含黏彈性夾芯FG-GRC 后屈曲梁的低速沖擊響應1)

金其多 任毅如 胡絢 蔣宏勇

(湖南大學機械與運載工程學院,長沙 410082)

(湖南大學汽車車身先進設計與制造國家重點實驗室,長沙 410082)

引言

石墨烯增強復合材料(graphene reinforced composite,GRC)由于其輕質、高剛強度以及優異的電磁屏蔽性能而備受關注.據報道,添加0.1%的石墨烯,能使得石墨烯/環氧樹脂復合材料的彈性模量比基體環氧樹脂提高31%,而同樣劑量的單壁或多壁碳納米管/環氧樹脂復合材料則只有3%的提高[1-3].可見,石墨烯相比于一維納米材料有更顯著的增強作用.功能梯度材料(functionally graded materials,FGM)作為組份和性質連續變化的復合材料,常被設計用于多物理場耦合的復雜或極端環境[4].Shen 等[5]將功能梯度的概念引入了石墨烯增強復合材料,并發現X 型分布石墨烯增強復合材料往往具有最優的力學性能,從而可以充分利用石墨烯的增強作用.由此,功能梯度石墨烯增強復合材料(functionally graded graphene reinforced composite,FG-GRC)梁、板、殼結構的非線性靜、動力學的研究成為了當前的研究熱點[6-12].

由于后屈曲梁具有雙穩態特性以及穩定的后屈曲承載能力在低頻隔振器設計,機器人促動器、能量采集等多個領域具有應用潛力.藍春波和秦衛陽[13]提出了一類帶碰撞的磁斥力雙穩態壓電振動能量采集系統,使得系統在保持較大振幅的同時,出現更頻繁的雙阱跳躍運動,可以大幅提高俘能效率.Tang等[14]提出了一種具有可調節雙穩態機制的軟促動器,用于快速儲能/釋放.雙穩態可同時提高驅動速度和作用力,以實現高速運動.然而后屈曲結構對突加載荷、自身結構缺陷等因素十分敏感.在軸向預壓載荷的放大作用下,這些因素可能較大地影響結構動力響應,進而破壞結構原有的工作狀態.另一方面,復合材料對沖擊載荷也具有敏感性,在一定的接觸力下,結構容易出現難以觀測的內部損傷,使得材料性能劣化,結構剛度下降,振動幅值增大,造成局部應力過大引起的強度破壞.因此,在實際結構沖擊動剛度設計中,需要對接觸力以及結構沖擊動力響應特性進行精細計算和分析.

國內外學者對于FGM 和GRC 等先進復合材料的彈塑性接觸動力響應、沖擊損傷演化和應力波傳等問題作了豐富研究[15-21].然而后屈曲梁在受到沖擊載荷時,存在雙穩態間的動力跳躍震蕩等更為豐富的力學行為.當前關于FG-GRC 后屈曲梁在低速沖擊下的動力響應研究尚未有相關的報道.因此建立FG-GRC 后屈曲梁沖擊動力響應的有效理論模型和計算方法對于其工程設計和應用具有重要意義.

本文提出了考慮軸向預應力的材料本構模型,推導了含阻尼夾芯的FG-GRC 后屈曲梁在沖擊載荷作用下的動力學控制方程組.擴展了兩步攝動法,并結合四階龍格庫塔法獲得接觸力時程曲線以及梁和沖擊器位移時程曲線的半解析半數值解.研究了FGGRC 后屈曲梁在不同沖擊速度、軸壓載荷、沖擊器材料、黏彈性參數下的動力屈曲響應,以期為后屈曲梁的沖擊動剛度設計提供參考數據.

1 FG-GRC 夾芯梁的理論建模

1.1 夾芯梁的幾何建模

如圖1 所示,考慮一根長度為L,厚度為h,寬度為b的夾芯梁,考慮FG-V-Isotropic-FG-Λ 型石墨烯分布,面層為分層FG-GRC,芯層為各向同性黏彈性材料.

圖1 FG-GRC 后屈曲梁的結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of FG-GRC post-buckled beams

由于夾芯層和面層的剛度差異往往較大,在變形過程中,芯層與面層界面處剪應變不連續.然而經典的等效單層剪切梁模型[22]不能反映這樣的C0連續位移場.劉人懷和薛江紅[23]指出,相比單純提高位移場階數,鋸齒理論可以用較少的廣義位移數來獲得較高的精度而被廣泛用來分析層合結構的靜、動力性能.為同時滿足上下表面的剪應力邊界條件,采用了一種修正廣義高階剪切變形鋸齒理論(HSDZT)[24]

式中,u,w,?,η 為廣義位移,w?為后屈曲橫向撓度,f,g為高階形函數,定義為

φ 為鋸齒形函數,可表示為

式中下標fT 和fB 分別表示面層的上表面和下表面;下標cT 和cB 分別表示夾芯層的上表面和下表面.

