考慮人群流動(dòng)數(shù)據(jù)的COVID-19 傳播模型

鄧春燕, 郭 強(qiáng), 傅家旗

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

對(duì)流行性傳染病的實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，有助于深入研究傳染病的傳播規(guī)律，發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播弱點(diǎn)和趨勢(shì)，為采取有效的疫情防控手段、保持疫情防控成果提供重要科學(xué)支持[1-3]。新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）作為新型流行性傳染病，由于大家缺乏對(duì)其傳播規(guī)律和特性的了解，2020 年初在各地區(qū)迅速蔓延。根據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會(huì)官方網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，全國累計(jì)確診人數(shù)在2020 年2 月17 日達(dá)到最高峰，隨后開始下降，疫情得到轉(zhuǎn)變和穩(wěn)定[4]。國家采取的區(qū)域封閉式管理和治療措施在疫情管控上卓有成效，目前疫情也已經(jīng)穩(wěn)定，復(fù)工復(fù)產(chǎn)皆有序進(jìn)行[5]。根據(jù)疫情前期爆發(fā)、中期管控下降、后期穩(wěn)定的特點(diǎn)，全面研究COVID-19 的傳播特性、傳播弱點(diǎn)，為實(shí)施精準(zhǔn)防控、防止少數(shù)潛伏或者確診病例有可能帶來的疫情反彈、保持疫情防控成果、實(shí)施疫情防控工作提供科學(xué)依據(jù)。

在COVID-19 突然爆發(fā)期間，關(guān)于COVID-19 傳播的研究也有很多，為國家管理疫情提供了科學(xué)支持。除了預(yù)測(cè)COVID-19 持續(xù)時(shí)間[5-7]、估算高峰時(shí)期感染人數(shù)[8-9]、分析隔離對(duì)疫情管控的作用[10-11]等，研究工作還包括基于實(shí)時(shí)的疫情感染數(shù)據(jù)，利用經(jīng)典傳染病SI 和SEIR 等模型來分析COVID-19 的傳播機(jī)制[12-13]。比如：利用經(jīng)典傳染病模型中的病例指數(shù)增長假設(shè)分析人群流動(dòng)對(duì)COVID-19 傳播的影響[14-15]；基于SI 模型構(gòu)建復(fù)雜人流網(wǎng)絡(luò)的COVID-19 傳播模型，在未考慮傳染病潛伏過程下分析不同省市的疫情傳播特點(diǎn)[16]；利用疫情的動(dòng)態(tài)變化數(shù)據(jù)建立SEIR 模型分析區(qū)域隔離的有效性[17]；通過構(gòu)建分?jǐn)?shù)階SEIR 模型描述疫情的動(dòng)態(tài)傳播，利用微分方程殘差冪級(jí)數(shù)求解來描繪感染過程，但是忽略區(qū)域人數(shù)流動(dòng)總數(shù)的變化[18]；基于SEIR 模型建立考慮公共交通工具內(nèi)部因素的疫情傳播模型，分不同站點(diǎn)階段刻畫疫情擴(kuò)散機(jī)制[18]；考慮離散時(shí)間內(nèi)輸入患者對(duì)特定地區(qū)的影響和風(fēng)險(xiǎn)分析的改進(jìn)SEIQR 模型[20]；還有以傳染病模型驗(yàn)證感染患者在發(fā)病癥狀不明顯時(shí)期和未隔離時(shí)的擴(kuò)散傳染率[21]。這些研究成果都讓人們對(duì)COVID-19 有了更多的認(rèn)識(shí)，了解到COVID-19 的傳播機(jī)制和隔離的重要性，為國家實(shí)施疫情管控工作提供了幫助。

通過已有的研究可以發(fā)現(xiàn)SI 或者SEIR 模型都能有效分析COVID-19 的傳播過程，但這些工作并未全面考慮疫情由嚴(yán)重到穩(wěn)定這一過程中COVID-19 傳播效力的不同，人群流動(dòng)和疫情穩(wěn)定時(shí)的管控會(huì)使COVID-19 的傳播規(guī)律發(fā)生變化。因此，本文嘗試根據(jù)我國由嚴(yán)控至逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)（2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日）期間不同的COVID-19傳播程度，構(gòu)建考慮人群流動(dòng)情況下，分析易感人群和潛伏人群的變化對(duì)確診人群影響的疫情傳播D-SEIR 模型，并以實(shí)證數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證擬合，利用傳播模型更加準(zhǔn)確分析COVID-19 的傳播規(guī)律。本文所有研究數(shù)據(jù)均來自于2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日這一時(shí)間段。

