基于PSO-LSSVM 的復雜試驗不確定度分析

洪譚亮, 丁曉紅, 王海華, 王神龍, 徐世鵬

（1.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093；2.延鋒安道拓座椅有限公司，上海 201315）

測量不確定度用于表征合理賦予被測量的值的分散性[1]。目前常用的不確度評定方法是由《測量不確定度指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，GUM）[2]給出的A 類和B 類評定。但是當測量系統比較復雜且樣本量少的時候，GUM 法評定不確定度效果不是很好。因此，2008 年8 個國際權威組織聯合發表不確定度補充文件[3]，用蒙特卡羅法傳遞分布，補充了GUM法。計量學界廣泛運用蒙特卡羅方法，崔孝海等[4]采用蒙特卡羅方法對微波功率進行了不確定度分析；孟令川等[5]通過蒙特卡羅方法與GUM 法對圓柱螺紋塞規中徑的測量結果進行不確定度評定，證明了蒙特卡羅方法有更優的評估結果；朱大業等[6]采用蒙特卡羅方法對汽車座椅的鞭打試驗得分進行不確定度分析，取得了很好的評價結果。陳懷艷等[7]通過小功率校準因子說明了蒙特卡羅不確定度評定方法的可靠性。

蒙特卡羅模型評定不確定度時需要根據輸入量的概率密度函數產生的樣本量計算出輸出量，因此建立輸入輸出模型的精度至關重要。針對復雜試驗輸入與輸出關系的復雜建模，目前通常采用回歸監督機器學習的算法[8]： BP（ back propagation）神經網絡、支持向量機（support vector machine, SVM）、迭代決策樹（gradient boosting decision tree，GBRT）等回歸算法。最小二乘支持向量機、BP 神經網絡等算法可用于小樣本、高維特征變量模型。BP 神經網絡沒有給定目標函數的任何假設，可以實現輸入到輸出的映射功能，但是對數據的要求高，對模型的訓練也非常有挑戰性[9]；而最小二乘支持向量機適合小數量樣本，避免過學習問題，泛化能力強[10]。

本文采用具有訓練樣本少、預測精度高的最小二乘支持向量機算法，利用PSO 算法優化LSSVM的懲罰系數及核函數參數，解決最小二乘支持向量機在建模過程中懲罰系數及核函數參數難以確定的問題。以汽車座椅安全帶拉伸試驗為對象，采用PSO-LSSVM 對安全帶拉伸試驗建模，考慮安全帶拉伸試驗主要影響因素的概率密度函數，對其進行拉丁超立方試驗設計，最后通過蒙特卡羅方法實現對安全帶拉伸試驗的不確定度分析，并以GUM 法對安全帶拉伸試驗的不確定度分析作為參考。

1 安全帶拉伸試驗不確定度影響因素

1.1 安全帶拉伸試驗簡介

安全帶是汽車發生碰撞過程中保護乘駕人員安全的基本裝置，試驗按照GB14167—2013 程序設置，座椅通過拉力F1和F2分別對上、下人體模塊施加載荷，如圖1 所示。對于M1 和N1 車型，對上下人體模塊沿車輛縱向中心平面與水平方向成向上10±5 °的方向施加試驗載荷，其中上人體模塊施加13 500±200 N 的試驗載荷，下人體模塊施加相對座椅質量20 倍的載荷。試驗過程中在4 s內加載到國標規定值并至少持續0.2 s，且安全帶固定點不能失效，并且不能超過對應的參考面。

圖1 安全帶拉伸試驗設置Fig.1 Safety belt tensile test setup

1.2 主要影響因素及其概率密度分布函數

安全帶拉伸試驗是最為復雜的汽車座椅靜態試驗，試驗設置參數有很多，主要跟假臀和假胸的位置參數有關。根據試驗標準和經驗，安全帶拉伸試驗的主要影響因素有：假胸中心點與調角器中心點的豎直距離A、假胸傾斜的角度J、假胸與調角器的水平距離B、正視圖中假胸中心線到安全帶插口的水平距離O，如圖2 所示。

根據工程師經驗和一般統計規律可以得出A為韋布爾分布，J，B和O均為正態分布。

以某型號汽車座椅安全帶拉伸試驗為例，以B和O的尺寸上下極限值作為其各自概率密度分布95%置信區間的上下限，由概率統計區間估計可得出B，J，O的正態分布參數。正態分布函數記作N(μ,σ2)， 其中： μ決 定了其位置； σ決定了分布的幅度。同時對A設置韋布爾分布參數。韋布爾分布函數記作W(λ,k)，其中：λ為比例參數；k為形狀參數。A，B，J，O的分布函數參數如表1所示。

