橋梁纜索鋼絲裂紋擴展速率預測及疲勞壽命計算

王天鵬，張建仁，王磊，馬亞飛

（1.長沙理工大學土木工程學院，湖南長沙 410114；2.中南林業科技大學土木工程學院，湖南長沙 410004）

纜索作為橋梁的關鍵承重構件，其疲勞性能是橋梁設計、運維和安全評估的重要依據[1].傳統方法多基于S-N曲線，通過Weibull分布模型描述不同可靠度下纜索鋼絲的疲勞壽命[2-3].對于服役橋梁，將含有初始缺陷的裂紋擴展壽命作為結構經濟檢修期更符合“損傷容限”的設計思想，也更便于橋梁的檢測和維護，所以國內外學者對鋼絲的疲勞裂紋擴展規律進行了較多的研究.在原狀鋼絲上進行疲勞試驗最符合鋼絲的實際破壞過程，但原狀鋼絲的裂紋擴展無法直接觀測，所以需要進行電信號轉換[4]，或采用塑料制品伴隨試件裂紋擴展進行觀測[5]，這樣大大增加了試驗成本.采用染色勾線法[6]或變載刻痕法[7]在原狀鋼絲裂紋擴展過程中形成痕跡，通過斷后截面分析得到裂紋擴展規律也是可行的方法，但測試精度取決于操作人員的經驗，主觀性強.將原狀鋼絲加工成板條狀，通過單邊裂紋擴展試驗法可獲取較為精確的數據[8-9]，但纜索鋼絲直徑一般為7 mm或5 mm，使板條成型尺寸有限，所以至今橋梁纜索鋼絲疲勞裂紋擴展規律的試驗研究仍在進行中.此外，有學者以跨尺度應變能密度因子作為裂紋擴展控制參量[10-11]，建立跨尺度裂紋擴展模型分析纜索的疲勞壽命，但有些參數無法通過試驗獲取，其跨尺度變化規律只能進行假設.基于有限元分析技術，采用連續介質力學理論模擬鋼絲的損傷演化規律[12]或采用應力場強法[13]進行疲勞壽命計算，也為橋梁纜索的疲勞分析提供了有益的參考，但理論和方法的有效性還需試驗的檢驗.

由于高強鋼絲珠光體晶體在多次冷拔過程中排列方向發生改變，與普通鋼材相比其力學性能發生了較大的改變[14]，而且受高強鋼絲形狀尺寸的限制，使其疲勞裂紋擴展速率試驗十分復雜，成本高昂.本文統計分析了已有文獻的試驗數據，提出一個普遍適用性較強的鋼絲疲勞裂紋擴展速率預測模型，實例分析了新鋼絲和腐蝕鋼絲的疲勞壽命，從而節約試驗成本并可為橋梁纜索的疲勞性能分析提供參考.

1 裂紋擴展速率預測模型及參數

1.1 裂紋擴展速率模型

在線彈性斷裂力學范圍內，裂紋擴展速率可分為如圖1所示的3個區域，分別為近門檻值低速區（Ⅰ區）、中部穩態擴展區（Ⅱ區）和快速擴展區（Ⅲ區）.目前提出的諸多疲勞裂紋擴展速率模型基本上都是基于Paris公式的改進模型，本文采用可以描述Ⅰ區和Ⅱ區裂紋擴展的三參數模型：

式中：ΔK為應力強度因子范圍；ΔKth為裂紋擴展門檻值；B、m分別為疲勞裂紋擴展系數和指數.

圖1 疲勞裂紋擴展速率示意圖Fig.1 Schematic diagram of fatigue crack propagation curve

1.2 裂紋擴展系數與指數

疲勞裂紋擴展系數B和指數m是疲勞裂紋擴展的控制因素，一般情況下根據試驗結果擬合得到.鄭修麟等[15]根據考慮裂尖鈍化和力學平衡的疲勞裂紋擴展靜態斷裂模型推導出B的計算公式為：

式中：σeff為臨界斷裂應力，其值等于材料的理論斷裂強度σmax，其計算值為：

式中：E為彈性模量；γs為表面能密度；a0為相鄰原子平衡距離.冷拔珠光體鋼絲由鐵素體和滲碳體兩相組成，根據兩者的物理化學性質計算可得σmax=0.15～0.21E，其主裂紋前緣同時與多層鐵素體片和滲碳體片相交，并橫切這些片層擴展[7，14].因此對于纜索鋼絲可取中值σmax=0.18E，代入式（2）可得：

