基于共形映射的裂縫井流動問題研究

康 浩，宋新民，戴 鹍，雷征東，高 建，孫永彪，聶婷婷

(1.河北師范大學中燃工學院，河北 石家莊 050024；2.中國石油勘探開發研究院，北京 100083；3.中國石油大學(北京)，北京 102249)

直井壓裂可以將油氣的平面徑向流變為平面線性流，從而大大提高產量。截至目前，已經有大量學者針對壓裂直井的產能問題進行深入細致的研究，得出大量理論和模型：陳曉明等[1]運用點源函數和格林函數的方法，引入雙區復合模式對滲流規律進行刻畫；熊也等[2]同時考慮應力敏感性、水力垂直裂縫和雙重介質三個方面，建立不穩定滲流數學模型；李準等[3]利用攝動變換和拉普拉斯變換法，獲得了壓裂直井的6個典型的流動階段；朱維耀等[4]綜合考慮了頁巖氣滲流、擴散和解吸的流動機理，進行了產能預測和影響因素的分析；王永輝等[5]研究了高溫深層碳酸鹽巖壓裂改造，建立了相應的8種滲流模型；張烈輝等[6]利用邊界元方法提高計算精度，精確地描述了煤層氣藏壓裂直井的生產動態。這些研究豐富了壓裂直井產能計算理論，也有效地指導了現場生產。但是，從流線和等勢線分布特征角度開展分析的研究還比較少，推導過程復雜且計算不便。

共形映射是一種數學變換方法，它能夠將復雜區域(坐標平面)上的工程問題轉換到簡單區域(坐標平面)上去討論，從而大大降低了問題的難度，對于油氣井產能的計算大有幫助。

通過兩種共性映射的應用，從流場分布的角度對比了映射前后流線與等勢線的對應關系，證實了不同的具體滲流問題，往往還具有一定的本質相同的流動特性，可以為水平井多級壓裂、體積壓裂等復雜條件下的產能計算提供借鑒。

1 理論基礎

首先，根據復變函數理論，如果在復平面上的復數z=x+iy在一定范圍內變化時，復平面上的復數W隨z值的變化而變化，則W稱之為z的復變函數。設復變函數W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件[7]，則W(z)在定義域D內的z=x+iy點可導。進一步地，若W(z)在定義域D內的每一點可導，則復變函數可在定義域內解析。事實上，若以復變函數W(z)的實部ξ(x,y)作為滲流場的勢函數，見式(1)。

(1)

則流體的滲流速度見式(2)。

(2)

考慮到復變函數W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件，則復變函數W(z)的虛部η(x,y)可以作為滲流場的流函數[8]。進而解析函數和滲流場之間就建立了一一對應關系，可以用復勢理論來研究滲流問題。

其次，若W(z)在定義域D內解析，z0為定義域內一點，只要W′(z0)≠0，則W(z)在z0具有兩個性質：一是保角性，即通過z0的任意兩條曲線間的夾角與經過映射后所得對應兩曲線間的夾角一致；二是伸縮率的不變性，即通過z0的所有曲線的伸縮率均為|W′(z0)|，且與該曲線的形狀和方向無關。此時，稱映射W(z)在z0是共形的，如果解析函數W(z)在定義域D內處處有W′(z)≠0,那么映射W(z)是定義域D內的共形映射[9]。

2 共形映射前后井產量的關系

假設L為z平面上圍繞井的封閉曲線，dn、dL為z平面曲線L的法向及切向單元，λ為作共形映射后W平面上對應的封閉曲線，dv、dλ為W平面上曲線λ的法向單元及切向單元。 則在z平面上的井的絕對產量可以用圍道積分來表示[10]，見式(3)。

(3)

實際上，在進行變換時，相應等勢線上所給定勢的值是相同的，即等勢線上的勢的值保持相同，所改變的只是等勢線和流線的幾何形狀。又由于在對應平面上各點周圍無限小單元內的幾何線段處處相似，因此有式(4)。

(4)

由此可見，映射前后井的絕對產量保持不變。

3 模型建立與求解

實際問題如下所述：在半徑為re、厚度為h和滲透率為K的圓形等厚、水平、均質地層中心有一長度為2L的裂縫井，邊部供給充足，儲層的原油黏度為μ，裂縫井井底壓力為pw,供給半徑為re,供給邊界處的壓力為pe,求裂縫井的產量。

3.1 求解一

為了應用共性映射方法求解以上問題，可以先參考如下滲流的產量計算問題[11-12]：在平面W上，有一寬度為π的無限大地層，原油分別從右側無限遠處和左側無限遠處流入生產坑道，生產坑道的產量為Q，儲層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產坑道壓力為pw,供給邊界處的壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢線是平行于η軸的一系列直線，流線是平行于ξ軸的一系列直線。

取變換函數z=LcoshW,其中，z=x+iy，W=ξ+iη,則經過整理化簡，得到式(5)。

x=Lcoshξcosη,y=Lsinhξsinη

(5)

