思政元素與函數曲線凹凸性教學的有機融合

閆偉杰

(浙江同濟科技職業學院 基礎部，浙江 杭州 311231)

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要堅持把立德樹人作為中心環節，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人，全方位育人，努力開創我國高等教育事業發展新局面?！盵1]數學問題往往來源于實際生活。正如文學家懷特所說：“數學真理既是人所發現的，又是人所創造的，它們是人類頭腦的產物?！睌祵W課程教學倘若直接導入概念，學生往往難以接受，只有將知識點與具體實際相融合，才能激發學生的積極性，也能讓學生充分理解數學與生活的緊密聯系，進而為學生利用數學理論服務生活打下基礎。為了更好地把思政元素融入課堂[2-4]，貫徹習近平總書記講話精神，本文結合“高等數學”課程理論性強、抽象性高、學習時間長等特點，探究函數曲線凹凸性教學與思政元素的結合點。

1 數學問題的導入

杭州灣跨海大橋已建成10年。該橋北起浙江嘉興，南至浙江寧波，是目前世界上長度第三的跨海大橋。大橋南航道約1.7公里延伸處的“海天一洲”展望臺是大橋的點睛之作。登高望遠，看長橋寢波，聽海潮翻滾，大橋在海面上呈優美的曲線，活潑生動，是一場震撼人心的視覺盛宴。作為世界級的工程，工程建設解決了許多棘手的技術難題。大橋建設者們獲得了250多項技術革新，打破了國外的技術壟斷，取得了9項核心自主創新成果，其中多項成果達到世界領先水平，為國內外同類橋梁的建設提供了寶貴經驗，不僅體現了中國人民的智慧，也體現了建設者們愛崗敬業的奉獻精神和精益求精的“工匠精神”。在教學過程中，教師以視頻和PPT課件的方式呈現給學生，借此鼓勵學生要學習建設者們難能可貴的品質， “立鴻鵠之志”“求科學真知”“練過硬本領”，將來為祖國建設貢獻自己一份力量。

教師借由杭州灣跨海大橋的外形(如圖1所示)，引發學生思考：按照兩點之間線段最短的理論，大橋為什么沒有設計成直線形，而是設計成彎彎曲曲的形態呢？在此基礎上，向學生介紹一些其他學科相關知識，讓學生感受到數學與其他學科的緊密聯系。同時告誡學生：決定事物的成因往往不止一個，在分析問題時應該全面、透徹，要透過現象發現事物的本質。杭州灣和亞馬遜河口、恒河河口并稱為世界三大強潮海灣，氣候環境非常復雜，經常有臺風、亂流。為了減輕海潮對橋墩的沖擊，減少大橋對錢塘江大潮的影響，同時借鑒西湖蘇堤“長橋臥波”的理念，曲線造型比直線更具美感并且有助于車輛安全駕駛，所以杭州灣跨海大橋被設計為彎彎曲曲的形態。

圖1 杭州灣跨海大橋

基于此情景，筆者設計問題[5]：現有杭州灣跨海大橋部分施工段的初步設計方案(如圖2所示)由于沒有充分考慮大橋的美觀以及駕駛員安全行駛的問題，在連接兩端曲線時，采用了直線連接的方式?，F請學生對已有方案進行改進，使方案更加合理。通過創設問題，使學生充分參與到教學過程中，激發了學生的好奇心，發揮了學生的主觀能動性。

圖2 創設問題圖

2 教學問題分析

為了解決所提出的問題，我們需要對曲線加以研究。鑒于學生已經學習過函數的特性，具備了分析函數圖像的基本能力,因此，我們把函數曲線分為兩類進行研究:一類開口向上(如圖3所示)，另一類開口向下(如圖4所示)。

圖3 開口向上的曲線圖

圖4 開口向下的曲線圖

為了更好地描述曲線的性態，我們需要引入函數圖像的一個新概念：函數曲線的凹凸性。下面將通過分析弦與弧的位置關系、切線與弧的位置關系引導學生給出函數曲線凹凸性的定義以及曲線凹凸性判斷的代數方法。

2.1 弦與弧的位置關系

從簡單入手，通過作圖讓學生直觀地體會到弦與弧的位置關系，啟發學生思考。對于開口向上的曲線(如圖5所示)，可以得出它們的相同之處在于：光滑曲線上任意兩點之間的弧段總在這兩點連線的下方，我們把具有這種特性的曲線稱為凹的；相應的，對于開口向下的曲線(如圖6所示)，不難發現，曲線上任意兩點之間的弧段總在這兩點連線的上方，我們把具有這種特性的曲線稱為凸的。由以上分析，繼續引導學生將這種通過幾何直觀得到的結論轉化為數學語言。

圖5 弦與開口向上曲線位置關系圖

圖6 弦與開口向下曲線位置關系圖

以圖5中的曲線為例，曲線上任意兩點之間的弧段總在這兩點連線的下方(兩端點除外)，則弧的中點一定位于它所對應的弦的中點的下方，將其轉化為代數關系，可以得到凹曲線的定義：

