一類具有時滯的隨機SISV 傳染病模型的穩定性

周艷麗, 任同擎, 陳立范, 王宏杰

（上海健康醫學院 文理教學部，上海 201318）

1 問題的提出

隨機延遲微分方程是It?和Nisio 在1964 年引入的，在過去的幾十年受到了不少學者的關注并取得了一定的成果[1-4]。文獻[5]研究了具有時滯的隨機SIR（susceptible, infective and removed）傳染病模型，通過構造李雅普諾夫函數得到了無病平衡點和地方病平衡點的漸近性態。文獻[6]在采用部分保護性接種疫苗的情況下，得到了隨機SIS（susceptible, infective and susceptible）傳染病模型的閾值。文獻[7]研究了具有飽和發生率的隨機SIR和SEIR（susceptible, exposed, infective and removed）傳染病模型，得到了模型的閾值，并根據閾值分析了模型的動態傳播行為。文獻[8]研究了一類具有隨機效應的SIRI（susceptible, infective, removed and infective）傳染病模型，討論了隨機模型的解在相應確定性模型的平衡點附近的震蕩行為以及隨機模型的解的持續存在和疾病滅絕的充分條件。

考慮到疾病的發生和發展會受到接種時滯和環境等隨機因素的影響，本文建立了一類含確定免疫期時滯的隨機SISV（susceptible, infective,susceptible and vaccinated）傳染病模型，并通過對該隨機模型的研究來揭示時滯和環境隨機因素等對疾病傳播的動力學影響。由于疾病流行途徑和方式的復雜性，在以上文獻的基礎上，考慮了更為一般的非線性發生率形式： βS f(I) ， 其中， β表示易感者和感染者之間的傳染率，S表示易感者，函數f(I)∈C2滿足以下性質[9]：

顯然，f(I)在 [0, +∞)上是Lipschitz 連續且對所有的I>0， 有 0 ＜f(I)≤f′(0)I成立。

2 模 型

設S(t),I(t),V(t)分 別表示t時刻易感者、染病者與已接種的人數，N(t)表 示t時刻的總人口數，假設沒接種者都是易感者，A表示人口常數輸入率，A>0；q表示接種者的比例， 0 ≤q≤1；p表示易感者被接種率，p≥0 ；d表示自然死亡率，d>0；γ表示疾病恢復率， γ>0； β表示易感者和感染者之間的傳染率， β>0； τ 表 示接種免疫期， τ ≥0。文獻[10]考慮確定性傳染病模型

當R0≤1， 模型（2）有唯一的無病平衡點E0=(S0,I0,V0)，且全局漸近穩定。

當R0>1，模型（2）則存在唯一的正平衡點（地方 病 平衡 點），且全 局 漸近 穩定，

本文將在以上研究的基礎上考慮一類具有接種時滯的隨機傳染病模型

其中，g1,g2∈C2，且滿足=0,B1(t),B2(t)為 定義在完備的概率空間(Ω,{Ft}t≥0,P)上的相互獨立的標準布朗運動， {Ft}t≥0是 Ω上的一個 σ代數且滿足通常條件（即右連續，F0包含所有零測集），函數f(I)滿 足式（1）中的條件， α ≥0，α表示疾病額外死亡率。

由于模型（3）的前2 個方程不受第3 個方程的影響，不影響結論的一般性，僅考慮如下模型：

3 模型的全局正解存在唯一性

定理1假設模型（4）的初始條件為：S(θ,ω)=φ1(θ), φ1(0)>0和I(0,ω)=φ2(0)>0，且系統的解滿足S(θ,ω)=φ1(θ)∈C([-τ,0],R+)。 對所有t≥0，模型（4）依概率1 存在唯一的正解 (S(t,ω),I(t,ω))，即對所有t≥0，S(t,ω)>0,I(t,ω)>0，幾乎必然成立。此外，對所有t≥0，有下式成立：