當以式（2）作為疲勞裂紋擴展系數時，由裂紋擴展的靜態斷裂模型可知疲勞裂紋擴展指數m=2.取彈性模量E=200 MPa，門檻值ΔKth取各文獻的平均值，由式（1）得到鋼絲疲勞裂紋擴展速率，與文獻[16-18]中Paris公式擬合結果（應力比R≤0.1）比較如圖2所示.疲勞裂紋擴展指數在圖中表現為曲線斜率，本文預測曲線的斜率與文獻[5-6，17]十分接近，并隨著ΔK增大各曲線逐漸趨同.雖然相比文獻[7，16]斜率偏小，但在穩態擴展區預測曲線與試驗擬合結果相差不大，文獻[18]測試方法與其他文獻不同，所得曲線斜率最大.總體上預測曲線位于所有試驗擬合曲線的中間位置，表明指數m=2是適宜的.

圖2 鋼絲裂紋擴展試驗Paris公式擬合曲線Fig.2 Paris formula fitting curve of steel wire crack propagation test

1.3 裂紋擴展門檻值

門檻值ΔKth與材料的顯微組織有關，可由疲勞極限求出[19]，當應力比R=0時：

式中：lc為斷裂單元尺寸，是一材料常數.對現有文獻[20]中屈服強度σy在1 200～2 000 MPa范圍內的高強鋼絲的疲勞試驗結果進行統計，根據R ≤0時的門檻值和疲勞極限由式（5）計算得到lc值，其與鋼絲的屈服強度σy關系如圖3所示，因此lc可以通過σy進行估算：

圖3 斷裂單元尺寸隨屈服強度變化規律Fig.3 Variation of lcwith σy

對已有文獻[21-22]鋼絲脈動疲勞極限σ0與抗拉強度σb進行統計分析，如圖4所示.盡管數據比較離散，但兩者仍表現出較明顯的線性關系，即σ0≈0.26σb，當缺少試驗數據時，可由鋼絲的抗拉強度對疲勞極限進行估算，即可對門檻值ΔKth0進行預測.

圖4 疲勞極限隨抗拉強度變化規律Fig.4 Variation of σ0with σy

應力比R對鋼絲中部穩態擴展區的影響十分微弱，因此疲勞裂紋擴展系數B和指數m可以忽略應力比的影響[6-7]，但對門檻值ΔKth的影響必須考慮.一般鋼材的平均應力σm對光滑試件疲勞極限σa的影響如圖5所示.

圖5 疲勞極限線圖Fig.5 Variation of δawith δm

鋼絲的疲勞裂紋主要由拉應力引起，因此僅考慮R ≥0的情況（CB區段），在CB上任取一點P（σm，σa），則：

式中：σa0為脈動循環R=0時疲勞極限應力σ0的幅值，即σ0=2σa0.取σ0=0.26σb代入式（7），由式（5）可得：

式（8）與其級數展開式隨應力比的變化如圖6所示.根據已有的試驗數據[23]可知，式（8）可能會高估高應力比對門檻值的影響，因此取三項級數展開式比較適宜，即纜索鋼絲不同應力比的門檻值估算式為：

圖6 裂紋門檻值隨應力比變化規律Fig.6 Variation of ΔKth/ΔKth0with R

2 模型預測結果分析

2.1 疲勞裂紋擴展速率試驗

2.1.1 試驗材料

采用直徑為7 mm的橋梁纜索用鍍鋅鋼絲，由江蘇法爾勝纜索有限公司生產.通過靜力拉伸試驗測定其基本力學性能，包括抗拉強度、屈服強度、彈性模量和斷后伸長率，如表1所示.結果表明，本試驗批次鋼絲性能指標均能滿足GB/T 17101—2008《橋梁纜索用熱鍍鋅鋼絲》的要求.