1 COVID-19 傳播模型

經(jīng)典SEIR 模型常適用于具有潛伏期的傳染病傳播研究，通過把人群劃分為易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群來構(gòu)建傳播微分方程，并假設(shè)整體人數(shù)不變來求解微分方程中的傳染率參數(shù)，再代入傳播微分方程以此刻畫傳染病的傳播過程[22-23]。其中：易感人群是指未感染傳染病的健康人群；潛伏人群是指已經(jīng)被傳染病感染但未有發(fā)病癥狀的人群；確診人群是指具有傳染病發(fā)病癥狀并診療確診的人群；治愈人群則是指經(jīng)過隔離治療治愈出院的患者人群。

由于COVID-19 具有一定潛伏期[24]，本文同樣將COVID-19 傳播中的人群分為：易感人群（S）、潛伏人群（E）、確診人群（I）、治愈人群（R）。再構(gòu)建考慮地區(qū)間人口流動(dòng)和地區(qū)內(nèi)部人口流動(dòng)情況的疫情傳播模型（簡稱D-SEIR 模型），綜合考慮人口的流動(dòng)數(shù)據(jù)、易感人群和潛伏人群的數(shù)量變化來預(yù)測(cè)染病人群的變化。構(gòu)建模型的過程中為使模型更加有效，假設(shè)流動(dòng)人群皆為易感人群和潛伏人群，確診人群已經(jīng)被隔離收治。另外由于疫情在由嚴(yán)重轉(zhuǎn)至穩(wěn)定期間的傳播規(guī)律不同，而2 月17 日全國確診人數(shù)出現(xiàn)下降趨勢(shì)，疫情開始穩(wěn)定，本文將構(gòu)建的D-SEIR 模型分為兩部分：第一部分是對(duì)疫情初始至穩(wěn)定前的COVID-19 傳播模型進(jìn)行構(gòu)建；第二部分是對(duì)構(gòu)建的COVID-19 傳播模型基于疫情穩(wěn)定后的情況進(jìn)行調(diào)整，讓DSEIR 模型更加符合真實(shí)情況。

1.1 考慮人群流動(dòng)的D-SEIR 模型

基于國家進(jìn)行區(qū)域隔離的政策和疫情處于春節(jié)特殊時(shí)期的特點(diǎn)，本文將各地區(qū)構(gòu)建為一個(gè)半封閉系統(tǒng)。半封閉系統(tǒng)是指該地區(qū)在特殊時(shí)期內(nèi)沒有人員流出，只有人員流入。因?yàn)橐咔榍》甏汗?jié)，有很多出門旅游和在外長期務(wù)工的人員回到他們所在家鄉(xiāng)，各地區(qū)就有大量的人員流入，而后疫情爆發(fā)，政府采取隔離措施限制各地區(qū)人員的流出，所以將行政區(qū)域構(gòu)建為一個(gè)半封閉系統(tǒng)。而這部分回到自身所屬地區(qū)的人群可能是易感狀態(tài)也可能是潛伏狀態(tài)，他們對(duì)自己的感染情況并不知曉。基于此繪制出各地區(qū)人群流動(dòng)的DSEIR 模型示意圖，如圖1 所示。圖中：下標(biāo)q 表示本地區(qū)，p 表示其他地區(qū)；Sp，Ep分別表示從其他地區(qū)p 流入的易感人群和潛伏人群； λ表示不同人群之間轉(zhuǎn)化的調(diào)節(jié)參數(shù)； ε表示不同人群之間轉(zhuǎn)化的誤差常數(shù)。

圖1 D-SEIR 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of D-SEIR model

從圖1 可以看出，易感人群Sp和潛伏人群Ep流入到q 地區(qū)，那么q 地區(qū)原本的易感人群和潛伏人群數(shù)量會(huì)增多，潛伏人群增多后轉(zhuǎn)化為確診人群，確診人群的數(shù)量也會(huì)發(fā)生變化。基于此，定義q 地區(qū)t時(shí)刻的易感人群數(shù)為Sq(t)，潛伏人群數(shù)為Eq(t)， 確診人群數(shù)為Iq(t)，治愈人群數(shù)為Rq(t)， 流入q 地區(qū)的易感人群數(shù)為Sp(t)，潛伏人群數(shù)為Ep(t)，構(gòu)建考慮人口流動(dòng)的D-SEIR 模型，模型動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示。

式中： ΔSq(t)為t時(shí)刻易感人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔEq(t)為t時(shí)刻潛伏人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔIq(t)為t時(shí)刻確診人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量； ΔRq(t)則為t時(shí)刻治愈人群數(shù)量相較于t-1 時(shí)刻的變化量。因?yàn)楦鞯貐^(qū)的流入人群只有易感人群Sp和 潛伏人群Ep，所以流入人群的Sp(t)和Ep(t)關(guān) 聯(lián) 到 模 型（1）中 的Sq(t)，Eq(t)部分。

