指數保費原理中風險保費的變點推斷

章 溢, 溫利民, 李志龍

(1- 江西師范大學財政金融學院，南昌 330022;2- 江西師范大學數學與統計學院，南昌 330022; 3- 海南師范大學數學與統計學院，海口 571158;4- 海南師范大學大數據科學與智慧教育重點實驗室，海口 571158)

1 引言

在非壽險精算中，如何為一份保單制定合適的價格是精算師的重要任務之一.對給定的風險隨機變量X，制定的價格R(X)的方法常常稱為保費原理.常用的保費原理包括期望值原理、方差原理、標準差原理、Esscher 保費原理、指數保費原理等.作為一種風險度量，保費原理R(X)一般需要滿足正的安全負荷、對獨立風險的可加性、對共同單調風險可加性、轉移不變性等.Young[1]總結了各種保費原理滿足哪些保費原理的性質，從文獻的整理可以看出，除了凈保費原理外，指數保費原理是滿足最多“好”的性質的保費原理.因此，指數保費原理不僅保險公司得到廣泛的運用，而且在理論上也引起了深入的研究[2,3].然而，在實際風險管理中，由于風險因素的復雜性，經過一段時間后由于環境、條件的變化，風險也可能發生變化.從而導致保費也需要相應的調整.因此，精算師有必要根據風險的觀測值情況判斷保費在某個時間點是否變動.事實上，變點統計推斷是數理統計研究的熱點問題之一.關于隨機變量的均值、方差等的變點研究已經積累了大量的文獻.早期的文獻可參考文獻[4-6].關于變點檢測的統計方法有較多的討論，例如，Bai[7]運用最小二乘法研究了時間序列中線性過程的變點估計，Xia 和Qiu[8]提出一種跳躍信息準則研究了回歸曲線的變點統計推斷問題，Bai 和Saranadasa[9]、Chen 和Qin[10]等利用矩陣的跡方法構造了高維數據中均值和方差的變點統計推斷問題.近年來，隨著大數據的提出和發展，變點檢測和統計推斷在現代統計推斷中變得越來越重要[11-14].

然而，在非壽險精算中，已經有一定的文獻研究風險模型中變點檢測及其統計推斷問題[15-18].本文將關注給定風險模型中由于風險的變化導致的指數保費的變點統計問題.若檢測到風險發生變化，則顯然要對風險的保費進行調整.因此保費的變點檢測具有非常重要的實際意義.

對給定的風險X，以及相應的若干年的相互獨立的樣本觀測值X1,X2,··· ,Xn.記Pi=R(Xi)表示風險Xi的指數保費.我們將檢驗下面的原假設

對備擇假設

若拒絕原假設而接受備擇假設H1，則顯示風險X 的指數保費在k0位置出現變點.

文章的目的之一是給出變點位置的一個估計.進而，我們將構造統計量檢驗假設H0.本文的重點是研究指數保費變點估計的相合性和收斂速度.文章后面的內容安排如下.第2 節給出指數保費原理的相關介紹.第3 節給出變點的估計及其相應的統計性質.第4 節給出統計量的模擬結果，從數值上分析統計量的收斂速度情況.

2 指數保費原理及其變點估計模型

設集合χ 表示概率空間(Ω,F,P)中可保的非負風險隨機變量集合.而X, Y, Z 表示可保風險，即為保險公司承保保單的損失額.記FX(x)為X 的分布函數.為了定義指數保費原理，本文假設風險X 具有指數階的矩，即

其中α0為某個給定的正常數.

定義1 保費原理R 定義為從χ 到實直線[0,+∞]上的一個映射，常記為

設保險公司具有初始資產w，且保險公司的效用函數為u(·).保險公司承保了風險X 后將收到保費R(X)，且保費R(X)由下面的方程的解

方程(5)左邊表示保險公司承保風險X 后的期望效用.因此方程(5)顯示保險公司在承保前后具有等價的效用.在非壽險精算中，根據方程(5)得到的解R(X)來制定保費的方法稱為期望效用保費原理.當w =0 時稱為零效用保費原理.關于期望效用原理的介紹可參考文獻[19,20]等.

盡管方程(5)有很好的經濟學解釋，但一般沒有顯示解.然而，若取指數效用函數

對任意α ∈[0,α0]，則期望效用方程(5)的解能表達為顯示的形式

定義2 對風險隨機變量X ∈χ，定義X 的指數保費原理為(7)，并稱之為風險X 的指數保費.

根據文獻[3]，指數保費R(X)滿足正的風險附加、對獨立風險可加性、無不合理附加費、極大損失性、轉移不變性、單調性、保留一階隨機控制序和停止損失序、連續型等眾多“好”的性質.從風險度量的角度來看，指數保費R(X)是一致性風險度量[21].本文不對指數保費原理的性質做進一步討論，我們的目的是檢驗假設H0對H1并給出變點估計及其統計推斷方法.

