落球法測定液體粘滯系數的實驗修正探討

2021-03-21 06:40:51羅鈞洋韋帥兵李晨浩陳余行

科技創新導報 2021年29期

羅鈞洋韋帥兵李晨浩陳余行

摘? 要：利用落球法來測量出不同直徑金屬小球在蓖麻油中勻速運動一段距離所需的時間及速度，從而計算出蓖麻油的粘滯系數，并通過測定的粘滯系數計算得到雷諾數Re，進而對蓖麻油的粘滯系數分別進行一級修正和二級修正，并將修正結果進行分析比較，找到最適合實驗教學的數據改進處理方法，并進一步分析探討了雷諾數與小球直徑的關系。

關鍵詞：落球法? 蓖麻油?? 雷諾數?? 修正? 粘滯系數

Discussion on Experimental Correction of Measuring Liquid Viscosity Coefficient by Falling Ball Method

LUO Junyang? WEI Shuaibing ?LI Chenhao ?CHEN Yuhang

（School of Mathematics and Statistics， Shanghai University of Engineering and Science， Shanghai， 201620 China）

Abstract： Falling ball method is used to measure the time and speed required for small metal balls with different diameters to move at a uniform speed for a certain distance in castor oil， so as to calculate the viscosity coefficient of castor oil， calculate the Reynolds number re through the measured viscosity coefficient. The Reynolds number Re is calculated through the measured viscosity coefficient， and then the viscosity coefficient of castor oil is corrected at the first level and the second level respectively. The correction results are analyzed and compared to find the most suitable data improvement processing method for experimental teaching， and the relationship between Reynolds number and small ball diameter is further analyzed and discussed.

Key Words： Falling ball method; Castor oil; Reynolds number; Correction; Viscous coefficient

粘滯性是流體的一種重要的物理屬性，物理學中用粘滯系數來表示其大小，粘滯系數在生產、生活及工程技術等各個方面都有著重要的應用。測量液體粘滯系數的方法較多，如落球法、轉筒法、毛細管法等，其中落球法是最常用的一種方法，該方法具有物理現象明顯，概念清晰，原理簡單易說明，實驗操作便捷等優點，因此，落球法測液體粘滯系數實驗在理工科高校中基礎物理實驗課程被普遍開設。在該實驗中，學生可以通過觀察液體的內摩擦現象，掌握液體粘滯系數的測量方法并了解流體粘滯系數的測量在現實生產生活應用中的重要意義^[1-3]。然而，由于現實條件與實驗原理要求的理想條件有較大差距，導致簡單的落球法測量結果往往有較大誤差，因此，課程中有必要對實驗結果進行一定的修正^[4-10]，且這種修正必須原理清晰，操作上簡潔易行，不至于影響實驗課程的順利進行。

本文利用落球法測量多個尺寸金屬小球在蓖麻油中勻速下落相同距離所需時間及速度，計算出蓖麻油的粘滯系數，利用其粘滯系數計算雷諾數，利用雷諾數對粘滯系數分別進行一級和二級修正，旨在找到最適合實驗課程的的數據處理方法，使學生能夠在課堂上掌握液體粘滯系數的測量方法的基礎上，可以進一步了解雷諾數和斯托克斯公式的修正。

1實驗原理

3個力：小球所受浮力F = ρgV（V為小球體積，ρ為液體密度）、小球重力 G = mg（m 為小球質量）和粘滯阻力 F。若小球在蓖麻油中運動速度和球的半徑都很小，且蓖麻油是無限廣闊的，則粘滯阻力可由斯托克斯公式導出：