由于COVID-19 在疫情期間不斷傳播擴(kuò)散，通過把病毒傳染給易感人群，易感人群的數(shù)量減少并轉(zhuǎn)化為潛伏人群，影響潛伏人群時(shí)刻變化量ΔEq(t)。然后，潛伏人群一旦有發(fā)病癥狀，經(jīng)過確診變?yōu)榇_診人群，影響確診人群時(shí)刻變化量ΔIq(t)，而確診人群經(jīng)過隔離治療會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)橹斡巳海绊懼斡巳簳r(shí)刻變化量 ΔRq(t)。因此，為準(zhǔn)確反映各地區(qū)每天疫情的變化情況，t時(shí)刻易感人群 ΔSq(t)主 要由前一時(shí)刻的易感人群Sq(t-1)決定，潛伏人群 ΔEq(t)主要由前一時(shí)刻的易感人群Sq(t-1)決 定，確診人群 ΔIq(t)主要由前一時(shí)刻的潛伏人群Eq(t-1)決 定，治愈人群 ΔRq(t)由前一時(shí)刻的確診人群Iq(t-1)決定。據(jù)此，本文根據(jù)式（2）來確定易感人群的時(shí)刻變化量 ΔSq(t)、潛伏人群的時(shí)刻變化量 ΔEq(t)、 確診人群的時(shí)刻變化量 ΔIq(t)和治愈人群的時(shí)刻變化量 ΔRq(t)。

式中： λq為 調(diào)節(jié)常數(shù)； εq為誤差常數(shù)。

另外在模型進(jìn)行實(shí)證數(shù)據(jù)擬合前，先把q 地區(qū)的病例患者進(jìn)行時(shí)刻狀態(tài)分類統(tǒng)計(jì)。通過一名患者的發(fā)病時(shí)間和治愈時(shí)間，判斷具體時(shí)刻患者的身體狀態(tài)。在發(fā)病時(shí)間之前包括易感狀態(tài)和潛伏狀態(tài)，在發(fā)病時(shí)間和治愈時(shí)間之內(nèi)為感染狀態(tài)，治愈后則為治愈狀態(tài)。由于國家衛(wèi)健委發(fā)布的新冠病毒防控中宣布新冠病毒的潛伏期為1～14 d，通常為3～7 d[4]，為了讓模型對(duì)疫情中COVID-19潛伏擴(kuò)散的情況預(yù)估復(fù)現(xiàn)更為準(zhǔn)確，在分析過程中包含大部分患者的真實(shí)染病潛伏情況。本文以發(fā)病時(shí)間的前7 d 內(nèi)為界限判定患者的潛伏狀態(tài)，發(fā)病前7 d 外為易感狀態(tài)。從而統(tǒng)計(jì)出q 地區(qū)每一時(shí)刻的易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群數(shù)量，再計(jì)算q 地區(qū)每時(shí)刻處于不同狀態(tài)的總?cè)?群 數(shù) 量Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)，以 及不 同 狀 態(tài)下 的人群 數(shù) 量時(shí)刻 變 化值 ΔSq(t) ， ΔEq(t) ， ΔIq(t)，ΔRq(t)。基于上述數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，分別代入式（2）進(jìn)行擬合求解，將擬合參數(shù)結(jié)果代入便可求出模型的擬合變化值。以擬合求出的各時(shí)刻人群變化量為結(jié)果，各時(shí)刻人群變化量的真實(shí)數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)，作圖對(duì)比2 月17 日前的COVID-19 的傳播感染過程。

1.2 疫情穩(wěn)定后的D-SEIR 模型調(diào)整

由于疫情確診人數(shù)在2 月17 日后開始下降，疫情開始穩(wěn)定，穩(wěn)定后的感染人數(shù)傳播效力、健康人員管控力度、治愈效果和前期相比都發(fā)生了變化。構(gòu)建的初始D-SEIR 模型是以疫情嚴(yán)重時(shí)段的COVID-19 為基礎(chǔ)建立的，用此模型求解結(jié)果直接預(yù)測(cè)穩(wěn)定后的感染情況會(huì)有偏差。因此，將DSEIR 模型中加入調(diào)節(jié)參數(shù)，使模型對(duì)疫情后期的預(yù)測(cè)擬合更加符合實(shí)際情況。

