中央扣對大跨懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響

李凱，韓艷?，蔡春聲，2，樊中武，林超

（1.長沙理工大學土木工程學院，湖南長沙 410114；2.路易斯安那州立大學，路易斯安那巴吞魯日LA70803；3.湖南省高速公路集團有限公司湘西分公司矮寨大橋橋隧管理所，湖南吉首 416000）

大跨懸索橋往往伴隨著柔度大、阻尼低等特點[1]，很容易受到交通、風及地震等動態(tài)環(huán)境荷載的影響，采取適當?shù)拇胧﹣砜刂苿討B(tài)載荷作用下的結構響應是其最重要的問題之一.此外，對于典型的不設置中央扣的懸索橋，在動力荷載作用下主纜與加勁梁的位移不同步甚至反向，時常導致懸索橋短吊桿彎曲及斷裂的現(xiàn)象發(fā)生.因此，在懸索橋的主纜和加勁梁跨中處設置中央扣聯(lián)結開始廣泛應用于大跨懸索橋中，它能夠在一定程度上防止跨中短吊桿的彎曲和斷裂，抑制結構動態(tài)位移響應，提高結構的力學性能.另外，中央扣的設計和使用可以追溯到New Tacoma Bridge的建設[2]，中央扣的使用能提高橋梁的抗風穩(wěn)定性.正是由于中央扣具有以上優(yōu)點且構造簡單，使其成為大跨度懸索橋的一種發(fā)展趨勢，但中央扣對顫振性能的影響機制仍是不明確的，因此探究中央扣的設置方式對懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響能夠為日后中央扣在大跨度懸索橋中的廣泛應用提供參考價值，具有重要意義.

近年來，我國已有多座懸索橋采用中央扣結構，相關的文獻報道多集中于中央扣對懸索橋固有模態(tài)和抗震性能的改變，而關于中央扣對懸索橋抗風穩(wěn)定性的影響則鮮有報道.徐勛等[3-4]等基于有限元分析發(fā)現(xiàn)中央扣能夠明顯提高懸索橋一階反對稱扭轉和縱飄振型的頻率.Qin等[5]也采用有限元法得到了與上述類似的結論.胡騰飛等[6]通過矮寨大橋氣彈模型動力測試研究發(fā)現(xiàn)反對稱側彎頻率隨中央扣剛度的增大而增加，中央扣能夠提高懸索橋的整體剛度，其中以反對稱扭轉和縱向振動頻率提升最為顯著，進一步驗證了上述基于有限元分析的部分結論.此外，彭旺虎等[7]通過理論研究發(fā)現(xiàn)主纜彈性剛度與主纜重力剛度、加勁梁剛度之和的比值決定了第一階對稱扭轉和反對稱扭轉振型的形態(tài)和排列次序，中央扣剛度和跨中纜梁間距是影響反對稱扭轉基頻大小的主要因素.在中央扣對懸索橋地震響應的影響研究方面，Wang[8]和徐勛[4]等發(fā)現(xiàn)中央扣可以減小由地震激發(fā)的主梁端部的縱向位移但會增加塔頂?shù)目v向位移及塔底的彎矩.另外，Wang等[9-10]基于車橋耦合振動分析發(fā)現(xiàn)中央扣對行車舒適性指數(shù)幾乎沒有影響.Wang等[11-12]通過抖振計算分析發(fā)現(xiàn)當風速為10～40 m/s時，中央扣能顯著減小主梁抖振豎向位移和主塔的縱向位移.然而，采用時域分析方法研究中央扣對大跨度懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響，國內(nèi)外鮮有文章報道.

本文以矮寨大橋為工程背景，采用懸臂梁位移法建立了大橋等效單主梁有限元模型；考慮了跨中短吊桿（無中央扣）、一對柔性中央扣、三對柔性中央扣和剛性中央扣4種結構形式，計算分析了中央扣對大跨度懸索橋自振特性的影響；基于試驗獲得的顫振導數(shù)，采用脈沖響應函數(shù)結合Roger有理函數(shù)并利用非線性最小二乘擬合方法擬合其系數(shù)從而得到主梁斷面自激力的時域表達式；隨后利用ANSYS二次開發(fā)，實現(xiàn)了大橋顫振穩(wěn)定性時域分析，研究了中央扣對顫振臨界風速、顫振頻率及主梁三維顫振姿態(tài)的影響規(guī)律.研究結果可為日后中央扣在大跨度懸索橋中的廣泛應用提供參考.

