基于“問題串”的高中數學概念教學探究

雒甜 李瑩

[摘 ?要] 數學概念是整個數學知識結構的基礎，反映的是數學對象的本質屬性，在數學教學中占據著核心地位. 文章以“單位圓與任意角的正弦函數與余弦函數”為例，以層層遞進的“問題串”來組織教學過程，能有效地引導學生主動思考、積極求知，從而提高學生的數學學科核心素養.

[關鍵詞] 問題串;概念教學;任意角;正弦函數;余弦函數

數學概念教學是數學教學的重要組成部分，清晰的數學概念是學生思維發展的基礎，能幫助學生進一步推理、判斷[1]. 傳統的高中數學概念課常采用“一個定義，幾項注意”的方式灌輸概念，容易導致學生對數學概念“只知其然而不知其所以然”. “問題串”是指在教學過程中，教師將教材內容轉換為一連串層次鮮明、環環緊扣的問題，以引導學生主動思考，積極探索新知識，提高學生的數學核心素養[2]. 利用“問題串”組織教學過程，既能加強數學課堂的邏輯性，又能增加學生的求知欲，使學生更深刻地理解數學概念的內涵和外延. 下面以“單位圓與任意角的正弦函數與余弦函數”為例，談談高中數學概念課如何應用“問題串”組織教學.

教學分析

正弦函數和余弦函數是描述事物周期性的重要數學模型，是后續學習三角函數基本性質、公式推導、圖像變換、求值計算及正弦定理、余弦定理等內容的基礎. 本節課蘊含著數形結合、轉化與化歸等重要的數學思想和方法，深入挖掘這些思想和方法有助于培養和提升學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養.

本節課的授課對象為高一學生，學生在初中已經借助直角三角形學習過銳角三角函數，掌握了利用直角三角形的三邊長度計算直角三角形中銳角的正弦函數值和余弦函數值的方法;在高中必修一的學習中，學生已經了解了研究一類函數的基本過程，明確了任意角和弧度制的概念，具備學習和研究新函數的基礎知識的能力. 本節課的重點是任意角的正弦函數和余弦函數的定義及其應用，難點是理解三角函數是以實數為自變量的函數.

教學目標

數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[3]. 數學核心素養的培養離不開課堂教學，本節課設置了以下三個教學目標，旨在培養和提升學生的數學核心素養.

（1）掌握任意角的正弦函數、余弦函數的定義，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數并能應用，培養和提升學生的邏輯推理素養.

（2）會求正弦函數、余弦函數的定義域及函數值在各個象限的符號;對于給定角或角終邊上的點坐標，能計算出角的正弦函數值和余弦函數值，并能針對運算問題合理選擇運算方法，培養和提升學生的數學運算素養.

（3）經歷把實際問題抽象為數學問題的過程，培養和提升學生觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問題的能力，提升學生直觀想象和數學抽象兩個方面的數學核心素養.

教學過程設計

1. 創設情境，引入新知

情境導入：小明同學周末去游樂場坐摩天輪玩，如圖1所示，已知摩天輪的半徑為r，摩天輪繞其中心O逆時針旋轉.假設小明的起始位置在P處，隨著時間t的變化，小明的位置P也在不斷變化.

設計意圖：三角函數是刻畫現實世界中事物周期變化的重要模型，而坐摩天輪是生活中常見的周期運動，用學生了解和熟悉的運動情境導入新課比較自然，學生容易接受，能增加學生后續探究的興趣，也便于學生在后期把三角函數與周期運動聯系起來.

問題1：小明的位置P的變化具有什么特點？

問題2：我們該如何刻畫小明在每一瞬間的位置P呢？

設計意圖：問題1能引導學生回憶前面第一節學習的運動周期性，再一次感受周期運動的特點;問題2能引導學生將摩天輪抽象為圓，將小明抽象為點，培養學生的直觀想象和數學抽象素養. 如圖2所示，此時小明在摩天輪上的旋轉就可以抽象為點P在圓周上的運動，此時刻畫小明在摩天輪上的位置就轉化為刻畫點P在圓周上的位置，進而引導學生自然地引出平面直角坐標系，讓學生嘗試自己建立直角坐標系并體會直角坐標系的工具性價值.

問題3：除了用點P的坐標（x，y）來刻畫點P的具體位置，試想能否用（r，α）表示點P的位置？

設計意圖：學生很容易想到建立直角坐標系表示點P的坐標，但對于用旋轉角度和距離來刻畫點P的位置并不熟悉，也不容易想到. 此時教師可直接告訴學生，用點P與原點O的距離（即半徑r）和射線OP旋轉的角度α來刻畫點P的位置，可以將其表示為（r，α）（表示點P在以x軸非負半軸為始邊、逆時針旋轉角度為α的射線OP上，距離O點r個單位長度的位置）. 這也為學生后期學習極坐標埋下了伏筆.

2. 觀察探討，形成概念

問題4：這兩種刻畫點P位置的表示方法中，各個元素之間有什么聯系？

問題5：如果α是銳角呢？

設計意圖：首先，教師引導學生學會兩種刻畫點P位置的方法，很容易引到問題4，激發學生去探索兩種方法中x，y，r，α各自代表的含義及它們之間存在的聯系的興趣. 但這樣的問題容易讓學生產生茫然感，因此緊接著給出“α是銳角”的提示，能夠讓學生在探索的過程中有了抓手——從特殊的情況入手，再去探索一般的關系就容易多了. 其次，當α為銳角時，有利于學生回憶起初中所學的銳角三角函數的知識，以舊知識作為新知識的生長點，促進學生有意義的學習. 最后，引導學生了解銳角三角函數只是任意角三角函數的一種特殊情況，避免把任意角三角函數當成銳角三角函數的一般推廣.