在加入調(diào)節(jié)參數(shù)過程中，考慮到疫情后期的易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群變化趨勢(shì)逐漸穩(wěn)定，感染人數(shù)減少，治愈人數(shù)增多，疫情整體呈現(xiàn)好轉(zhuǎn)趨勢(shì)，將調(diào)節(jié)參數(shù) γ針對(duì)易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群的不同時(shí)刻總數(shù)進(jìn)行調(diào)整，通過對(duì)易感人群、潛伏人群、確診人群、治愈人群的二次影響反映疫情穩(wěn)定后的ΔSq(t)， ΔEq(t) ， ΔIq(t) 和 ΔRq(t)變 化 趨 勢(shì)。結(jié) 合 式（2）對(duì)D-SEIR 模型進(jìn)行參數(shù)修正，將參數(shù)修正指標(biāo) γq依次加入式（2）中，修正后的D-SEIR 預(yù)測(cè)模型如式（3）所示。

根據(jù)調(diào)整后的D-SEIR 模型式（3），便可計(jì)算出疫情嚴(yán)控至復(fù)工復(fù)產(chǎn)后的確診人群變化情況ΔIq(t)和 易感人群變化情況 ΔSq(t)，以此分析模型調(diào)整后對(duì)于各地區(qū)疫情描繪的結(jié)果，并將預(yù)測(cè)趨勢(shì)與實(shí)證數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)進(jìn)行對(duì)比，分析COVID-19 傳染病在疫情后期的傳播特性。

2 D-SEIR 模型評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為了判斷D-SEIR模型對(duì)新冠肺炎S，E，I，R人群時(shí)刻變化量的擬合準(zhǔn)確度，本文以擬合優(yōu)度r2為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。r2經(jīng)常被用來分析線性回歸模型擬合結(jié)果的好壞[25]，取值在0～1 之間，值越靠近于1 表明模型對(duì)目標(biāo)變量的刻畫能力越強(qiáng)，模型擬合效果也越好。因此，本文以擬合優(yōu)度r2來判斷DSEIR 模型對(duì)S，E，I，R人群時(shí)刻變化量的刻畫程度，計(jì)算公式如式（4）所示。

式中：y為實(shí)證數(shù)據(jù)不同人群的時(shí)刻變化量 ΔSq(t)，ΔEq(t) ， ΔIq(t) ， ΔRq(t)；為對(duì)實(shí)證數(shù)據(jù)不同人群時(shí)刻變化量均值的計(jì)算；則是通過式（2）擬合出的不同人群的時(shí)刻變化量。

3 實(shí)證數(shù)據(jù)分析

3.1 數(shù)據(jù)簡介

考慮到地區(qū)感染情況的代表性和疫情期間人群流動(dòng)的特點(diǎn)，首先以市級(jí)地區(qū)為例，本文選取人群流動(dòng)多、傳播情況復(fù)雜的一線城市深圳市為研究對(duì)象；然后以省份地區(qū)為例，選取沿海省份疫情感染程度在全國居中的山東省為研究對(duì)象。最終，本文以這兩個(gè)地區(qū)的COVID-19 感染情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。其中，深圳市419 名病例，山東省558 名病例，數(shù)據(jù)包括每日病例報(bào)告時(shí)間、發(fā)病時(shí)間、發(fā)病原因、居住地、活動(dòng)區(qū)域和治愈時(shí)間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)段為省市嚴(yán)控至復(fù)工復(fù)產(chǎn)的2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日。然后通過病例的居住地和活動(dòng)區(qū)域，區(qū)分感染患者的地理區(qū)域，整理成省市流入人群和省市本地人群兩大類，代入D-SEIR 模型中。經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，詳細(xì)數(shù)據(jù)如表1所示。

其中，流入人群感染數(shù)是居住于外省市或者于外省市旅游，并在2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日來到統(tǒng)計(jì)地區(qū)的確診人群總數(shù)。本地人群感染數(shù)是本地居住人群，并且未離開過本地區(qū)的被感染人群總數(shù)，本地人群主要通過與其他潛伏或者確診人群接觸而患病。

表1 實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Tab.1 Design parameters

然后進(jìn)行時(shí)刻狀態(tài)人群分類統(tǒng)計(jì)，根據(jù)發(fā)病時(shí)間、診療出院時(shí)間、潛伏時(shí)間7 d 來判斷病例的時(shí)刻歸屬狀態(tài)，即易感人群、潛伏人群、確診人群和治愈人群中的一類，從而統(tǒng)計(jì)每一時(shí)刻的Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)數(shù)。同 時(shí)，為 了防 止 真 實(shí)數(shù)據(jù)在以1 d 為單位統(tǒng)計(jì)時(shí)可能出現(xiàn)延遲，減少模型對(duì)48 d 不同人群擬合帶來的誤差，本文實(shí)驗(yàn)確定時(shí)刻單位為2 d。基于疫情由嚴(yán)重至穩(wěn)定的這一過程，將2 月17 日之前作為模型初始數(shù)據(jù)擬合，2 月17 日后作為模型調(diào)整數(shù)據(jù)擬合。