證明由生物意義可知，S(t)>0,I(t)>0。現證明隨機模型（4）對于任意給定的初值都有唯一的全局正解（即在有限時間內不會爆破），此時要求系統的系數滿足線性增長條件和局部Lipschitz 條件，即對任意初始值 φ1(θ)，φ2(θ)，θ ∈[-τ,0]，且φi(θ)∈C([-τ,0],R)，i=1,2，模型（4）存在唯一的1 個局部解(S(t,ω),I(t,ω))，t∈[-τ,τe(ω))， 其中，τe(ω)為爆破時間[10]。但是，模型（4）的系數不滿足線性增長條件，故模型（4）的解在有限時間內有可能爆破。

記φi(θ)∈C([-τ,0],R+), φi(0)>0,i=1,2。首先，證明S(t),I(t)在t∈(0,τe(ω))上幾乎必然為正。

定義停時：

現證明t+=τe，幾乎必然成立。為此，假設P{t+＜τe}>0。定義函數

對幾乎所有ω ∈{t+＜τe}和t∈[0,t+)，利用It?公式，有

整理可得

對式（5）兩邊從0～t積分，可得

由于S,I均為非負，故下面不等式成立：

顯然，幾乎對所有的 ω ∈{t+＜τe}， 都有S(t)>0,I(t)>0 在t∈[0,t+)上 成立，且S(t+)I(t+)=0。所以，

由式（6）可得

由于連續函數在有限閉區間上的積分是有限的，故式（7）左端是有限的，這與式（6）左端的結論相矛盾。所以，必有t+=τe，幾乎必然成立。

定義停時：

且使得任意整數k≥φ1(0)+φ2(0)。 顯然，當k→∞時， τk是遞增的。記則 τ∞≤τe，幾乎必然成立。現利用反證法來證明P{τ∞≠τe}=0

假設P{τ∞＜τe}>0。由It?公式，幾乎對所有ω ∈{τ∞＜τe}和 所有整數k≥φ1(0)+φ2(0)，有

容易得到，S(τk)+I(τk)=k， 幾乎必然成立。令k→∞，有

顯然，上式左端是有限值，故產生矛盾，假設不成立。從而可得， τe=τ∞，幾乎必然成立。

現證明P{τe＜∞,τ∞＜∞}=0。 取任意實數T>0，利用公式可得

其中，1{·}是角標集合的示性函數。對式（8）兩端求期望，可得

顯然，

故可得

其中，

聯立式（10）～（14），可得

聯立式（9）和式（15），可得

對任意的T>0 ，有P{τe＜∞,τ∞＜∞}=0。由于，

所以，P{τe＜∞}=0 。故可得P{τe=∞}=1， 即τe=∞，幾乎必然成立。

當t≥0時，利用類似方法可推得

即

4 模型（4）線性化和解的均方指數穩定性

現討論隨機模型（4）地方病平衡點處所對應線性系統的穩定性，并分別討論時滯為零和時滯不為零這兩種情況。

由于函數f(I)滿 足式（1）中的條件，所以，f(I)可以寫為

其中，F表示的次數大于等于2 的部分，且滿足

或

對模型（4）在正平衡點處作如下坐標變換：

模型（4）中的g1(S,I,τ)和g2(S,I,τ)可以化為

結合以上所討論的內容，則模型（4）可化為如下形式：

與模型（16）對應的線性部分

以及時滯 τ =0 時所對應的線性部分

在討論模型（17）和模型（18）的穩定性之前，先給出引理1。

引理1定義：

則有

證 明由和bτ的 定 義可知，

利用拉格朗日中值定理可得

對qτ進行化簡：

顯然，qτ也為正值。

首先，討論時滯 τ=0 時，模型（18）的平凡解均方指數穩定。

定理2保持前面所提到的假設和符號不變。如果條件

成立，則模型（18）的平凡解均方指數穩定，記σij=σi j(0),i,j=1,2。

證明定義一個C2函數V:R2→R+，

其中，

顯然，V(u1,u2)正定，由It?公式可得

其中，

定義：

于是

顯然，由條件式（21）可知下面2 個矩陣：

均是正定矩陣，且

因此，對所有的 (u1,u2)∈R2滿足下列關系：

其中， λmin(G),λmax(G)分別表示矩陣G的最小和最大特征值。

令ν1=λmin(G)，則

