線性回歸與神經網絡組合模型實現變形預測

夏顯文，褚成鳳，郭際明

（1.中交第三航務工程局有限公司，上海 200032；2.武漢大學測繪學院，湖北 武漢 430079）

0 引言

變形監測是利用各種測量技術獲得觀測數據，經過數據處理和建模分析得到變形量及變形趨勢，為工程施工和運營提供重要的安全信息。變形監測數據建模的單一模型方法主要有回歸分析[1]、時間序列[2]、卡爾曼濾波[3]、灰色模型[4]、人工神經網絡[5]等，但由于實際施工工程較為復雜，變形監測數據受多種因素影響，單一的變形分析模型不能全面概括數據序列的所有特征，其預測精度不高，因而近十幾年，組合預測模型成為研究熱點。

對于組合預測模型而言，子模型的選擇和定權方式的選擇均能對組合預測的精度產生極大影響。關于子模型的選擇，已有研究有：小波分析和灰色模型組合[6]、線性回歸和灰色模型組合[7]、灰色模型和BP神經網絡模型組合[8]、小波分析和時間序列模型組合[9]、灰色模型和時間序列模型組合[10]、時間序列模型和BP神經網絡模型組合[11]等。關于定權方式的選擇有：熵權法[12]、最優權法[13]、IOWGA算子[14]等。本文針對太湖隧道圍堰的變形監測數據進行研究，考慮到監測點中既有隨時間線性變化分量，又有非線性變化分量，上述已有組合模型不能很好地反映這種數據特點，因而本文采用一元線性回歸和BP神經網絡兩種子模型，同時把線性和非線性分量進行考慮，分別采用經典權和IOWGA算子定權兩種方式構建了組合預測模型，對太湖隧道圍堰進行變形預測精度分析。

1 組合預測模型

1.1 變形監測模型選擇方法

常用的變形監測模型有回歸分析、灰色模型、時間序列、BP神經網絡等。其中，回歸分析是線性變形監測模型，而BP神經網絡是非線性變形監測方法，兩者相互補充，因此本文選擇這兩種變形監測模型作為組合預測模型的子模型。

1）一元線性回歸

監測點隨時間線性變化的趨勢，可采用一元線性回歸模型來表達[15]。

式中：xt為監測點在時間t的觀測值；a0和a1為模型參數；εt為預測誤差。

2）BP神經網絡

BP神經網絡由輸入層、隱含層、輸出層構成，其中隱含層可有多層，同一層神經元之間不存在連接關系，只有層與層之間相互連接。BP神經網絡模型圖見圖1。

圖1 BP神經網絡模型圖Fig.1 BP neural network model diagram

具體過程為：第一步為正向傳播過程：輸入向量，根據初始隨機設置的各神經元的權系數將向量先向前傳播到隱含層，經過激活函數，再根據隨機設置的權比把隱含節點的輸入信息傳播到輸出節點，最后輸出結果。第二步為反向傳播過程：將輸出的結果與目標結果進行對比分析并設置一個閾值，若輸出結果與目標結果的差異超出該閾值范圍，則進行反向傳播，即將在初始權分配的基礎上重新調整各層神經元之間的權重分配。然后再進行正向傳播，對比分析該次正向傳播過程輸出的結果與實測結果之間的差異，若在閾值之內，則直接輸出，否則重復上述過程[16]。

1.2 定權方法

組合預測模型的關鍵在于各個單一變形監測模型的定權方式，選擇合適的定權準則，可以有效地提高模型擬合、預測精度。

1）經典權

最常用的經典權定權準則是誤差平方和倒數法，即取各個模型的擬合預測值數據序列和實際觀測序列的殘差序列的平方和的倒數[17]。一般殘差數據序列的平方和越大，說明該變形監測模型的擬合值與原始觀測數據差異性越大，即該變形監測模型的預測精度越低，將其作為子模型參與組合模型，應對其賦予較小的權系數，故取其倒數。該方法的數學模型如下：

式中：xt為時間t的實際觀測值；xit和eit分別為第i種單一模型在時間t的模型擬合值和擬合殘差；n為選取的計算觀測值殘差的個數。

2）IOWGA算子

IOWGA算子的定義如下：

假設存在m個二維數組（[d1，b1]，[d2，b2]，…，[dm，bm]），若有：

則稱IOWGAP是由誘導值序列d1，d2，…，dm所產生的維誘導有序加權幾何平均算子（Induced Ordered Weighted Geometric Averaging Operator），簡稱IOWGA算子。其中，pi是與算子相關的權系數，且滿足：

di是bi的誘導值，將誘導值序列按照從大到小的順序進行排列，則d-index（i）是從大到小排列的誘導值序列的第i個大的誘導值的下標。IOWGA算子是對從大到小順序排列誘導值序列所對應的排序后的實測數據序列進行有序加權幾何平均，pi與bi的大小以及在原始數據序列中的位置無關，只與其誘導值di在原始誘導值序列中的位置有關[18]。