3.2 D-SEIR 模型擬合結(jié)果

以深圳市為例，將統(tǒng)計(jì)得到的時(shí)刻S，E，I，R數(shù)量和時(shí)刻變化量代入式（2），進(jìn)行COVID-19 傳播的D-SEIR 傳播模型擬合。求解得到λq1=-0.249 2 ，εq1=-0.639 7， λq21=0.004 723， λq22=-0.789 6， εq2=-0.33， λq3=0.411 5， εq3=-14.05，λq4=0.061 57， εq4=-3.525。擬合結(jié)果如圖2 所示，再根據(jù)式（3）求得擬合優(yōu)度r2，在圖2 中進(jìn)行標(biāo)注。

從圖2 可看出 ΔSq(t) ， ΔEq(t)， ΔIq(t)的擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線）和實(shí)際數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線）貼合很近。在圖2（a）中，從黑色方塊曲線呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)來看，可以將 ΔSq的變化分為兩個(gè)階段。第1 階段是從1 月21 日—2 月10 日， ΔSq曲線由負(fù)值開始上升直至0，對(duì)應(yīng)于圖中2 月10 日這個(gè)節(jié)點(diǎn)。因?yàn)?ΔSq(t)為t時(shí)刻易感人群相較于t-1 時(shí)刻的變化量，此時(shí)易感人群不斷被感染， ΔSq(t)小于ΔSq(t-1)，所以第1 階段為負(fù)值。第2 階段是從2 月10 日—2 月17 日， ΔSq的值始終為0。因?yàn)樵?19 名人員中易感人群已經(jīng)被全部感染，沒有健康人員的存在，所以時(shí)刻變化量 ΔSq始終為0。從紅色圓圈曲線來看，擬合結(jié)果對(duì)應(yīng)了 ΔSq的兩階段變化趨勢(shì)，在2 月10 日前曲線上升，2 月10 日后一直為0，對(duì)于易感人群各時(shí)刻的變化量ΔSq(t)擬合結(jié)果很準(zhǔn)確， ΔSq的 擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.966 1，與1 很相近，表明擬合效果優(yōu)。在圖2（b）中，黑色方塊曲線的變化趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—1 月25 日，曲線 ΔEq迅速下降，并從正值變?yōu)樨?fù)值，其中曲線最高節(jié)點(diǎn)1 月21 日為正值，此時(shí)疫情剛爆發(fā)，人群還在大范圍流動(dòng)，造成了病毒傳播潛伏人群的增多，而后隨著隔離，病毒傳播被控制，潛伏人群也減少。第2 階段為1 月25 日—2 月17 日， ΔEq開始呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，并向0 逐漸靠近，潛伏人群最終逐漸減少并最后穩(wěn)定下來，但還是有少數(shù)未發(fā)現(xiàn)的潛伏病例在波動(dòng)。紅色圓圈曲線在 ΔEq的擬合上也很準(zhǔn)確刻畫潛伏人群變化量的走向，復(fù)現(xiàn)了1 月25 日前下降、后上升并穩(wěn)定在0 的趨勢(shì)，擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.823 4，與1 相近，模型擬合效果較準(zhǔn)確。

圖2 深圳市D-SEIR 模型擬合圖Fig.2 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR model

在圖2（c）中， ΔIq的黑色方塊曲線則一直下降，但在1 月21 日—2 月4 日之間為正值，也就是在這期間每天感染人數(shù)的變化量都為正值，說明感染人數(shù)一直在增加，這也對(duì)應(yīng)疫情剛爆發(fā)時(shí)感染人數(shù)迅速增多的實(shí)際情況。而在2 月4 日—2 月17 日之間， ΔIq則下降為負(fù)值并且絕對(duì)值越來越大，說明疫情管控和治療開始有效，感染人數(shù)在不斷減少并且每天減少的變化量越來越大。ΔIq擬合數(shù)據(jù)的紅色圓圈曲線也從1 月21 日開始迅速下降，在2 月4 日后變?yōu)樨?fù)值，與真實(shí)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)相近，擬合優(yōu)度r2值達(dá)到0.847 4，與1 也相近，擬合效果較好。從圖2（d）中來看， ΔRq的黑色方塊曲線趨勢(shì)則可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—2 月4 日，疫情前期治療手段還不明確，治愈人數(shù)很少，治愈人群時(shí)刻變化量 ΔRq都在0 的周圍波動(dòng)。第2 階段則為2 月4 日—2 月17 日，ΔRq出現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)，治療手段的采取都開始起效， ΔRq為正值并大幅度上升。對(duì)比來看，ΔRq的紅色圓圈擬合結(jié)果曲線則是先上升后下降的趨勢(shì)，與實(shí)際數(shù)據(jù)貼合的結(jié)果則不是很好，擬合優(yōu)度r2值為0.261 0，結(jié)果與1 較遠(yuǎn)。分析原因可能是治療強(qiáng)度的外在因素，影響了感染患者單靠自身治愈的結(jié)果，使得 ΔRq不能單由Iq(t-1)準(zhǔn)確擬合，因此r2的結(jié)果與1 相差較遠(yuǎn)。