結合式（23）和式（24）并積分，可得

對式（25）兩端取期望并結合式（24），可得

即

故模型（18）的平凡解是均方指數穩定的。

現討論含有時滯（即時滯 τ ≠0）時線性系統（17）的穩定性。

為了方便起見，首先給出一些符號的定義，記定義：

和

令 |Jτ|=0，可得

定理3如果 τ 和 σij=σi j(τ),i,j=1,2滿足下列條件：

則模型（17）的平凡解是均方指數穩定的。

證明定義：

則對所有的 (u1,u2)∈R2，有如下結論：

選擇 ν2>0，且滿足

定義一個光滑函數V:R2→R+：

其中，

將式（29）代入式（27），并兩端取期望，可得

結合式（26）和式（30），顯然有下式成立：

對函數u1(η)edη利用It?公式，可得

對上式取期望，

將式（31）和式（32）代入式（30），可得

由

和

將式（34）和式（36）代入式（33），可得

即

從而證得模型（17）的平凡解是均方指數穩定的，模型（4）正平衡點是均方指數穩定的。

5 模型解的依概率穩定性

現證明模型（4）和式（16）在正平衡點處依概率穩定。

定理4如果 τ 和 σij=σi j(τ),i,j=1,2滿足下列條件：

則模型（17）的平凡解依概率穩定。

證明由定理3 的條件可知，存在正常數 ε1和ε2，使得

定義停時：

對任意t≥0，由It?公式可得

其中，LV(u1(s),u2(s))與式（28）或式（29）相同，且

將式（29）代入到式（36）并取期望，可得

注意到式（37）的第一部分，

對式（37）第二部分，利用It?公式可得

成立。于是， 可以找到一個確定的常數 δ1>0，且滿足，使得

成立。為方便起見，記

對任意ε ∈(0,1)和r∈(0,δ1)， 且滿足‖ξ1‖2+‖ξ2‖2≤δ，可得

但是，

所以，有

而

由以上不等式可得

因此，

另一方面，

所以，可得P{Tr≤t}≤ε， 令t→∞，則有下式成立：

即平衡點是依概率穩定的。

6 數值模擬

現通過數值模擬分析時滯和白噪聲對系統的動力學行為的影響，采用 Euler-Maruyama 作圖方法[10-12]對隨機模型（3）和對應的確定型模型（2）的解進行計算機模擬，通過圖形直觀地觀測時滯和白噪聲對疾病的影響。

在圖1 中，通過取不同的 τ值 ，觀察 τ對傳染病傳播的影響，平衡點的值隨著 τ值的增大而變小，說明接種后可以控制染病者的傳染力，減少疾病的傳播。為了更好地對照和比較2 個系統的動力學行為，在圖2 中，將確定性模型（2）和隨機模型（3）的染病者對應的解曲線體現在同一個圖里。由于噪聲的存在，使得模型（3）的解圍繞著確定性模型（2）的解進行隨機震蕩。 τ的值越小，模型（3）的解震蕩幅度越小。

圖1 對模型（2）取不同 τ值時，染病者隨時間的變化曲線Fig.1 Variation of the infective population with time for different values of delayτ

圖2 R 0>1，隨機模型（3）與確定性模型（2）的染病者的漸近行為Fig.2 Asymptotic behavior of the infective population of the stochastic model (3) and deterministic model (2) when R0>1

本文主要討論含非線性發生率和時滯的隨機延遲SISV 傳染病接種模型的動力學行為。首先，證明了模型正解的全局存在唯一性；其次，分別研究了不含時滯和含時滯的隨機模型（3）所對應的線性系統的均方指數穩定和依概率穩定。通過分析可知，當白噪聲滿足一定的條件時帶有接種的隨機延遲SISV 傳染病模型（3）具有均方指數穩定和依概率穩定，即當噪聲強度滿足一定的條件時，傳染病在地方依概率存在使得疾病依然持續流行。