可以根據式(5)確定該映射下，兩個平面上特殊點之間的對應關系：平面W上的原點(ξ=0,η=0)對應于平面z上的(x=L,y=0)；平面W上的點(ξ=0,η=π)對應于平面z上的(x=-L,y=0)；平面W上的點(ξ=0,η=π/2)對應于平面z上的(x=0,y=0)，即z坐標的原點。平面W上的點(ξ=ξ0,η=π/2)對應于平面z上的(x=0,y=Lsinhξ0)，其中，當ξ0=+∞時，對應的是y軸的正無窮大，當ξ0=-∞時，對應的是y軸的負無窮大；平面W上的點(ξ=ξ0,η=π)對應于平面z上的(x=-Lcoshξ0,y=0)，當ξ0=±∞時，對應的是x軸的負無窮大；平面W上的點(ξ=ξ0,η=0)對應于平面z上的(x=Lcoshξ0,y=0)，當ξ0=±∞時，對應的是x軸的正無窮大。

圖1 共性映射前后流動示意圖

從流線和等勢線的方面分析：針對某條等勢線，即對應于相應的常量ξ值，見式(6)。

(6)

很明顯，通過映射以后，在平面z上，形成長軸為Lcoshξ，短軸為Lsinhξ，焦距為L的橢圓。

同理，對應于平面W上不同的常量η值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見式(7)。

(7)

很顯然，形成實半軸為Lcosη，虛半軸為Lsinη，焦距為L的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上的條帶型線性流變為平面z上長度為2L的裂縫井的橢圓流，正是本文中需要求解的問題。其中，平面W上第一象限的流動，對應平面z上第一象限、第二象限的流動；平面W上第二象限的流動，對應平面z上第三象限、第四象限的流動。

根據共形映射前后井產量不變的原則，該裂縫井的產量可以通過平面W上的線性流產量公式得到，考慮到是兩個區域向中間生產坑道的滲流，則產量計算見式(8)。

(8)

(9)

式中，ξ0計算見式(10)。

(10)

對應的裂縫井的產量Q計算見式(11)。

(11)

3.2 求解二

為了尋求另一種利用共性映射求解該滲流問題的方法，也可首先參考如下滲流問題：在平面W上直徑為l的圓周處有一生產坑道，原油分別從內側和外側沿徑向流入生產坑道，生產坑道的產量為Q，儲層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產坑道壓力為pw，地層供給半徑為ρ，供給壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢線是以原點為圓心不同直徑的一系列圓周線，流線是沿徑向指向圓周生產坑道的一系列直線，具體如圖2所示。

圖2 共性映射前后流動示意圖

(12)

顯然，在平面W上，針對某條等勢線，即對應于相應的常量ρ≠0,有如下情況。

若ρ=1,即平面W上的單位圓在該變換下變為平面z上的x軸上的區間[-L，L]。

若ρ≠1,則有式(13)。

(13)

同理，對應于平面W上不同的常量θ值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見式(14)。

(14)

很顯然，形成實半軸為Lcosθ，虛半軸為Lsinθ，焦距為L的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上生產坑道位于直徑為單位l處的徑向流，變為平面z上長度為2L的裂縫井的橢圓流。

根據共形映射前后井產量不變的原則，該裂縫井的產量可以通過平面W上的徑向流產量公式得到，忽略掉由生產坑道內部向外滲流所形成的產量[15-17]，則W平面上徑向流的產量Q計算見式(15)。

(15)

(16)

式中，ρ計算見式(17)。

(17)

對應的裂縫井產量公式見式(18)。

(18)

通過比較式(18)與式(11)可知，兩種求解方法得到的結果相同，驗證了求解的正確性。

4 實例計算

以某低滲透油藏區塊L1井為例，其相關基礎參數為：根據該油田的單井控制面積并結合井網布置情況，供給外邊界半徑取400 m，另有裂縫半長為110 m，儲層滲透率為3.2×10-3μm2，儲層有效厚度為3 m，地層原油黏度為1.2 mPa·s，供給邊界壓力 14 MPa，井底流動壓力為8 MPa。若采用礦場實用單位，基于無限導流能力裂縫井滲流理論，則裂縫井產量Q計算公式見式(19)。

(19)

將基本參數代入式(19)，求得：Q=13.14 m3/d。

5 結 論

1) 通過兩種不同映射方式的比較可知，某些直觀上各不相同的具體的滲流問題，可能在共性映射下能夠轉換成同一問題，這反映了滲流現象在某種程度上也包含一定的統一性。

2) 針對裂縫井流動問題，運用共形映射的相關理論，研究了映射前后流線和等勢線的對應情況，并且用兩種變換方法求解得出了裂縫井的產量公式，模型簡單，便于推廣應用。兩種不同的映射方法所得到的無限導流裂縫井的產量計算結果一致，并且結合實例進行了求解計算，充分顯示了映射方法求解的正確性。

3) 共形映射能夠將復雜區域(坐標平面)上的工程問題轉換到簡單區域(坐標平面)上去討論，有關裂縫井流動問題的研究必將對水平井多級壓裂，體積壓裂等復雜流場流動問題的研究產生積極的借鑒意義。