再以COVID-19 在山東省的傳播為例分析其傳播規(guī)律，將詳細(xì)數(shù)據(jù)處理得到的S，E，I，R人群時(shí)刻變化量，代入式（2），進(jìn)行D-SEIR 傳播模型擬合。求解得到 λq1=-0.178 1， εq1=-3.222， λq21=0.001 062，λq22=-0.293 6 ，εq2=-4.811，λq3=0.479 1，εq3=-34.56， λq4=0.073 73， εq4=0.444。擬合結(jié)果和擬合優(yōu)度r2如圖3 所示。

由 圖3 可 看 出， ΔSq， ΔEq， ΔIq， ΔRq的 擬 合趨勢(shì)（紅色圓圈曲線）和實(shí)際數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線）貼合都很近。在圖3（a）中，易感人群變化量 ΔSq的黑色方塊曲線一直呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，將它分為2 階段。第1 階段為1 月24 日—2 月9 日， ΔSq曲線由負(fù)值開始上升直至到0，對(duì)應(yīng)于圖中的2 月9 日節(jié)點(diǎn)。第2 階段為2 月9 日—2 月17 日， ΔSq曲線在0 附近小范圍波動(dòng)，此階段疫情管控和治療到位，新增被感染的易感人群也逐漸減少，停留在0 附近。從 ΔSq的模型擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線）來看，擬合結(jié)果也刻畫了易感人群變化量的時(shí)間趨勢(shì)，從1 月24 日開始曲線穩(wěn)定上升，與黑色方塊曲線趨勢(shì)對(duì)應(yīng)，小范圍波動(dòng)有偏離，擬合優(yōu)度r2值為0.856 7，與1 較近，基本通過模型復(fù)現(xiàn)了 ΔSq的走勢(shì)。由圖3（b）可發(fā)現(xiàn)， ΔEq的黑色方塊曲線的趨勢(shì)并不穩(wěn)定，兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間波動(dòng)較大，但整體還是先下降后上升，也可分為2 階段：第1 階段為1 月21 日—2 月3 日，曲線趨勢(shì)下降，從正值變?yōu)樨?fù)值，1 月21 日為正值，潛伏人群增多后為負(fù)值，潛伏人群逐漸減少。第2 階段為2 月3 日—2 月17 日， ΔEq曲線呈現(xiàn)上升趨勢(shì)并最后停留在0 左右，病毒傳播的潛伏人群基本已得到管控。紅色圓圈曲線在 ΔEq的擬合上則描繪了潛伏人群變化量的走向，1 月21 日—2 月3 日下降、2 月3 日—2 月17 日上升并穩(wěn)定在0，擬合優(yōu)度r2值為0.410 4，雖然趨勢(shì)得到復(fù)現(xiàn)，但因?yàn)檎鎸?shí)數(shù)據(jù)的波動(dòng)使得r2并不太佳。

圖3（c）中， ΔIq的黑色方塊曲線趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月24 日—2 月7 日，感染人數(shù)變化量 ΔIq為正值并逐漸下降，也就是說感染人數(shù)在逐漸增加但是增加的人數(shù)逐漸減少；第2 階段為2 月7 日—2 月17 日之間， ΔIq開始下降為負(fù)值且絕對(duì)值越來越大，感染人數(shù)逐漸減少并且減少的趨勢(shì)越來越快。 ΔIq模型擬合數(shù)據(jù)（紅色圓圈曲線）也顯示在1 月24 日—2 月7 日為正值下降，2 月7 日后則為負(fù)值下降，與真實(shí)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)相近，擬合優(yōu)度r2值也達(dá)到0.879 5，擬合效果不錯(cuò)。圖3（d）中， ΔRq的黑色方塊曲線趨勢(shì)也可分為2 階段：第1 階段為1 月24 日—2 月1 日，曲線平緩值為0 左右，治愈人數(shù)尚少；第2 階段則為2 月1 日—2 月17 日，ΔRq出現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)，治愈人數(shù)逐漸增多， ΔRq為正值并大幅度上升。對(duì)比來看， ΔRq的紅色圓圈擬合結(jié)果曲線則是先上升后下降，與實(shí)際數(shù)據(jù)貼合的結(jié)果不是很好，擬合優(yōu)度r2值為0.694 5，但是與真實(shí)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)還是有差別，貼合不好，因此 ΔRq由Iq(t-1)來刻畫趨勢(shì)顯得還不太夠。