值得注意的是,雖然面層的石墨烯是分層梯度分布,由于面板較薄,且各層剛度差異較小,因此面層層間的鋸齒效應可忽略不計.

基于大變形、小應變假設,可以得到考慮壓屈初撓度的幾何關系

1.2 材料細觀模型

采用擴展Halpin-Tsai 模型預測FG-GRC 第k層的楊氏模量和剪切模量[5]

式中,E和G分別表示楊氏模量和剪切模量,上標G和m 分別表示石墨烯和基體.aG,bG,hG分別表示石墨烯片的長度、寬度和有效厚度.VG,Vm分別表示石墨烯體積分數與基體體積分數,滿足Vm+VG=1.ηi(i=1,2,3)為考慮納米效應的修正因子.不同溫度下ηi的值以及(i,j=0,1,2)的表達可參見文獻[5].

由于溫度對GRCs 的密度和泊松比影響可忽略,可以用混合律來預測GRCs 的密度和泊松比

1.3 材料本構關系

由軸向預壓力產生的應變可以表示為

式中,?P為軸向壓力,為第k層的拉壓模量,可表示為

第k層的剪切模量可表示為

在平面彎曲假設下,與y方向相關的應力分量可忽略.考慮軸向預壓約束,可以得到FG-GRC 的本構關系

為了表征夾芯材料的阻尼特性,引入Kevin-Voigt黏彈性材料模型.考慮軸向預壓應變,其法向應力σxx和剪應力τzx可分別表示為

1.4 接觸模型

使用赫茲接觸定律[26]來預測沖擊器和FG-GRC夾芯梁的接觸力.在加載過程中,接觸力Fc可以表示為

式中wi表示沖擊器位移,wb表示梁接觸位置的橫向位移.對于復合材料層合靶,系數r可以取1.5.此外,Kc為接觸剛度,可表示為

其中Ei,μi和Ri分別是沖擊器的楊氏模量、泊松比和半徑.E33為采用分子動力學模擬得到的GRCS頂部表面的橫向楊氏模量[27].

在卸載過程中,接觸力可以表示為

式中,Fmax,αmax分別表示最大接觸力和對應的最大壓痕深度.不考慮塑性變形產生的永久壓痕,因此α0=0.

2 控制方程和求解

可以建立沖擊器的運動微分方程

式中上標i 表示為沖擊器.

沖擊器的初始條件設定為

在小應變的假設前提下,可以基于初始構型,利用Hamilton 變分原理獲得后屈曲梁在低速沖擊下的運動微分方程.忽略軸向慣性項以及梁在一定軸壓載荷下的蠕變過程,將幾何方程和本構關系代入,再引入梁在壓屈后的不可移動位移邊界條件,獲得用廣義位移表示的控制方程組

式中,q=Fcδ(x?L/2),δ 是狄拉克函數,表示碰撞位置在梁的中點.廣義剛度系數表示為

廣義阻尼系數表示為

其中,Em和ρm表示基體在室溫(300 K)下的參考值.另記

結合式(22)～式(24)可以得到無量綱控制方程組

對于后屈曲梁的動力學問題,需要先得到后屈曲撓度W?,再代入控制方程(25) 求解.忽略方程(25)中的慣性項和橫向載荷,并且忽略梁在一定軸壓下的延時變形過程,即得到了梁在蠕變穩定后的后屈曲控制方程.采用兩步攝動法可以得到后屈曲平衡路徑的三階漸進解.詳細過程可參考文獻[28-29]

假定振動位移正方向與后屈曲撓度正方向相反,令W=?W0,Θ=?Θ0,H=?H0,代入控制方程(26).使用兩步攝動法離散控制方程,并引入使得動力項和阻尼項僅出現在高階方程

出于篇幅原因,離散的動力學方程組不作呈現.滿足各階方程位移邊界條件的試函數可以表示為

式中m表示模態階數.

將沖擊器運動方程(15)進行無量綱化,得到

式中gi(i=0,1,2,3,4)以及參見附錄.

