體內無粘結預應力混凝土梁受彎承載力計算模型研究

于曉光，穆卓輝，邢國華

(1.長安大學 公路學院, 陜西 西安710064; 2.長安大學 舊橋檢測與加固技術交通行業重點實驗室, 陜西 西安710064; 3.內蒙古自治區交通建設工程質量監督局, 內蒙古 呼和浩特 010051)

對體內無粘結預應力混凝土梁的承載性能進行分析時，由于預應力筋與混凝土界面沒有粘結作用并且可以相對滑動，使得預應力筋與混凝土之間不存在應變協調關系，不符合平截面假定，導致該類混凝土梁中預應力筋的應力較難精確計算.

眾所周知，預應力筋的極限應力主要是由張拉控制應力和極限應力增量兩部分組成，其求解過程主要是應力增量的求解.目前，國內外主要采用兩類方法來對預應力筋的極限應力增量進行計算[1]：第一類是基于大量試驗數據，統計回歸分析得出影響極限應力增量計算的主要參數，提出預應力筋應力增量的經驗計算方法，如我國行業標準《無粘結預應力混凝土結構技術規程》[2]和杜拱辰、宋永發等提出的極限應力增量[3-4]的計算方法；第二類是引入一些的相關基本假定，通過理論分析，建立一個多參數的極限應力增量表達式，然后借助試驗結果確定相關參數的合理取值(范圍)，最后提出極限應力增量的修正計算方法，該類方法側重于理論分析[5-8].此外，申同生等[9]提出了用能量法求解極限應力增量的計算理論，即利用最小勢能原理，求解獲得整個系統的總勢能，然后利用能量變分原理得到力筋的極限應力增量，該方法主要用于無粘結預應力混凝土連續梁在均布荷載作用下無粘結預應力筋極限應力增量的計算，目前尚未得到廣泛應用[10-12].

本文在已有研究基礎上，基于預應力混凝土梁的整體變形、更加合理地簡化了梁曲率分布，獲得無粘結預應力筋在混凝土梁發生破壞時的應力，通過截面分析法提出了無粘結預應力鋼筋混凝土梁的受彎承載力計算模型，并與國內外77組預應力混凝土梁試件的試驗結果進行了對比.

1 抗彎承載力計算模型的提出

對于體內無粘結預應力筋混凝土梁，預應力筋的應變增量不取決于梁截面的應變，而是取決于預應力混凝土梁的整體變形.梁體的變形可由沿梁跨度方向上的曲率分布來計算.因此，確定預應力筋的應變大小首先應確定預應力混凝土梁在荷載作用下的曲率分布.

圖1(a)為計算跨徑為L的簡支梁在兩點對稱荷載作用下的受力示意圖，極限狀態下該簡支梁的簡化曲率分布如圖1(b)所示.曲率分布的簡化主要圍繞曲率的分布范圍，最早學者忽略彎剪段曲率分布，只通過考慮純彎段的極限曲率分布來計算混凝土梁的整體變形，但大量的試驗研究[13-14]表明：無粘結預應力混凝土梁除了在純彎段出現垂直裂縫外，在純彎段的外也存在大量斜裂縫，即彎剪段也應考慮曲率分布.

各國學者以此現象為基礎提出了等效塑性區域的概念，1991年Harajli 和 Hijazi[13]基于試驗結果提出兩點對稱荷載作用下預應力混凝土梁的等效塑性區的長度為：La=L0+2Lp.式中L0=L/f，通常集中荷載作用下f=∞；三分點加載下f=3；均布荷載作用下f=6；Lp為純彎段以外的塑性鉸長度，它是鋼筋屈服后，繼續加載而產生較大的塑性變形.上述等效塑性區計算公式中L0可由梁的計算跨徑和荷載形式得出，但是等效塑性鉸長度Lp的取值存在較大分歧.