IOWGA算子的建立流程如下：

式中：xt為實際觀測值數據序列；xit為第i種單一變形監測模型在第t時刻的模型擬合值；dit表示第i個單一變形監測模型在第t時刻的擬合精度，且dit∈[0，1]。把各單一變形監測模型的擬合精度dit作為擬合值的誘導值。于是，m種單一變形監測模型第t時刻的擬合精度dit和該時刻所對應的擬合值xit就構成了m個二維數組[dit，xit]，i=1，2，…，m。

按照從大到小的順序對誘導值序列d1t，d2t，…，dmt進行排序，設第i個大的誘導值的下標為d-index（it），則由擬合精度序列d1t，d2t，…，dmt作為誘導值建立的第t時刻的IOWGA組合模型擬合值為：

設矩陣P=（p1，p2，…，pm）T為基于IOWGA算子的組合預測模型中的權系數向量矩陣，在式（7）和殘差的平方和最小的約束條件下，利用MATLAB中的最優化工具箱即可求解權因子的具體數值[9]。

根據預測的連續性原則，在求解得到建模數據的IOWGA組合預測模型的權系數后就可以進行預測。

1.3 效果評價方法

隨著組合預測模型的發展，越來越多的定權方式被提出，為了評價其模型擬合及預測的效果，目前常用的精度評價指標[19]有：

1）平均絕對誤差

2）中誤差

2 應用實例分析

太湖隧道是一條高速公路隧道，位于常州至無錫之間。該隧道于2018年1月開始施工，預計2021年底完成，建成后或將成為全國最長的水下高速公路隧道。太湖隧道采用明挖法施工，首先需要建立圍堰。施工過程中由于工況變化，可能發生圍堰變形，需要對圍堰的變形情況進行監測。采用測量機器人觀測和三維激光掃描兩種技術進行了圍堰變形監測，監測得到的觀測值為工程坐標系下的（X，Y）坐標值。本文采用位于圍堰上的2-6-099號點從2020-01-18—2020-04-06期間的58期觀測成果進行研究分析。2-6-099號點在圍堰上的相對位置如圖2所示。

圖2 監測點的相對位置圖Fig.2 The relative position graph of the monitoring points

垂直于圍堰的變形是監測工作最重要的信息，因此將（X，Y）轉換為在平行于圍堰（X′）和垂直于圍堰（Y′）這兩個方向為坐標軸的坐標值，后續進一步對Y′進行研究分析。轉換公式為式（10），幾何關系見圖3所示。

其中，tanβ=YA/XA。

圖3 坐標軸旋轉示意圖Fig.3 Diagram of rotation of axes

2-6-099號點從2020-01-18—2020-04-06期間的67期觀測成果的Y′坐標序列如圖4所示（為了清楚地展現，本文采用的數據統一減去監測點坐標的整數值）。由于太湖隧道仍在施工建設，施工工況隨時間不斷變化，監測點的位移變化與工況密切關聯，因而本文只對其做1期預測，即利用前67期觀測數據預測第68期，前68期觀測預測第69期，以此類推。但單次1期預測也存在隨機性，因此本文共做了12組1期預測，利用12組預測值和實際觀測值求差得出其中誤差，利用中誤差進行效果評價。分別建立回歸分析和BP神經網絡兩種單一變形監測模型，以及對這兩種變形監測模型分別采用經典權、IOWGA算子定權這兩種定權方式建立組合預測模型，預測結果如表1所示。

圖4 點2-6-099的開始67期Y′坐標及第68—79期的1期預測值Fig.4 The starting 67 term Y′of point 2-6-099 and the 1 step forecasting value for 68-79 term

表1 12組1期預測的實測值和模型值對比Table 1 Comparison of the measured values and model values for 1 step forecasting of 12 groups m

根據4種方式的12組預測值，計算得到相應的中誤差，結果如表2所示，從表2中可以看出：組合預測模型的預測精度優于單一變形監測模型，IOWGA算子的組合預測模型的精度又優于經典權模型。

表2 各模型預測精度評價Table 2 Evaluation of prediction accuracy of each mode

3 結語

本文利用一元線性回歸模型和非線性的BP神經網絡模型作為子模型，分別采用經典權和IOWGA算子定權法建立了組合模型，基于對太湖隧道圍堰的觀測數據進行預測精度分析，結果表明，組合預測模型的預測精度優于單一變形監測模型，組合預測模型中，IOWGA算子定權組合模型的預測精度優于經典定權組合模型的預測精度。

一元線性回歸和非線性的BP神經網絡模型按IOWGA算子定權的組合模型對既有線性變形又有非線性變形的監測數據序列具有較好的描述，用于太湖隧道施工圍堰的變形預測比已有方法取得了更好的效果。