心中逐步完成.

3. 抽象辨析，深化理解

問題1：下列函數，是反比例函數的有______.

①xy=3;②y=;③y=x-1;④y=;⑤y=;⑥y=-.

問題2：若y=（m+2）x|m|-3是反比例函數，試求出m的值.

問題3：判斷一個函數是否為反比例函數，方法有哪些？反比例函數解析式的表達形式有哪些？

設計意圖 “問題1”旨在通過辨析和討論，讓學生鞏固和深化對概念的理解，并讓他們掌握反比例函數解析式的不同表達形式.

4. 學以致用，應用函數

問題1：在日常生活中，反比例函數應用廣泛，請試著列舉一些實例.

設計意圖 引導學生從生活經驗出發，鞏固并理解反比例函數的定義，讓學生在合作學習和探究討論中體會數學在生活中的應用.

問題2：當電壓是220 V時，試寫出電阻y（單位：Ω）關于電流x（單位：A）的函數關系式.

問題3：函數y=可以反映多個實際問題中變量之間的關系，你能否列舉一二？

設計意圖 這些問題讓學生去列舉、去闡釋、去互動，能達到內化概念的目的. 這樣一來，既豐富了學生的數學基本活動經驗，又讓他們感受到了同一函數的不同應用，能很好地滲透建模數學思想. 另外，這些問題還能培養學生的數學抽象和直觀想象等數學核心素養，以及語言表達和合作交流等關鍵性能力.

5. 嘗試應用，強化認識

問題1：如圖1，杠桿平衡，已知阻力是1000 N，阻力臂長5 cm，設動力為y（單位：N），動力臂長x（單位：cm），且圖1中杠桿本身受力忽略不計. （提示：杠桿平衡時，阻力×阻力臂=動力×動力臂）

（1）試寫出y關于x的函數關系式，并思考這個函數是否為反比例函數. 若是反比例函數，請寫出比例系數;若不是，請說明理由.

（2）試求出當x=50時y的值，并闡釋該值的實際意義;試求出當x=100時y的值，并闡釋該值的實際意義;當x=150時呢？當x=200時呢？

（3）根據函數解析式，說一說當動力臂的長擴大至原來的n（n>1）倍時，所需的動力如何變化.

問題2：試著說一說解決實際問題的基本流程.

設計意圖 ? “問題1”重在概念的應用，各小題環環相扣，聚焦了一節課的學習內容. “問題2”通過反思解決問題的基本流程，不僅能讓學生掌握解決問題的方法，還能加深他們對數學的理解.

6. 暢談收獲，回顧函數

問題：在學習反比例函數知識的過程中，我們運用了哪些思想方法？你們還有哪些困惑，哪些感悟？

設計意圖 單一、零散的知識點不利于學生新知的建構. 教師通過引領學生回顧概念的產生過程，并提煉一節課的知識點，讓學生再一次梳理本節課的知識點，能培養學生的反思習慣. 同時，“問題”的重點是讓學生暢談數學思想方法方面的收獲，以讓他們提升對數學思想方法的理性認識，從而落實教學目標.

教學思考

1. 在現實生活中準確切入，孕育抽象能力

生活中的感性素材是孕育數學抽象的載體，因此聯系生活，設計切合實際的探究背景，可以直擊學生的抽象思維能力. 本課中，教師選取學生生活中十分熟悉的購買水果這一實例進行引入，引導學生充分感知生活中蘊含的函數知識，通過聯想和對比，準確得出反比例函數的概念，這符合學生的認知規律和抽象思維特征.

2. 在類比、辨析中充分體驗，發展抽象能力

數學知識的完整性使得數學結論之間具有一定的相關性. 而這些相關性可以作為教師課堂教學的著力點. 采用類比、聯想和辨析的方法，能讓學生自主探究和發現新結論或新方法. 在本課的教學中，教師還讓學生根據一次函數的研究思路，類比研究反比例函數. 學生通過一系列的探究活動，不僅挖掘了自身的潛能，激發了學習興趣，還發展了數學抽象能力，并在充分的體驗中享受了成功的喜悅，為之后的創造性學習奠定了良好的基礎.

3. 在提煉、概括中螺旋上升，提升抽象能力

概念的概括與提煉需要通過對研究對象的一般性概括來生成共同屬性. 數學抽象的過程需要以問題為載體，引導學生進行一系列抽象思維活動，最終歸納并提煉出共同屬性，實現深度學習. 本課中，針對反比例函數的特質，教師出示問題讓學生獨立思考、自主探究和合作交流，在生生互動和教師的點撥下進行提煉與概括，讓學生明晰概念的本質屬性. 值得一提的是，概念提煉時機的把握十分重要，否則，學生不能以發現者的角色提煉出反比例函數的根本屬性，有時甚至還會影響學生對概念的理解.

總之，高度抽象是數學的主要特征，新課程理念下的概念教學應著力于學生對概念本質屬性的抽象，以及對學生抽象能力的培養. 概念教學的探究之路需要一線數學教師持之以恒地延續下去，這樣才能真正意義上實現素養教育[3].

參考文獻：

[1]李祎，曹益華. 概念的本質與定義方式探究[J]. 數學教育學報，2013，22（6）.

[2]邵光華，章建躍. 數學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程·教材·教法，2009，7（7）.

[3]匡繼昌. 如何理解和掌握數學概念的教學實踐與研究[J]. 數學教育學報，2013，22（6）.

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