圖1 對稱集中荷載作用下無粘結預應力混凝土梁Fig.1 Simply supported concrete beam prestressed with unbonded tendons under four-point loading

Baker[5]基于試驗研究，考慮鋼筋種類和混凝土強度影響系數等因素后提出的等效塑性鉸長度計算公式為

Lp=0.8k1k2(Z/dp)x

(1)

其中：k1為考慮鋼筋類型的系數，若為軟鋼取0.7，若為硬鋼取0.9；k2為考慮混凝土強度的影響系數；若fcu=13.8～41 N/mm2,k2=0.6～0.9；Z為臨界截面到反彎點的距離；dp表示預應力筋重心至受壓區邊緣的距離；x為極限狀態時截面折算受壓區高度.

Corley[15]通過試驗研究，同時考慮臨界截面到反彎點的距離Z和梁的尺寸影響，提出的等效塑性鉸的長度計算公式為

(2)

式中：Z為支座到加載點的距離；h為梁高.

Mattock[16]等進一步對Corley提出的關于塑性鉸長度的表達式進行了修正，修正后塑性鉸的長度計算公式為

Lp=0.5dp+0.05Z

(3)

上述簡化的曲率分布模型，雖然可以對預應力混凝土梁進行承載性能分析，但是仍忽略了塑性區外的曲率分布，計算得到的預應力筋應力增量值尚不夠精確[13].本文在文獻[14]的基礎上，對預應力混凝土梁沿跨度方向的裂縫分布特點(見圖2(a))進行深入剖析，簡化后的梁曲率分布如圖2(b)所示.圖2(b)中實線為預應力混凝土梁的實際曲率分布，虛線為理想化的曲率分布.假定在彎剪段曲率分布為線性分布，A(C)點曲率為開裂曲率；在塑性鉸長度內仍為線性曲率分布，B(D)點曲率即純彎段極限曲率；純彎段曲率分布簡化為矩形分布.具體將預應力混凝土梁曲率分布分解為三部分，即加載點之間距離L0，塑性鉸長度Lp，支座到塑性鉸邊緣Lj，對這三部分分別積分，即可得到與預應力筋同一高度處混凝土梁沿跨度的總應變.

圖2 無粘結預應力混凝土梁的曲率分布Fig.2 Curvature distribution for unbonded pretressed concrete beam

2 預應力混凝土梁極限承載力計算

對預應力混凝土梁正截面承載力計算時，梁破壞截面采用圖3所示的應力狀態.為了簡化計算，受壓區混凝土的理論應力圖形采用等效矩形應力圖形代換，圖中β為矩形應力圖受壓區高度x與中和軸高度c的比值[17].

(4)

式中：f′c為混凝土圓柱體抗壓強度，f′c=0.8fcu，fcu為混凝土立方體抗壓強度.

圖3 無粘結預應力混凝土梁截面應力及其合力Fig.3 Stresses and forces of unbonded prestressed concrete beam cross section

在無粘結預應力混凝土梁受彎承載力的計算分析過程中，采用的基本假設如下：

(a)兩點對稱荷載作用下混凝土梁的截面應變除無粘結預應力筋外，均符合平截面假定；

(b)預應力混凝土梁極限破壞形式為混凝土壓潰破壞，即破壞時梁頂緣混凝土達到其極限壓應變εcu=0.003后壓潰，非預應力受拉縱筋屈服，受壓鋼筋處于彈性工作應力狀態；

(c)梁開裂后，忽略受拉區混凝土的作用；

(d)無粘結預應力筋為理想彈性材料，即混凝土梁發生破壞時，預應力筋仍處于彈性階段；

(e)忽略無粘結預應力筋與孔道之間的摩擦力.

假定體內無粘結預應力混凝土梁破壞時，預應力筋仍處于彈性階段，則預應力筋的應力增量為

Δfps=EpΔεps

(5)

其中：Δfps為無粘結預應力筋的應力增量，Ep為預應力筋的彈性模量，Δεps為無粘結預應力筋的應變增量.