圖2 安全帶拉伸試驗主要影響因素Fig.2 Main influencing factors of safety belt tensile test

表1 A，B，J，O 的分布函數參數Tab.1 Distribution function parameters of A，B，J，O

2 安全帶拉伸試驗設計及仿真

2.1 有限元模型

考慮到安全帶拉伸試驗的成本和一些不可控因素的影響，汽車座椅安全帶拉伸試驗有限元模型的建立是本文進行不確定度分析的基礎。依據GB14167—2013 規定的試驗方法，結合某車型利用ANSA 軟件對汽車座椅進行有限元建模。安全帶拉伸試驗有限元模型如圖3 所示。

2.2 影響因素的試驗設計

為了建立安全帶拉伸試驗輸出和輸入參數之間的數學模型，需要在不同輸入參數下進行多組安全帶拉伸試驗，以便有足夠的數據來建模[11]。當試驗次數為固定值時，拉丁超立方采樣設計非常適用。拉丁超立方采樣設計對每個因子的水平數沒有限制，適用于響應呈現非線性情況。抽樣步驟如下：

步驟1選定設計變量，并初始化各個變量的分布區間，其各個輸入參數概率密度函數如表1所示。

圖3 安全帶拉伸試驗有限元模型Fig.3 Finite element model of safety belt tensile test

步驟2確定抽樣次數l，考慮到設計變量的個數和試驗成本，設定樣本數為30。因為采取了拉丁超立方的方法抽樣，30 組樣本能準確地反映輸入概率分布中值的分布，具有足夠的代表性，得到的抽樣樣本具有足夠的建模精度。增加樣本數并不能對模型的精度有很高的提升，同時會增加訓練樣本的時間。將每個變量xD=(A,J,B,O)按其分布函數將縱坐標軸分成l個等分，每一等分寬度是1/l。為第D個變量的第L次抽樣值，如圖4所示。

圖4 考慮概率密度分布的拉丁超立方抽樣Fig.4 Latin hypercube sampling considering probability density distribution

步驟3產生一個30×4 的矩陣，其每一行都是（1，l）整數隨機序列，是該矩陣的第L行D列元素。

步驟4產生一個30×4 的矩陣，其每個元素均服從[0,1]均勻分布，是該矩陣的第L行D列元素。

步驟5通過計算得到30×4 的采樣矩陣，為其L行D列元素。則

式中：L=1, 2, ···,l;D=1,2,···,d。

步驟6顯示拉丁超立方抽樣的30 組數據，如表2 所示。結合汽車座椅安全帶拉伸試驗有限元模型，根據試驗號調整有限元模型中影響因素A，B，J，O的尺寸，可以得到安全帶固定點X方向的位移BUCKLE_X，如表2 所示。

表2 安全帶拉伸試驗數據樣本Tab.2 Data samples of safety belt tensile test

3 建模方法結果分析

選擇采樣得到前面20 組樣本作為訓練集，后面10 組樣本作為預測集。利用粒子群優化算法來尋找最小二乘支持向量機核函數參數和正則化參數的最優值。設置粒子群的種群數為30，最大迭代次數為40，學習因子均為1.5，正則化參數的取值范圍為[0.1,1 000]，核函數參數的取值范圍為[0.01,1 000]。運用Matlab 軟件運行PSO-LSSVM 模型，將尋找到的最優核函數參數和正則化參數重新更新，最終獲得核函數參數為49.152 4，正則化參數為43.189 0。用訓練好的PSO-LSSVM 優化模型對安全帶拉伸試驗進行預測。

為了驗證和說明提出方法的有效性，采用BP 神經網絡模型進行對比。其中BP 神經網絡設置成輸入層4 個節點、隱含層3 個節點、輸出層1 個節點的網絡，隱含層和輸出層都是tansig 激活函數。預測結果如圖5 所示，PSO-LSSVM 的預測結果與真實值更為接近，參數優化有效。因此采用PSO-LSSVM 建立安全帶拉伸試驗數學模型能有效地預測BUCKLE_X。

圖5 PSO-LSSVM 與BP 神經網絡建模對比Fig.5 Comparison of PSO-LSSVM and BP neural network modeling

為了評估回歸模型的預測能力，通常采用兩個重要指標來驗證模型精度，即平均相對誤差emr和均方誤差ems，其值越小，代表模型性能越好。其中，平均相對誤差是指預測值y?i與真實值yi的絕對誤差在真實值中所占比例的平均值，其計算公式為

均方誤差是指真實值與預測值差值的平方的期望值，其計算公式為

運用emr和ems兩個回歸預測性能指標，得到BP 神經網絡和PSO-LSSVM 兩種不同建模方法的emr和ems，其中PSO-LSSVM 和BP 神經網絡預測結果的emr分別為0.38%和0.63%，ems分別為0.31 和1.07，如表3 所示。