顯然，在H0成立時，

分別為P1和Pn的非參數估計.絕對偏差

反映了備擇假設H1成立時指數保費在變點前后的差異.

則變點位置k0的估計可取為

當|T(k)|的最大值在多處同時達到時，估計取這些位置估計的最小值.

3 變點位置估計的大樣本性質

一般地，我們有風險X 的n 個觀測值X1,X2,··· ,Xn.首先，我們將確定風險X 的指數保費是否存在變點.即根據樣本X1,X2,··· ,Xn的信息對假設H0對H1進行檢驗.注意到在H0成立時，有

下面給出統計量T(k)在H0成立時的漸近分布.

定理1 若α ≤α0/2，當H0成立時，若n-→∞，則有

根據不變原則有

特別地，有

根據定理1，我們得到了原假設H0成立下統計量T(k)的分布.

注2 在定理1 條件成立時，根據連續性定理，則h(x)=suptx(t)是在空間D[0,1]上連續的，我們有

即為著名的Kolmogorov 分布.

若原假設H0被拒絕，則顯示指數保費R(X)在某處k0處存在變點，則可用(10)對變點位置k0進行估計，并證明變點估計(10)的大樣本性質和收斂速度.

定理3 若對某個常數δ ＞0，有τ0∈(δ,1-δ)及k0/n-→τ0，則當H1成立時，有

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證明 對充分小的δ ＞0，根據推論1 以及τ0∈(0,1)可得

因此，對某個ε ＞0 以及充分大的n 有

為了證明(19)，只需證

對ε ＞0 以及M =M(ε)成立.因為

我們定義下面的集合

注意到

因此，只需證明

下面，我們將證明當n -→∞時，P1-→0 以及P2-→0.不損失一般性，假設k ≤k0，則由(12)得到

因此，有

由事件的分解和包含關系有

根據Chebyshev 不等式，有

因此得到

另一方面，我們有

則有

以及

因此，有P1= Pr{T(k)-T(k0) ≥0} -→0.為了證明定理，則只需證明P2-→0 即可.類似地，根據對稱性我們僅考慮k ≤k0.由式(14)得到

其中C1=Cλ.記S(k)=T(k)-E[T(k)]-(T(k0)-E[T(k0)])，則S(k)可以表達為

對k ∈Dn,M，通過事件的關系得到

因此，有

進而，根據下面的分解

并注意到|g(k)|≤1, |g(k)-g(k0)|≤C|k0-k|/n 對正常數C，有

因此得到

其中r =k0-k，而Ci, i=2,3,4 為不依賴n 的正常數. 根據Chebyshev 和Kolmogorov 不等式得到

以及

令r =k0-k，對M ≤r ≤k0以及對充分大的M 有

這表明P21-→0.對P22，由于|g(k)|≤1, |g(k)-g(k0)|≤C|k0-k|/n, n-k ＞n-k0，

將k0替換為nτ0，得到

因此，有

對充分大的n 和M，上式最后兩項均收斂到零.因此P22-→0，則完成了定理2 的證明.

注3 在風險理論中，文獻[18]建立了風險度量中EVaR 的變點統計模型，并將變點估計方法運用金融傳染模型，而文獻[19]建立了具有變點理賠過程的風險模型，給出了風險存在變點時破產概率上界.然而，他們都沒有給出變點估計的收斂速度，本文對風險X 建立了指數保費的統計模型，提出了變點是否存在的假設檢驗方法，并提出了基于指數保費的變點估計檢測統計量，給出了變點估計的收斂速度.本文給出的方法能為保險公司的保費制定提供可供使用的參考價值和依據.

4 模擬研究

因此風險X 指數保費為

對不同的樣本容量n，我們取α=0.3，在變點k0前后生成參數θ =2 和θ =6 的指數分布，計算指數保費P1,P2,··· ,Pn.根據變點估計(10)，對不同的的變點位置k0，計算精確度，經過10000 次重復模擬，得到下面三個表格，詳見表1 至表3 所示.

表1 變點估計及其精確度(k0 =)

表1 變點估計及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 3.590 6.015 10.629 20.060 49.691 100.013 200.144 p 0.6441 0.7571 0.8339093 0.8979 0.9507 0.9759 0.9872

表2 變點估計及其精確度(k0 =)

表2 變點估計及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 4.181 8.522 17.513 36.941 96.402 195.821 395.693 p 0.7605 0.8118 0.8557 0.9116 0.9603 0.9775 0.9880

表3 變點估計及其精確度(k0 =)

表3 變點估計及其精確度(k0 =)

n 10 20 40 80 200 400 800^k0 4.823 10.598 22.893 50.469 135.531 282.697 579.723 p 0.6823 0.7055 0.7612 0.8401 0.9031 0.9420 0.9661