假設后屈曲梁的初始撓度和速度都為0,聯立方程(30)和(31),采用四階龍格庫塔法,再將所求結果量綱化,可以得到梁的動力響應曲線、以及接觸力的時程曲線.

3 數值結果與討論

本節通過數值算例,呈現FG-GRC 后屈曲梁在溫度為300 K 時受到低速沖擊后的一階模態動力響應曲線以及接觸力時程曲線.阻尼夾芯材料的彈性模量E=20 GPa,泊松比μ=0.3,密度ρ=1.9 × 10?6kg/mm3,黏彈性參數c=5.066 N·s/mm2,j=c/2(1+μ)[30].聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)被選用作為復合材料基體.有關石墨烯材料和基體材料屬性以及擴展Halpin-Tsai 細觀模型中的修正參數ηi(i=1,2,3)的數值可參見文獻[5,27,31].上面層復合材料采用五層層合結構,各層石墨烯體積分數分布為[0.11/0.09/0.07/0.05/0.03],而下面層中石墨烯的容積率分布采用[0.03/0.05/0.07/0.09/0.11].

3.1 算例驗證

圖2 忽略小球重力,計算了X 型分布FG-GRC層合梁的接觸力曲線并與文獻[27]的結果進行對比.本例中,加載和卸載過程均采用式(13) 的接觸力表達.梁的尺寸參數為h=2 mm,b=h,L/h=10,環境溫度為300 K,沖擊速度vi=3 m/s.沖擊器材料為Ei=207 GPa,μi=0.3,ρi=7960 kg/m3,其直徑與梁的寬度b一致.10 層GRC 的主方向分別為[0/90/0/90/0]s.如圖可見,盡管與文獻[27]采用了不同的梁理論,但計算的接觸力曲線吻合得良好,驗證了本文的材料模型、接觸模型和計算方法的正確性.為確認后屈曲平衡路徑解析公式的正確性,圖3 呈現了纖維增強復合材料梁的熱后屈曲平衡路徑,計算結果表明與文獻[29]曲線吻合.

3.2 數值分析

本節首先忽略沖擊器重力,討論沖擊速度,軸向壓力,阻尼系數等對后屈曲梁的接觸動力響應的影響規律,隨后考慮沖擊器重力,研究二次碰撞的運動規律.算例中,梁的尺寸參數為h=2 mm,b=2h,L/h=15,沖擊器材料參數除非特別說明,與上節保持一致.各復合材料層的石墨烯主方向均為0?.

圖2 X 型FG-GRC 梁的接觸力時間歷程曲線Fig.2 Contact force curves of X type FG-GRC beam

圖3 復合材料梁的后屈曲平衡路徑Fig.3 Post-buckling equilibrium paths of composite beams

圖4 沖擊速度對接觸動力響應的影響規律Fig.4 Effects of impact velocity on contact responses

圖4 呈現了不同沖擊速度下后屈曲梁的接觸動力響應.經計算得,?P=1.2?Pcr時的后屈曲撓度為0.635 mm.如圖4(a)可見,隨著沖擊速度的增大,接觸時間縮短,接觸力峰值增大.當沖擊速度從13.75 m/s增大到13.76 m/s 時,接觸力曲線幾乎完全重合,但梁的運動軌跡發生分岔.后屈曲梁從一個穩態跳躍到另一個穩態,隨后以之為平衡位置做衰減振動.如圖4(b)所示,從A點到B點,后屈曲梁從初始后屈曲平衡位置運動到水平位置,撞擊動能幾乎完全轉化為阻尼損耗和應變能.又由于B點附近是一段“準零剛度”區,回復力較小,因此A-B-C以及A-E段的振動頻率相比于沖擊速度為10 m/s 和15 m/s 的A-D和A-F段小.隨著沖擊速度從13.76 m/s 繼續增大,梁作快速的跳躍,衰減時間也縮短.