表1 試驗鋼絲的力學性能Tab.1 Mechanical properties of test steel wire

2.1.2 試驗過程

疲勞試件長度為300 mm，為使疲勞裂紋在試件中部沿橫截面擴展，在試件中間切割0.5 mm深缺口作為初始裂紋.試驗采用“變荷載刻痕法”獲取裂紋擴展速率：在應力幅0.5 σa作用下，以8 Hz循環加載5 000次獲得一定裂紋深度，保持應力比不變增加應力幅至σa，以4 Hz循環加載100次，形成寬度為Δa的條紋，此時疲勞裂紋擴展速率為Δa/100.之后再恢復到應力幅0.5 σa，重復上述過程直至鋼絲斷裂，鋼絲疲勞荷載曲線與裂紋擴展分別如圖7、圖8所示.試驗按應力比R=0.1、0.2和0.3分為3個工況，為分析應力幅的影響，每個工況按不同的應力幅σa=281 MPa、304 MPa、328 MPa和351 MPa進行加載.鋼絲斷口形成如圖9所示清晰、規律的疲勞條紋即為有效試樣，每個工況不同應力幅條件下至少一個有效試樣，共計12個有效試樣.通過對斷口的電鏡掃描分析獲得裂紋深度方向的條紋寬度Δa.

圖7 疲勞拉伸荷載曲線與“變荷載刻痕法”Fig.7 Loading curve and marked curve for the cyclic tension

圖8 鋼絲斷面疲勞裂紋擴展示意圖Fig.8 Schematic diagram of fatigue crack propagation in steel wire section

圖9 鋼絲斷面疲勞裂紋擴展形貌實測結果Fig.9 Measured results of fatigue crack growth morphology of steel wire section

2.1.3 試驗數據處理

形成疲勞條紋時裂紋擴展的平均速率為：

此時應力強度因子幅值的計算式：

式中：Δσ=2σa為應力范圍；Y為裂紋形狀因子.當鋼絲直徑為D時，裂紋形狀因子Y與相對深度a/D的關系式為[24]：

由此即可得到每個試樣的有效da/dN-ΔK數據點.

2.2 預測結果分析

根據試驗所用鋼絲的拉伸性能對其疲勞裂紋擴展速率進行預測，與試驗結果相比較如圖10所示.

圖10 試驗結果與預測曲線比較圖Fig.10 Comparison of predictive curves and experimental results

由試驗結果可知，在相同應力比的情況下，應力幅對裂紋穩態擴展區的速率沒有明顯規律性的影響，可采用同一條裂紋擴展速率曲線進行描述.盡管數據較為離散，但預測曲線總體上位于實測數據的中值附近，說明本文的預測模型可以對鋼絲的疲勞裂紋擴展速率進行有效的預測.

2.3 文獻試驗數據分析

上述試驗僅獲得了穩態擴展區的疲勞裂紋擴展速率，不能驗證預測模型在近門檻值低速區的有效性.Llorca等[6]和Zheng等[9]分別采用不同的試驗方法獲得了鋼絲近門檻值區域的裂紋擴展速率，并采用Paris和Walker公式對穩態擴展區數據進行了擬合.試驗鋼絲的力學性能和加載條件如表2所示.應用本文預測模型對試件的疲勞裂紋擴展速率進行預測，與文獻中的試驗數據比較結果如圖11所示.

表2 試驗鋼絲的力學性能和加載條件Tab.2 Mechanical properties and loading conditions of test steel wire

由比較結果可知，在近門檻值低速區預測曲線總體上與實測值吻合良好，當應力比較高時誤差略大，這是因為高應力比對門檻值影響更為復雜，樣本數據更為離散.在穩態擴展區，預測曲線略高于文獻[6]的試驗擬合曲線，斜率基本一致；與文獻[9]相比，預測曲線大部分位于50%和95%存活率之間，隨著ΔK的增大，擬合曲線逐漸高于預測曲線.文獻[6]與文獻[9]分別采用了不同的測試方法和應力強度因子計算式，本文預測公式始終采用應力強度因子與門檻值的差值作為裂紋擴展速率的控制值，這可能是與文獻[9]在穩態擴展區后段差別的原因，但此區域已接近快速擴展區，疲勞裂紋擴展壽命很短，計算時往往可以忽略.因此本文提出的模型可以對鋼絲裂紋擴展速率的近門檻值低速區和穩態擴展區進行有效預測，可用于鋼絲的疲勞壽命計算.

圖11 文獻試驗結果與預測曲線比較圖Fig.11 Comparison of predictive curves and reference test results

3 基于預測模型的疲勞壽命計算

3.1 疲勞壽命計算式

在疲勞裂紋擴展速率預測模型的基礎上，由式（1）可得裂紋擴展壽命的計算表達式：

式中：a0為初始裂紋尺寸；ac為臨界裂紋尺寸.只需確定積分上下限即可對鋼絲的疲勞壽命進行計算.