設函數f(x)為定義在區間I上的函數，若對曲線上任意兩點x1、x2，總有

則稱函數f(x)在區間I上的圖像為凹的。相應地，給出凸曲線的定義：

設函數f(x)為定義在區間I上的函數，若對曲線上任意兩點x1、x2，總有

則稱函數f(x)在區間I上的圖像為凸的。

不難發現，利用上述定義判斷函數曲線的凹凸性比較復雜。由此繼續引發學生思考：是否存在簡單的判斷方法？

2.2 切線與弧的位置關系

借助畫圖工具，作圖7，啟發學生觀察和思考：能否利用切線與弧的關系，推出函數曲線凹凸性的判別方法？學生通過討論，得到結論：如圖7所示，對于凹曲線，其切線位于曲線的下方；對于凸曲線，其切線位于曲線的上方。通過PPT動畫演示，進一步引導學生發現規律：如果曲線f(x)在(a,b)內是凹的，則切線的斜率是一個遞增的函數；如果曲線f(x)在(a,b)內是凸的，則切線的斜率是一個遞減的函數。因此，利用函數的二階導可以得到如下結論：設函數f(x)在(a,b)內具有二階導數，如果函數f(x)

(1) 在(a,b)內f″(x)>0，則曲線y=f(x)在區間(a,b)內是凹的；

(2) 在(a,b)內f″(x)<0，則曲線y=f(x)在區間(a,b)內是凸的。

圖7 切線與弧的位置關系圖

通過職教云布置練習題，讓學生掌握利用函數的二階導數判斷函數曲線凹凸性這種方法。同時，引導學生總結利用定義判斷函數曲線凹凸性與利用函數的二階導判斷函數曲線凹凸性的利弊。最后，通過對問題的分析，讓學生體會到人生哲理：遇到問題應該沉著冷靜，認真思考，從已知入手，用自己的已有知識來解決問題。處理問題應該由易到難，把問題分解，各個擊破，最終解決問題。

3 預設問題求解

通過問題分析，我們得到了函數曲線凹凸性的定義及其判別方法。回到開始的問題，引導學生繼續思考，要想設計更為合理的方案，則需要考慮多方面因素：海洋的底部丘陵起伏、盡量減少駕駛員的疲勞感、大橋設計的美觀性、海洋中的洋流和海流等[6-7]。通過分析可得，將圖2中的直線部分設計為水平的光滑曲線更為合理。進一步判斷可知，該水平光滑曲線的一階導函數是單調遞減的，即二階導函數小于零。因此，我們利用函數曲線凹凸性的判別方法得出該曲線應該為凸曲線。但不同彎曲程度的凸曲線有許多種，要了解這方面知識就需要對曲率和曲率半徑進行學習。

通過對問題的分析和求解，讓學生體會到數學知識的完整性與系統性，體會到每一個“國之重器”的建設者都需要具備扎實的理論基礎。只有努力學習，才能為實現中華民族偉大復興貢獻自己的力量。課后，教師請學生繼續收集有關函數曲線凹凸性的案例，讓學生深切感受到科技的發展離不開數學，培養學生們在生活中思考數學的思維。

4 結語

思政元素融入課堂，是一種全新的授課方式，需要教師不斷學習與思考，采用合理的方式方法，自然地與授課內容相結合。本文首先以杭州灣跨海大橋為導入，向學生們展示國家超級工程，增強學生的民族自尊心和自豪感，激發學生的學習興趣，提高學生學習的主動性。其次，通過創設問題，使學生充分參與到教學過程中來，激發學生的好奇心，增加師生之間的互動。再者，采用由易到難的方法，通過簡單的幾何模型，啟發學生導出函數曲線凹凸性的定義以及判斷方法，讓學生體會人生哲理的同時實現教學目的。最后，通過利用所學知識解決所提出的問題，讓學生體會到學習的快樂，激發學生的學習熱情。

生活中有許多與函數曲線凹凸性有關的案例，比如導彈軌跡設計、高空輸電線施工、高鐵建設、港珠澳大橋設計等。通過數學知識的教學，使學生在學習專業知識的同時，對國家取得的舉世矚目的成就有了更深入的了解，增強了民族自信心和自豪感。

在高等數學中還有許多與思政元素結合的知識點。比如：劉徽的割圓術、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必達法則、牛頓-萊布尼茲公式等。通過課程思政元素的融入，讓學生感受到數學家們所取得的偉大成就，并引導學生把崇高的理想與務實精神結合起來，打好堅實基礎，學好過硬本領，將來為實現人生理想不懈奮斗。此外，在極限概念的講授中，教師還可以引入運動與靜止的辯證關系思想，引導學生改變思維習慣，用動態的觀念去研究世界；在定積分概念的講授中，可以引入量變到質變的辯證關系思想，引導學生在學習上要厚積薄發，生活中要防微杜漸；在學習第二曲面積分時，可以與三峽大壩的流量問題[8]相結合，使學生感受到數學知識的實用性與無窮魅力，使學生增加對數學的熱愛。