問題6：當該直角三角形的三邊同時擴大或縮小相同的倍數時，如圖4所示，銳角α的正弦函數和余弦函數又該如何表示？和之前相比有什么變化？

設計意圖：利用相似三角形的性質，讓學生感受比的不變性，體會到三角函數值與直角三角形的邊長無關，而只與α的大小有關，建立自變量與應變量的聯系，加強對函數概念的理解.

問題7：當角α確定時，該角的正弦函數值和余弦函數值與點P在射線OP上的位置有無關系？

問題8：當r取何值時，上面的式子會變得更加簡單？

設計意圖：引導學生發現對于確定的角α，其正弦函數值和余弦函數值不會隨著點P位置的改變而改變，進而利用求簡意識引出單位圓的概念（將半徑等于單位長度的圓稱為單位圓，在平面直角坐標系中，通常表示圓心在（0，0），半徑為1的圓）. 從而引導學生得出對于確定的銳角α，當α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P（x，y）時，α，x，y之間可以建立函數關系：y=sinα，x=cosα.

3. 點撥指導，理解概念

問題9：當α為銳角時，x，y由α值唯一確定. 那么當α為任意角時，這個結論還成立嗎？

設計意圖：讓學生以銳角為基點，然后延伸到任意角的概念上，建立單位圓與任意角的正弦函數與余弦函數的關系. 用幾何畫板向學生演示角α的終邊分別在第二象限、第三象限、第四象限的圖像，使學生根據圖像觀察到，當角α的大小確定后，角α的終邊也就確定了，此時與單位圓的交點P的坐標也是唯一確定的，所以正弦函數、余弦函數都是以角為自變量，以與單位圓交點的縱坐標或橫坐標為因變量的函數. 明確給出正弦函數和余弦函數的定義，讓學生明白概念生成的過程及其合理性.

問題10：sinα，cosα分別表示的是角α與單位圓交點的縱坐標、橫坐標，那么在各個象限的值的正負都有什么特點？討論并完成表1.

設計意圖：通過練習1使學生運用概念，加深對概念的理解;通過練習2讓學生把握不同象限的角的三角函數值的正負特點，體會正弦函數值、余弦函數值與該角終邊與單位圓交點的橫坐標、縱坐標之間的關系;通過練習3讓學生思考并體會當給出的是終邊上的任意一點的坐標而并非與單位圓交點的坐標時，該如何求出該角的正弦函數值、余弦函數值，再次理解單位圓定義法與終邊定義法的區別與聯系，體會三角函數值只與自變量角α有關;最后，通過一道思考題引發學生對終邊關于x軸、y軸對稱的角的正弦函數值、余弦函數值關系的思考，并為后面即將學習的三角函數的周期性打下良好的基礎.

5. 歸納總結，提升素養

問題13：通過本節課，你掌握了哪些知識點？

預設：任意角正弦函數與余弦函數的定義（包括定義域和函數值在各象限的符號）.

問題14：你學到了哪些數學思想和方法？

預設：數形結合、轉化與化歸等.

問題15：本節課培養了哪些數學核心素養？

預設：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等.

6. 布置作業，拓展延伸

必做題：（1）完成練習冊的相關內容;

（2）已知角α的終邊經過點（2a+1，a-2），且cosα=-，則實數a=________.

選做題：若角α的終邊落在直線x+y=0上，求+的值.

設計意圖：幫助學生溫故知新、查缺補漏，幫助教師掌握學生的情況，同時檢測教學目標的完成進度，為后面知識內容的教學提供參考.其中“必做題”緊扣基礎，主要涉及數學抽象和數學運算素養;“選做題”對學生邏輯推理和數學運算素養的培育提出了更高的要求.通過練習，能使不同層次的學生均能有所收獲，提高數學核心素養和解決問題的水平，體現了因材施教的原則.

教學反思

張楚廷教授指出：“教學從根本上說，是思考著的教師引導著學生思考，又讓思考著的學生促進教師思考，而在這一過程中，問題是最好的營養劑.”[4]本節課首先由實例引出課題，體現了數學知識來源于實際生活;其次從學生“數學現實”出發，充分剖析學生已有的知識，貼近學生的思維實際，通過問題驅動，讓學生將自身的學習活動與問題相結合，使其可以在真實的教學情境中帶著問題學習，以探索問題的解決方法來驅動和維持學習的興趣與動機，讓學生在“問題串”的引導下感受數學概念的抽象過程.

參考文獻：

[1] ?黃文彬. 基于“問題導學”的高中數學概念課教學設計——以“任意角的三角函數”為例[J]. 中學數學研究，2018（09）.

[2] ?李祎，賈雪梅. 中學數學教學設計[M]. 北京：高等教育出版社，2016.

[3] ?中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4] ?張楚廷. 教師的四重奏——教學·學教·教問·問教[J]. 課程·教材·教法，2008（07）.