3.2 初始裂紋尺寸

疲勞總壽命分析中，通常將疲勞過程分為疲勞裂紋萌生和擴展兩個階段，短裂紋的形成和擴展組成了裂紋萌生階段.長裂紋通常指宏觀裂紋，其擴展規律可用線彈性斷裂力學進行描述.短裂紋從力學角度和物理學角度有不同的定義，概括起來說為不滿足線彈性斷裂力學有效性條件、裂紋長度不超過應力應變場范圍或者說與塑性區同一數量級的裂紋[25].為計算短裂紋區段的疲勞壽命，以等效初始裂紋aEIFS（Equivalent Initial Flaw Size）作為初始裂紋尺寸.等效初始裂紋并非構件真實存在的裂紋，引入其目的是避免計算短裂紋復雜且難尋規律的擴展速率，以等壽命原則，利用長裂紋擴展速率表達式計算疲勞全壽命[26].等效初始裂紋可根據疲勞極限和門檻值ΔKth計算：

應用時Δσf通常取107～108次循環對應的超高周疲勞極限.工程上常取2×106為指定循環次數進行疲勞試驗，直接應用可能會給出較高的疲勞壽命，導致不安全.本文采用等壽命原則，當荷載等級為工程疲勞極限Δσf時，壽命為試驗指定循環次數進行反算確定a0值，即：

3.3 臨界裂紋尺寸

臨界裂紋尺寸ac可根據斷裂韌度KC計算：

已有文獻中高強鋼絲斷裂韌度的測試數據[27-28]列于表3中，可見各試驗結果十分接近.由圖1可知，當應力強度因子最大值接近斷裂韌度時，疲勞裂紋處于快速擴展區，其只占裂紋擴展總壽命的極小一部分，故KC的取值精度對疲勞總壽命影響很小.所以若缺少鋼絲的斷裂韌度試驗值，可根據文獻的試驗數據近似取值，本文統一取文獻中斷裂韌度測試結果的平均值進行計算.

表3 斷裂韌度測試結果Tab.3 Fracture toughness test results MPa·m1/2

3.4 計算流程

已有研究成果表明，腐蝕鋼絲的強度和彈性模量基本不變，強度和塑性性能變化主要是由鋼絲截面參數的變化和材料表面硬化造成[3].所以認為腐蝕鋼絲的裂紋擴展速率不發生改變，可采用統一的裂紋擴展速率表達式.由于鋼絲裂紋形狀因子Y是與裂紋尺寸a有關的變量，等效初始裂紋尺寸和臨界裂紋尺寸的計算需要通過迭代計算獲得，并通過數值積分法計算鋼絲的疲勞壽命.利用Mathematica軟件編制計算程序，基于本文預測模型的鋼絲疲勞壽命計算流程如圖12所示.

圖12 鋼絲疲勞壽命計算流程圖Fig.12 Calculation flow chart of steel wire fatigue life

4 實例分析

4.1 新鋼絲

新鋼絲具有較為明確的力學性能，根據表4中試驗鋼絲的力學性能和加載條件[29-30]，應用本文方法計算所得的S-N曲線如圖13所示.由比較結果可知，除了局部由于試件斷于夾具處的數據導致偏差，總體上計算所得的S-N曲線與試驗數據符合較好，鋼絲疲勞壽命隨試驗荷載的變化規律由本文計算方法得到了良好的呈現.

表4 文獻[29-30]試驗鋼絲的力學性能和加載條件Tab.4 Mechanical properties and loading conditions of test steel wire of reference[29-30]

圖13 高強鋼絲計算應力-壽命曲線Fig.13 Calculated S-N curves of high-tensile steel wire

4.2 腐蝕鋼絲

對于腐蝕程度較輕、表面光滑的鋼絲，仍可采用等效初始裂紋法進行計算.文獻[31]中試驗鋼絲的力學性能、加載條件如表5所示，表中試驗鋼絲的力學性能為未腐蝕狀態參數，腐蝕率η 為同組試件質量損失率的均值.如圖14結果所示，腐蝕程度對疲勞極限產生了明顯的影響，但對荷載等級較高的短壽命區沒有太大影響.在荷載等級較低的長壽命區，計算所得的S-N曲線與試驗擬合曲線基本一致.當荷載等級較高時，產生了一定誤差，可見采用等效初始裂紋尺寸法較高地估計了疲勞極限對于短壽命區的影響，但誤差仍在可接受范圍內.