荷載作用下無粘結預應力筋的應力增量與混凝土梁的整體變形有關，可以通過縱向變形協調條件，即在加載過程中無粘結筋的總伸長應與其周圍混凝土的總變形相等的條件來求得，從而將求解無粘結預應力筋極限應力增量的問題轉化為求解無粘結預應力混凝土梁的極限變形問題.

圖3中任意截面處預應力筋周圍混凝土的應變增量記為Δεpc，則預應力混凝土梁的伸長量為

(6)

其中：ls為預應力筋的伸長量；l為混凝土梁中預應力筋的長度；應變增量Δεpc可按下式計算.

Δεpc=φx(dp-cx)

(7)

其中：φx為沿梁跨度方向任意截面x處的曲率；cx為截面x處中性軸高度.

2.1 預應力梁的開裂曲率

為了獲得預應力混凝土梁的簡化曲率分布，需首先計算出混凝土梁的開裂曲率.

開裂曲率計算時，混凝土單軸向受壓應力-應變本構關系采用Rüsh模型，即

(8)

其中：ε0為峰值應變，取ε0=0.002；ecu為極限壓應變，取ecu=0.003.

混凝土的開裂應變為

εcr=ftk/Ec

(9)

其中：ecr為混凝土開裂時對應的應變；ftk為混凝土軸心抗拉強度；Ec為混凝土的彈性模量.

由于混凝土的抗拉強度很低，故混凝土梁開裂時所有鋼筋仍處于彈性狀態.根據平截面假定，當受拉區混凝土開裂時，梁受壓區混凝土的最大壓應變εc、受壓鋼筋應變ε′s1、受拉鋼筋應變εs1分別為

(10)

(11)

(12)

其中：c1梁開裂時的中性軸高度，d′s為受壓鋼筋重心至受壓區混凝土邊緣的距離；ds為受拉鋼筋重心至受壓區混凝土邊緣的距離.

預應力混凝土梁開裂時，加載點附近尚未形成塑性鉸區，且彎剪段變形甚小，忽略不計，可只考慮加載點之間的梁體變形對預應力筋的影響，故無粘結預應力筋應變增量Δεps1為

(13)

其中：h為混凝土梁截面高度；L0為混凝土梁加載點之間的距離.

根據上述混凝土的本構關系，可求得混凝土梁開裂時，受壓區混凝土最大壓應力sc，由于該值較小，受壓區混凝土應力分布可簡化為三角形分布.忽略受拉區混凝土的貢獻，根據力的平衡，可得

Cc+Cs=Ts+Tpt

(14)

1/2σcbc1+A′sEsε′s=AsEsεs+Aps(EpΔεps1+fpe)

(15)

其中：b為混凝土梁截面寬度；A′s為受壓鋼筋截面面積；Es為鋼筋彈性模量；As為受拉鋼筋截面面積；Aps為無粘結預應力筋截面面積；Ep為無粘結預應力筋的彈性模量fpe為無粘結預應力筋的有效預應力.

將式(10)～(13)代入公式(15)中，可求得混凝土梁開裂時對應的受壓區高度c1，進而可計算得到混凝土梁的開裂曲率.

(16)

2.2 極限狀態下無粘結預應力筋應力求解

極限狀態下無粘結筋的總伸長應與其周圍混凝土的總變形相等，因此對簡化的曲率分布(圖2(b))中L0，Lp，Lj三個區域積分，求得與預應力筋周圍混凝土的總變形量，即為預應力筋的總伸長量.

(17)

(18)

ls3=φm(dp-c)L0

(19)

其中：ls1、ls2、ls3分別為Lj、Lp、L0區域內無粘結預應力筋周圍混凝土的總應變，Lj為圖2(b)中支座到A(C)段的距離，Lp為塑性鉸的長度圖2(b)中AB(CD)段，本文選用式(3)計算；φm為極限狀態下混凝土梁的平均曲率,φm=εcu/c，εcu為梁受壓區混凝土壓潰時的應變，取ecu=0.003，c為預應力梁破壞時的中性軸高度.