F = 6πηvr （1）

式中，v是小球的下落速度，r 為小球的半徑，η為液體的粘滯系數，單位是Pa·s。

開始時由于小球下落速度較小，因此粘滯力不大，小球加速運動，其運動速度不斷增大，粘滯力也隨之增大。在某一時刻，小球所受浮力、粘滯力與重力達到平衡，即：

mg = ρgV + 6πηvr （2）

于是小球開始勻速運動。勻速運動時，小球的運動速度 v 可以由其運動距離L和運動所需時間t得出，代入上式可得：

由于實驗時蓖麻油處于量筒中，故不能滿足斯托克斯公式所要求的液體無限廣闊的條件，因而應將小球運動速度修正為：

式中，η'表示考慮到此種修正后的粘滯系數。因此，在各力平衡并修正液體邊界影響后可得：

2 實驗過程

2.1 實驗器材

實驗架、水平儀、量筒、秒表、蓖麻油、鋼球導管、溫度計、直徑分別為1mm、1.5mm、2mm、2.5mm、3mm、3.5mm的小鋼球。

2.2實驗步驟

（1）利用水平儀，調整實驗架至底盤水平，在實驗架底盤的中央位置放置盛有蓖麻油的量筒。

（2）選取各同直徑的小球，通過實驗架上方的鋼球導管釋放，當小球落入蓖麻油開始勻速下落之后選取一定距離，記錄所需時間，計算出小球勻速下落時的運動速度。

（3）根據小球勻速下落時的運動速度計算蓖麻油的粘滯系數及雷諾數，分別進行一級修正和二級修正，并進行分析。

3實驗數據分析

實驗中各參數：溫度 T=25.0℃，蓖麻油密度 ρ= 960kg/m?，小鋼球 ρ'=7800kg/m?，重力加速度 g= 9.7964m/s?，實驗中小球勻速運動距離L=198mm，液體整體高度 h=322mm，蓖麻油粘滯系數標準值 η0= 0.6418Pa·s，容器半徑 R=32.02mm。實驗數據及計算結果見表1。

（1）當金屬小球直徑增加時，各級修正誤差百分比均呈現下降趨勢，分析可知，當金屬小球較小時，小球勻速運動速度較小，計算可知雷諾數也較小，因此修正效果較弱，可知此時誤差較大;當小球直徑增大時，小球速度也隨之增大，導致雷諾數增大，因此修正效果較強，因此誤差較小。

（2）對比修正后與未修正的誤差百分比發現，一級修正和二級修正后的粘滯系數與標準值的誤差百分比相比未修正時都變得更小了，這說明修正之后的粘滯系數更加精確。

（3）對比一級修正和二級修正之后發現，在實驗條件下，二級修正后的粘滯系數與標準值的誤差百分比與一級修正相比差別并不明顯，但計算過程明顯更加復雜，計算量也更大，因此在基礎實驗課程中進行二級修正的必要性不大。

根據以上分析可知，選取一級修正η1 '，誤差百分比較小且實驗數據分析也較為簡明清晰，在一級修正下，計算出雷諾數Re，并可以繪制雷諾數與小球直徑的關系圖，如圖1所示。

由圖1可以看出，在粘滯系數不變的情況下，當小球直徑增大時，雷諾數也隨之增大，且增大速度加快。由Re的定義可知，Re ∝ （ d·v），由于r ? R，r ? h，因此由式（4）可知，v近似正比于小球直徑的平方，因此，Re 近似正比于小球直徑的三次方。對實驗數據進一步分析并加以數據擬合后可知，Re=0.0073d3 ，相關系數平方R2 =0.999 64，擬合準確度較高。

4結語

實驗中通過探究一級修正及二級修正對粘滯系數誤差的影響，我們可以得出以下結論：

（1）小球直徑越小，小球勻速運動速度越小，此時雷諾數相對較小，導致修正效果較弱，可知此時誤差越大;隨著小球直徑增大，勻速運動速度也越大，此時雷諾數相對較大，此時修正效果明顯增強，因此誤差較小;

（2）在進行數據處理時，對容器壁進行修正之后，再對雷諾數進行一級修正之后可以得到更精確的粘滯系數，而二級修正之后的粘滯系數誤差百分比相對于一級修正并沒有明顯的改善，反而增加了數據處理的難度，因此在實際課堂實驗中無需采用二級修正;

（3）本次實驗通過數據擬合找到了小球直徑與雷諾數之間的經驗公式，可作為進一步拓展學生思維的學習任務，同時培養了學生的創新能力，有助于學生更好地理解實驗內容。