1 有限元建模及動力特性分析

1.1 工程背景

矮寨大橋是一座跨越深山峽谷的單跨懸索橋，主纜矢跨比1 ∶9.6，兩主纜形心間距為27 m，主纜孔跨布置為242 m+1 176 m+116 m，加勁梁全長1 000.5 m，主跨跨中附近設置三對柔性中央扣，其中中央扣關于主梁跨中不對稱，如圖1（a）所示.主梁為鋼桁加勁梁，桁寬27 m，桁高7.5 m.鋼桁架主梁上采用鋼縱梁與混凝土橋面板相結合的橋面體系，橫斷面布置如圖1（b）所示.

1.2 有限元模型

為了準確獲得矮寨大橋的動力特性，首先采用有限元計算軟件ANSYS建立大橋空間桁架主梁有限元模型，其中鋼桁加勁梁與主塔采用beam188梁單元模擬，主纜和吊桿采用Link10桿單元模擬并設置為僅有拉伸剛度.鋼-混組合橋面體系采用梁-殼單元混合有限元建模的方法建模，其中混凝土橋面板采用Shell63殼單元模擬，鋼縱梁采用Beam188梁單元模擬，同時對梁-殼單元采用MPC方法進行耦合連接.有限元模型及其笛卡爾坐標系如圖2所示.由其計算得到的矮寨大橋動力特性列于表1中.為大幅提高顫振時域分析的計算效率并方便準確地對有限元模型施加自激力荷載，基于主梁各方向整體剛度等效的原則，采用懸臂梁單位荷載位移法[13]建立了等效單主梁有限元模型（即魚骨梁模型）.空間桁架主梁模型與等效單主梁模型動力特性結果對比如表1所示，兩者主要相應振型的頻率誤差基本都在1%以內(nèi)，僅一階反對稱側彎振型頻率誤差約為1.7%，因此可以采用等效單主梁模型進行顫振時域分析.

圖1 矮寨大橋橋型布置Fig.1 The sketch of Aizhai Bridge

圖2 矮寨大橋空間桁架主梁有限元模型Fig.2 The refined spatial-truss-girder model of the Aizhai Bridge

1.3 中央扣對動力特性的影響

表1 空間桁架主梁模型與等效單主梁模型動力特性對比Tab.1 Comparison of dynamic characteristics of the two finite element models

表2 跨中處主纜與加勁梁不同聯(lián)結形式的4種有限元模型Tab.2 Four different finite element models with different connection modes near mid-span

圖3 四渡河懸索橋中央扣的基本構造（單位：mm）Fig.3 Central buckle of Sidu River Bridge（unit：mm）

圖4 模型FM-D剛性中央扣有限元模型Fig.4 Rigid central buckle of model FM-D

表3 4種有限元模型動力特性對比Tab.3 Comparison of natural mode among four different finite element models

由表3中4種有限元模型自振頻率與振型特征的分析比較可以發(fā)現(xiàn)：1）由于中央扣的傾斜拉桿能夠一定程度限制主纜與加勁梁之間的相對運動，相當于加勁梁在跨中位置被施加了縱向位移約束進而顯著提高了主梁的縱向剛度，因此FM-A的縱飄振型伴隨一階反對稱豎彎振型出現(xiàn)，頻率為0.102 99 Hz；而FM-B、FM-C、FM-D的縱飄振型都伴隨三階反對稱豎彎振型出現(xiàn)，頻率分別為0.355 2 Hz、0.413 8 Hz、0.421 6 Hz，由此可見中央扣能夠大幅提高大跨度懸索橋縱飄振型的頻率并提高與其耦合的豎彎振型的階數(shù)，且剛性中央扣的提升幅度最大.2）相比于正對稱側彎振型的頻率，反對稱側彎的頻率受中央扣的影響明顯偏大.3）豎彎振型的頻率受中央扣的影響很小主要是由于中央扣僅提高了主梁跨中位置的局部豎向剛度.4）正對稱扭轉振型頻率受中央扣的影響較小，其中剛性中央扣能夠提高3%一階正對稱扭轉振型的頻率.3種中央扣都能夠大幅度提高反對稱扭轉振型的頻率，以一階反對稱扭轉振型為例，相比FM-A，有中央扣結構的FM-B、FM-C、FMD頻率分別提高了5.9%、10.6%、14.8%，可見剛性中央扣提升幅度更大，因此剛性中央扣的抗風穩(wěn)定性能更佳.

2 顫振穩(wěn)定性分析

從上一節(jié)的分析中發(fā)現(xiàn)中央扣對反對稱振型的影響要明顯大于正對稱振型，但其他模態(tài)對顫振的貢獻需進一步分析，且中央扣對于整個結構的非線性尤其是幾何非線性[14]的影響是未可知的.因此，中央扣對柔性主梁顫振行為的實際影響需進一步采用顫振時域分析的方法定性定量地探討.