將式(17)～(19)代入式(20)中，可得混凝土梁破壞時無粘結預應力筋周圍混凝土的總應變，即無粘結預應力筋的總伸長量為

ls=ls1+ls2+ls3

(20)

相應地，混凝土梁破壞時無粘結預應力筋的平均應變Δεps、無粘結預應力筋的應力增量Δfps、無粘結預應力筋的應力fps分別為

Δεps=ls/L

(21)

Δfps=EpΔεps

(22)

fps=Δfps+fpe

(23)

2.3 無粘結預應力混凝土梁極限承載力求解

試驗表明[3,18-20]：無粘結預應力混凝土梁中除了預應力筋因與周圍混凝土發生滑移而不滿足平截面假定外，其受力特性仍具有鋼筋混凝土梁的一般特點，受彎承載力計算時仍可采用截面分析法.

圖3為體內無粘結部分預應力鋼筋混凝土梁的承載力計算簡圖.當受壓區混凝土壓潰時，非預應力受拉鋼筋屈服，受壓鋼筋處于正常工作應力狀態，預應力筋仍處于彈性階段.根據平截面假定，受壓鋼筋應變ε′s為

(24)

由力的平衡，式(24)中梁破壞時混凝土受壓區高度c可通過式(25)確定，為

Ac2+Bc+C=0

(25)

其中

A=0.85f′cbβ1

B=A′sE′sεcu+Asfy+Apsfps

C=-A′sEsd′sεcu

因此，無粘結預應力混凝土梁跨中截面極限彎矩Mu為

(26)

基于前述計算過程，先初步給出混凝土受壓區高度c初值(取梁截面高度一半)，計算出預應力筋應力增量和鋼筋應力，檢驗各內力是否滿足平衡方程.若滿足，則可根據公式(26)求得極限彎矩Mu；若不滿足，用二分法重新調整受壓區高度c，重復上述步驟直到滿足.

計算流程如圖4所示，可通過Matlab軟件編制程序實現.

圖4 受彎承載力計算流程圖Fig.4 Flow chat for the calculation of flexural bearing capacity

3 模型驗證

為了驗證本文建議模型對體內無粘結預應力混凝土梁受彎承載力分析的適用性，對國內外77根[3,4,13,19,21-24]無粘結預應力混凝土梁的抗彎承載力進行理論分析，并將計算結果與美國ACI 318規范的計算模型[25]及其他模型[21]的計算結果進行了對比，抗彎承載力試驗值與計算值的對比情況如表1所示，具體統計情況見圖5.

從表1和圖5可以看出：無粘結預應力混凝土梁受彎承載力的試驗值與計算值之比的平均值為1.047，方差為0.077，變異系數為0.073，二者吻合較好；與其他計算模型的計算結果相比，本文建議計算模型較真實地反映了預應力混凝土梁的曲率分布，可更準確的計算無粘結預應力混凝土梁的抗彎承載力.

圖5 受彎承載力的試驗值與計算值Fig.5 Test values and predicted values of the flexural strength

表1 無粘結預應力混凝土梁抗彎承載力試驗結果與計算結果對比Tab.1 Comparison of flexural strength between test results and prediction results of unbonded prestressed reinforced concrete

續表1

4 結論

(1)以兩點對稱荷載作用下無粘結預應力混凝土簡支梁為研究對象，基于混凝土梁的整體變形及塑性鉸分布特點，對預應力混凝土梁實際曲率分布進行簡化后計算了預應力筋的應力增量，提出了無粘結預應力鋼筋混凝土梁受彎承載力的計算方法；

(2)無粘結預應力混凝土梁抗彎承載力試驗值與本文建議計算值之比的平均值為1.047，標準差為0.077，變異系數為0.073，吻合較好；

(3) 與其它計算模型的計算結果相比，本文建議計算模型較真實地反映了預應力混凝土梁的曲率分布；與ACI318規范的計算模型相比，可更準確的計算無粘結預應力混凝土梁的抗彎承載力，且本文分析方法有明確的物理力學模型.