圖3 山東省D-SEIR 模型擬合圖Fig.3 Fitting diagram of Shandong D-SEIR model

3.3 疫情穩(wěn)定后D-SEIR 模型調(diào)整結(jié)果

基于疫情嚴(yán)重時(shí)期建立了D-SEIR 傳播模型和式（3）的調(diào)整模型，本文將其運(yùn)用于疫情后期COVID-19 傳播擬合預(yù)測(cè)。由于疫情各個(gè)時(shí)間段的感染人數(shù)不同，傳播效力也不一樣，尤其是在疫情后期感染人數(shù)迅速減少，隔離和復(fù)工復(fù)產(chǎn)也有影響因素，因此通過式（3）調(diào)節(jié)參數(shù)的求解使模型更加符合COVID-19 的整體傳播趨勢(shì)，調(diào)節(jié)參數(shù)結(jié)果如表2 所示。再將表2 結(jié)果代入式（3）預(yù)測(cè)Iq，ΔSq， ΔIq，結(jié) 果 如 圖4 所 示。同 時(shí) 通 過 式（3）求得擬合優(yōu)度r2，如圖4 所示。

從圖4 中可以發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的模型對(duì)于深圳市和山東省的Iq， ΔSq， ΔIq的描繪曲線趨勢(shì)都很貼合，真實(shí)數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線）與擬合數(shù)據(jù)（紅色圓圈曲線）的變化趨勢(shì)一致。以深圳市為例，圖4（a）中Iq的黑色方塊曲線與紅色圓圈曲線趨勢(shì)可分為3 個(gè)階段。第1 階段1 月19 日—2 月5 日Iq迅速上升，COVID-19 擴(kuò)散感染情況越來越嚴(yán)重，確診人群數(shù)量一直上升。第2 階段2 月5 日—2 月17 日，Iq則出現(xiàn)下降趨勢(shì)，確診人數(shù)隨著控制和治療逐漸減少，疫情擴(kuò)散得到控制。第3 階段2 月17 日—3 月6 日，Iq下降并趨于平穩(wěn)，在2 月25 日節(jié)點(diǎn)開始一直穩(wěn)定，再無新增和減少，疫情已經(jīng)完全得到控制，剩下部分人群是在接受治療的確診人群。擬合預(yù)測(cè)紅色圓圈曲線在Iq上面的第一、二階段趨勢(shì)高度一致，除去第3 階段的平穩(wěn)有偏離。圖4（b）中從 ΔSq的黑色曲線變化趨勢(shì)來看，紅色圓圈曲線在2 月9 日節(jié)點(diǎn)前穩(wěn)定上升，2 月9 日節(jié)點(diǎn)后也穩(wěn)定在0 左右，復(fù)現(xiàn)了真實(shí)數(shù)據(jù) ΔSq黑色方塊曲線的變化趨勢(shì)，r2則比不加調(diào)節(jié)參數(shù)時(shí)高，為0.971 2，無調(diào)節(jié)參數(shù)時(shí)圖2（a）中為0.966 1。再觀察圖4（c）中 ΔIq的變化趨勢(shì)，黑色方塊曲線與紅色圓圈曲線皆呈現(xiàn)先下降后小幅上升的趨勢(shì)，也是由正值逐漸下降為負(fù)值，確診人群的數(shù)量由不斷增加變?yōu)椴粩鄿p少。在2 月17 日—3 月6 日階段，因?yàn)楹谏綁K曲線 ΔIq由最低點(diǎn)上升后平穩(wěn)，確診人群數(shù)量在減少，調(diào)整過程為了平穩(wěn)上升過程中的點(diǎn)波動(dòng)，所以在這階段曲線稍許偏離，對(duì)比圖2（c）中 ΔIq的 擬合結(jié)果，r2雖有一些下降，由0.847 4 變?yōu)?.818 0，但是在穩(wěn)定后的確診人群的演化趨勢(shì)上更貼合。

表2 調(diào)節(jié)參數(shù)結(jié)果表Tab.2 Adjustment parameter results

圖4 深圳市D-SEIR 修正模型擬合圖Fig.4 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR modified model