圖5 軸向壓力對接觸動力響應的影響規律Fig.5 Effects of axial pressure on contact responses

圖5 呈現了不同軸向壓力下的接觸動力響應曲線.如圖5(a)所示,不同軸壓下的接觸力時間歷程曲線非常接近.可見,相比于梁的整體結構剛度,接觸力對局部接觸剛度更敏感,而接觸剛度取決于接觸層和沖擊器的材料屬性,與軸向壓力的變化無關.但是軸向壓力的增加對梁的位移曲線有較大的影響,由式(12)可知,也會引起接觸力的變化.從接觸力的局部放大圖可見,軸向載荷越遠離臨界屈曲載荷,接觸力峰值越大.原因在于,軸向壓力從零增大到使梁發生后屈曲的過程中,結構整體剛度呈現先減小后增大的變化趨勢(臨界屈曲載荷時,結構剛度最小為零剛度).也因此,由圖5(b) 可見,軸向壓力從零增大到臨界屈曲載荷時,梁的振幅和周期都增大.當軸壓?P=1.2?Pcr時,梁從一個穩態跳躍到另一個穩態作衰減振動.而當?P=1.8?Pcr時,不發生跳躍失穩.可見在后屈曲階段,結構剛度與軸壓呈正相關性.特別地,當?P=?Pcr時,梁在受到沖擊后的位移時間曲線呈現類蠕變特性.這是由于此時梁處于零剛度不穩定狀態,當衰減振動能量耗散完全后,不具有回復力使梁回到初始水平位置.

圖6 呈現了黏彈性參數對后屈曲梁的接觸動力響應的影響規律.如圖6(a)所示,由于阻尼特性的改變不影響局部接觸剛度,不同結構阻尼下的接觸力時間歷程曲線十分接近.但是由于阻尼特性對梁的位移時間歷程曲線有影響,從局部放大圖可見,黏彈性系數較大時,接觸力峰值較大.如圖6(b) 所示,結構阻尼對梁在脫離接觸后的自由振動影響較大.結構阻尼較小時,后屈曲梁可能多次發生雙穩態之間的跳躍.而隨著結構阻尼的增大,跳躍發生的次數減少.在整個振動的過程中,后屈曲梁的剛度是在不斷變化的,當朝向后屈曲梁的凹面振動時,軸向壓應力增大,結構剛度減小,振動頻率降低,幅值增大,反之頻率增大,幅值減小.

圖6 黏彈性阻尼對接觸動力響應的影響規律Fig.6 Effects of damping on contact response

圖7 考慮沖擊器重力,研究了二次撞擊下后屈曲梁的動力響應對沖擊器材料屬性變化的敏感性.對于首次碰撞,如圖7(a)～圖7(c)所示,沖擊器彈性模量Ei的變化對接觸力以及梁和沖擊器的位移時程曲線影響都較小.從局部放大圖可見,Ei的增大使得接觸力增加,梁位移增大,沖擊器位移減小.相比而言,沖擊器密度ρi的變化對沖擊器和梁的位移影響較大,但是對接觸力的影響依然有限.當ρi從5960 kg/m3增大37%僅使得接觸力提高了9.1%.對于二次碰撞,如圖7(a) 所示,相比于ρi=5960 kg/m3的沖擊器,ρi=8160 kg/m3時二次碰撞接觸力反而小,這是因為這種情況下,梁在第一次碰撞后振幅較大,二次碰撞時梁處于“準零剛度”位置.也因此,即便二次碰撞接觸力很小,也使得首次碰撞后未發生跳躍的梁在二次撞擊后發生了穩態跳躍.當ρi=9960 kg/m3時,梁在首次碰撞下就發生了穩態跳躍,因此兩次碰撞的時間間隔較長.圖7(b)和圖7(d)中的A點為梁運動到水平位置的臨界跳躍點,到達B點處,沖擊器追趕上梁發生二次碰撞.由C點處接觸力未歸零知,第二次碰撞后沖擊器與梁發生了黏合.

4 結論

本文推導了含黏彈性夾芯的FG-GRC 后屈曲梁在低速沖擊下的控制方程組.拓展了兩步攝動?伽遼金法結合四階龍格庫塔法,研究了后屈曲梁在低速沖擊下的動力響應特性,得到下述結論.

(1)碰撞接觸力關于沖擊速度較為敏感,而受到軸向壓力、阻尼效應以及沖擊器材料的影響較小.

(2) 受到結構阻尼的影響,后屈曲梁在脫離接觸后作衰減自由振動,其動力響應存在穩態之間的跳躍.

(3)后屈曲梁的結構剛度在運動過程中處于動態變化.當朝向后屈曲梁的凹面振動時,剛度減小,頻率降低,幅值增大,反之頻率增大,幅值減小.

(4)對于跌落沖擊問題,雖然二次撞擊的接觸力大幅下降,但如果二次碰撞時梁處于“準零剛度”位置,也可能造成梁在二次撞擊后的穩態跳躍.

圖7 沖擊器材料對接觸動力響應的影響規律Fig.7 Effects of impactor materials on contact responses

附 錄

式(27)中的系數表示為

式(31)中的系數表示為

式中