表3 PSO-LSSVM 與BP 神經網絡的MRE/MSE 對比圖Tab.3 MRE / MSE comparison between PSO-LSSVM and BP neural network

通過表3 對比可知，不論是平均相對誤差還是均方誤差，PSO-LSSVM 建立的數學模型精度都要高于BP 神經網絡，其精度滿足后續不確定度評定要求。在模型計算效率方面，采用4 核i5-7 300、主頻2.5 GHz 的CPU 計算機運行模型，BP 神經網絡運行時間雖然較長，但在可接受范圍之內。

4 安全帶拉伸試驗不確定度評定

蒙特卡羅法（Monte Carlo method，MCM）[14-15]，與GUM 法不同，其采用分布傳播方式來確定輸出量的概率密度函數、估計值、不確定度以及包含概率區間?；赑SO-LSSVM 安全帶拉伸試驗的蒙特卡羅不確定度評定方法步驟如下所示：

步驟1蒙特卡洛法輸入

a.定義需要被測量的量（輸出量），安全帶拉伸試驗需要測量的量是BUCKLE_X；x1,x2,···,xd，安全帶拉伸試驗的不確定度來源是x1,x2,···,xd=(A,J,B,O)；

b.確定與輸出量BUCKLE_X相關的輸入量

c.建立輸入量x1,x2,···,xd與輸出量BUCKLE_X的測量模型；選PSO-LSSVM 建立輸入輸出關系的數學模型；

d.為輸入量x1,x2,···,xd設定其概率密度函數；其中A符合韋伯爾分布，B，J，O符合正態分布；

e.選擇蒙特卡羅試驗次數M的大?。槐驹囼炦x擇試驗次數M=106，因為M=106會為輸出量BUCKLE_X提供95%的置信區間。

步驟2蒙特卡洛法傳播

a.從輸入量x1,x2,···,xd的概率密度分布函數中抽 取106個 樣 本 值為第D個變量第R個樣本值；

b.計算輸出量BUCKLE_X的模型值(R=1,2···,M)。

步驟3蒙特卡羅法輸出與結果

a.將這M個輸出量按嚴格遞增的順序排序，通過排序模型得到輸出量的分布函數如圖6 所示。

圖6 輸出量的概率密度分布函數Fig.6 Probability density distribution function of output

b.確定被測量BUCKLE_X的估計值y、標準不確定度u(y)，以及在給定包含概率95%時被測量BUCKLE_X的包含區間 [yl,yh]，如表4 所示。

表4 基于PSO-LSSVM 的安全帶拉伸試驗蒙特卡羅法不確定度分析結果Tab.4 Uncertainty analysis results of safety belt tensile test MCM method based on PSO-LSSVM

目前因為GUM 法使用普遍、計算簡單等優點，其評定結果也可以用來作為參考。由GUM 法中的A 類評定可知，以30 組試驗數據得到的BUCKLE_X結果均值當作估計值，平均值的標準偏差當作BUCKLE_X的標準不確定度，評定的結果如表5 所示。

表5 基于GUM 的A 類安全帶拉伸試驗不確定度分析結果Tab.5 Uncertainty analysis results of type a seat belt tensile test based on GUM

由表5 中A 類評定結果可知，除了估計值與蒙特卡羅模型得到的結果較接近外，標準不確定度和包含區間誤差都比蒙特卡羅評定的誤差大，標準不確定度從4.34 增加到4.95，增加了14%；95%包含的概率區間長度由16.94 增加到22.35，增加了32%。因為GUM 法規定的A 類評定在實際使用過程中只是對安全帶拉伸試驗BUCKLE_X位移進行了統計分析，沒有體現出試驗影響因素到試驗結果的不確定度傳遞，且樣本數目不多，因此GUM 法評定安全帶拉伸試驗不確定度的精度較低，也進一步證實了GUM 法不適用于復雜試驗的不確定度分析。

5 結 論

研究了汽車座椅安全帶拉伸試驗主要影響因素和概率密度函數參數，采用拉丁超立方方法進行了試驗設計。

通過PSO 算法優化了LSSVM 的懲罰系數和核函數參數，構建了汽車座椅安全帶拉伸試驗回歸預測模型，并結合BP 神經網絡對預測結果進行了比較。結果表明：采用PSO-LSSVM 方法能夠建立有效的安全帶拉伸試驗預測模型，該模型的平均相對誤差為0.38%，均方誤差為0.31，具有較高的準確性。

結合PSO-LSSVM 建模結果，采用蒙特卡羅方法對安全帶拉伸試驗進行了不確定度分析，并且參考了傳統GUM 法A 類不確定度評定。結果表明：由于安全帶拉伸試驗的強非線性，基于PSOLSSVM 的蒙特卡羅不確定度分析適用于此復雜試驗；GUM 法不適用于非線性復雜試驗的不確定度分析。