再觀察D-SEIR 模型在疫情穩(wěn)定后的調(diào)整模型對(duì)山東省的傳播擬合結(jié)果，如圖5 所示。從圖5（a）中可發(fā)現(xiàn)中Iq的黑色方塊曲線與紅色圓圈曲線也共同呈現(xiàn)先上升后下降2 階段趨勢(shì)，第1 階段1 月21 日—2 月9 日，感染人數(shù)不斷上升，并在2 月9 日節(jié)點(diǎn)達(dá)到最高峰，山東省此時(shí)感染情況最嚴(yán)重。第2 階段2 月9 日—3 月3 日，感染人群數(shù)量開始迅速下降，不過沒有趨于平穩(wěn)的趨勢(shì)，但山東此時(shí)疫情也已經(jīng)得到基本控制，修正后的模型曲線紅色圓圈曲線在這期間也與黑色方塊曲線十分貼近，復(fù)現(xiàn)了感染人群數(shù)量變化走勢(shì)。圖5（b）中則對(duì)模型修正后的易感人群變化量 ΔSq進(jìn)行描繪，根據(jù)曲線趨勢(shì)也可分為2 階段，第1 階段1 月23 日—2 月17 日， ΔSq為負(fù)值并一直上升，直至為0，易感人群被感染的變化量一直在減少，直至疫情穩(wěn)定后在無易感人員被感染，變化量為0。第2 階 段2 月7 日—3 月1 日， ΔSq一 直在0 左 右波動(dòng)，被感染的易感人員在疫情穩(wěn)定后就更少，只是少數(shù)被感染。從兩階段來看模型修正的擬合結(jié)果（紅色圓圈曲線）與真實(shí)數(shù)據(jù)（黑色方塊曲線）很貼近，擬合優(yōu)度r2達(dá)到0.861 5，比圖3（a）中的擬合優(yōu)度r2值0.857 6 有提高，描繪結(jié)果更為準(zhǔn)確。而圖5（c）中確診人群變化量 ΔIq在整體下降，也可分為2 階段，第1 階段1 月23 日—2 月7 日，ΔIq為正值并逐漸下降，確診人群的增加變化量逐漸減少。第2 階段2 月7 日—3 月1 日， ΔIq為負(fù)值并后期逐漸穩(wěn)定，感染人數(shù)在下降并最后穩(wěn)定在接受治療的感染人群總數(shù)上，無新增感染人員。兩階段調(diào)整后的紅色圓圈擬合趨勢(shì)也更貼合黑色方塊曲線的走向，擬合優(yōu)度r2為0.912 2，比圖3（c）中未調(diào)整前的r2值0.879 5 提高，刻畫確診人群變化情況更為準(zhǔn)確。

圖5 山東省D-SEIR 修正模型擬合圖Fig.5 Fitting diagram of Shandong D-SEIR modified model

4 結(jié)束語

本文根據(jù)嚴(yán)控至逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間不同階段的COVID-19 感染情況，提出一種考慮地區(qū)之間人口流動(dòng)和地區(qū)內(nèi)部人口流動(dòng)狀態(tài)的疫情傳播D-SEIR 模型。通過綜合考慮在人群流動(dòng)之下，構(gòu)建D-SEIR 模型利用易感人群被感染的變化量和潛伏人群的變化量，擬合預(yù)測(cè)疫情在嚴(yán)重至穩(wěn)定期間的易感人群和確診人群的演變趨勢(shì)。經(jīng)過深圳市和山東省的實(shí)證數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的D-SEIR 模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)COVID-19 傳播過程中的易感人群和確診人群演化趨勢(shì)。根據(jù)疫情未轉(zhuǎn)變穩(wěn)定前的傳播情況，深圳市對(duì)易感人群變化趨勢(shì)和確診人群變化趨勢(shì)擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.966 1 和0.847 4，山東省的擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.857 6 和0.879 5。當(dāng)疫情轉(zhuǎn)變穩(wěn)定后，深圳市對(duì)疫情整體期間的易感人群變化趨勢(shì)和確診人群變化趨勢(shì)擬合優(yōu)度r2可達(dá)0.972 0 和0.818 0，山東省的擬合優(yōu)度r2則可達(dá)0.861 5 和0.912 2。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可發(fā)現(xiàn)本文模型對(duì)于COVID-19 在人群流動(dòng)下的傳播規(guī)律刻畫準(zhǔn)確，可為復(fù)工復(fù)產(chǎn)背景下不同城市和地區(qū)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警提供決策依據(jù)。但同時(shí)本文的模型還可以更加完善，比如對(duì)于治愈人群和確診人群的關(guān)系、治療因素對(duì)疫情傳播的抑制作用、流動(dòng)人群中確診人群的存在對(duì)疫情擴(kuò)散的影響等，這些工作將在以后的研究中再作更細(xì)致的分析。