表5 文獻[31]試驗鋼絲的力學性能和加載條件Tab.5 Mechanical properties and loading conditions of test steel wire of reference[31]

圖14 銹蝕鋼絲計算應力-壽命曲線Fig.14 Calculated S-N curves of corroded steel wire

當鋼絲腐蝕較為嚴重并形成尺寸較大的銹坑時，短裂紋效應不明顯，真實的銹坑深度可以作為初始裂紋尺寸.文獻[32]中試驗鋼絲的力學性能和加載條件如表6所示，表中試驗鋼絲的力學性能為未腐蝕狀態參數.腐蝕造成鋼絲有效截面減小并在表面形成銹坑，如圖15所示.腐蝕后的鋼絲直徑和最大銹坑深度測試結果如表7所示.取每組試件的最大銹坑深度amax作為初始裂紋尺寸a0，取銹蝕后的鋼絲直徑均值DC計算幾何形狀因子Y，應用本文方法計算所得S-N曲線與試驗結果比較如圖16所示.

表6 文獻[32]試驗鋼絲的力學性能和加載條件Tab.6 Mechanical properties and loading conditions of test steel wire of reference[32]

圖15 銹蝕鋼絲直徑和銹坑深度示意圖Fig.15 Diameter of corroded steel wire and depth of rust pit

表7 試驗鋼絲的腐蝕狀態[32]Tab.7 Corrosion state of test high-tensile wire[32]

圖16 不同銹蝕程度鋼絲計算應力-壽命曲線Fig.16 Calculated S-N curves of steel wire with different corrosion degree

由圖16結果可知，隨著腐蝕程度的增加，裂紋擴展壽命在疲勞總壽命中的比例逐漸增大，裂紋萌生壽命逐漸減小，計算結果與試驗數據的符合程度因此逐漸趨好，最終裂紋擴展壽命即為疲勞總壽命.表明本文的裂紋擴展速率預測模型較為準確，鋼絲的裂紋擴展速率不會因為腐蝕發生變化，腐蝕鋼絲疲勞壽命的變化是由于初始裂紋尺寸發生改變而引起.

5 結論

本文根據相關的研究成果和試驗數據，建立了鋼絲疲勞裂紋擴展預測模型，并應用其進行疲勞壽命計算，得出如下結論：

1）根據冷拔珠光體鋼絲的微觀組織結構和裂紋擴展方式，給出了不同應力比下疲勞裂紋擴展速率三參數模型中系數B、指數m和門檻值ΔKth的確定方法，根據鋼絲的基本力學性能即可對其疲勞裂紋擴展速率進行有效預測.

2）通過“變荷載刻痕法”獲取了原狀鋼絲在穩定擴展區的疲勞裂紋擴展速率，數據與預測模型符合較好.通過與已有文獻試驗數據的比較，本文提出的預測模型可以較好地描述不同應力比下近門檻值低速區鋼絲的疲勞裂紋擴展規律.

3）鋼絲腐蝕不會對疲勞裂紋擴展速率產生影響，仍可用未腐蝕鋼絲的力學性能通過本文方法進行預測，腐蝕鋼絲疲勞壽命的變化是由于初始裂紋尺寸a0發生改變而引起.對于新鋼絲和輕微腐蝕鋼絲，可采用等效初始裂紋法進行疲勞壽命計算；當鋼絲腐蝕較為嚴重時，疲勞總壽命基本由裂紋擴展壽命構成，初始裂紋尺寸即為真實銹坑深度.由于銹坑深度分布的隨機性，宜采用最大銹坑深度進行鋼絲疲勞壽命計算.

4）為方便與試驗數據相比較，本文的預測模型參數都取為均值，所求得的是具有50%存活率的疲勞壽命.后續可對模型參數的概率分布進行分析，得到不同存活率的鋼絲疲勞壽命.橋梁纜索是一個高冗余度構件，其系統失效由每一根鋼絲逐步失效引起.本文所提出的單根鋼絲的裂紋擴展速率預測模型和疲勞壽命計算方法可為橋梁纜索的疲勞分析提供有益的參考.