2.1 顫振時域分析方法

橋梁結構在均勻流中的運動方程可以描述為：

式中：Lsex（x=h、α）代表相應位移產(chǎn)生的氣動升力；Msex（x=h、α）代表相應位移產(chǎn)生的氣動扭矩；Ifx（f=L、M，x=h、α）為脈沖響應函數(shù).以豎向位移產(chǎn)生的氣動升力為例（忽略由第三項加速度項引起的氣動力），其最終純時域表達式為[16]：

式中：A1、A2、An、dn（n=4，5，…，m）為用近似連續(xù)函數(shù)Roger有理函數(shù)連續(xù)表達離散的顫振導數(shù)時待擬合的系數(shù)[16]，可采用最小二乘法擬合確定[17]，本文不再贅述.矮寨大橋0°風攻角下節(jié)段模型顫振導數(shù)試驗值和用有理函數(shù)近似連續(xù)表達反算的顫振導數(shù)擬合值對比如圖5所示，可見試驗值與擬合值吻合得很好.

圖5 0°風攻角下顫振導數(shù)試驗值與擬合值比較Fig.5 Simulation versus experimental values of flutter derivatives under 0°wind attack angle

基于自激力時域表達式通過ANSYS APDL語言編寫自激力數(shù)值計算程序，實現(xiàn)大橋顫振時域分析，其中式（4）中的卷積積分項在計算程序中需轉化為數(shù)值遞推關系式.計算程序采用Newmark-β 法求解式（1）運動方程，通過時間步長無關性檢驗后計算時間步長取0.01 s.最后，通過逐步提高風速，觀察節(jié)點位移隨時間變化的特性，便可得到結構顫振臨界風速.

2.2 不考慮結構阻尼

鋼桁梁橋的結構阻尼比一般取0.5%[18].然而，現(xiàn)存很多鋼橋的實測結構阻尼比小于0.5%，甚至只有0.2%～0.3%左右.因此，為充分研究中央扣對大跨懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響同時比較結構阻尼對顫振臨界風速的影響，本文對不考慮結構阻尼和考慮結構阻尼進行了分析研究.

表1中：va為飛機平臺飛行速度；D為天線方位向口徑尺寸；Δθ為天線波束方位向掃描角度范圍；θmax為方位波束最大指向角，正側視工作下有Δθ=2θmax；λ為雷達工作波長；R為作用距離；Ls為方位向波束地面照射范圍；Rmax為最大作用距離；Pav為發(fā)射平均功率；G為收發(fā)天線的增益；σ為目標有效反射面積；K為玻耳茲曼常數(shù)；T為接收機溫度；Ti為目標駐留時間；η為系統(tǒng)損耗；SNR0為脈沖壓縮后的信噪比。

圖6～圖9為不考慮結構阻尼0°攻角情況下模型FM-C跨中節(jié)點位移時程.可知風速74 m/s時豎向和扭轉位移整體上既無發(fā)散也無收斂的趨勢；而風速78 m/s時豎向和扭轉位移整體上都有明顯的發(fā)散趨勢.細化計算風速范圍74～78 m/s時，發(fā)現(xiàn)74 m/s可被認為是該條件下的顫振臨界風速.另由圖6～圖9還可以發(fā)現(xiàn)FM-C顫振狀態(tài)具有明顯多頻率參與的拍振特性，稱為間歇性顫振現(xiàn)象.

圖6 FM-C跨中豎向位移時程（U=74 m/s，ζ=0%）Fig.6 Vertical displacement response of FM-C at mid-span（Critical，U=74 m/s，ζ=0%）

圖7 FM-C跨中扭轉位移時程（U=74 m/s，ζ=0%）Fig.7 Torsional displacement response of FM-C at mid-span（Critical，U=74 m/s，ζ=0%）

圖8 FM-C跨中豎向位移時程（U=78 m/s，ζ=0%）Fig.8 Vertical displacement response of FM-C at mid-span（Post-critical，U=78 m/s，ζ=0%）

圖9 FM-C跨中扭轉位移時程（U=78m/s，ζ=0%）Fig.9 Torsional displacement response of FM-C at mid-span（Post-critical，U=78 m/s，ζ=0%）

圖10、11分別為風速74 m/s時豎向和扭轉位移響應的頻譜分析圖，可知豎向位移和扭轉位移響應具有3個一致的卓越頻率.其原因在于該橋在一階正對稱扭轉頻率附近，密集分布著一些側彎、豎彎、扭轉相互耦合的振型，如圖12所示.當主梁發(fā)生彎扭耦合顫振時，其顫振頻率為0.262 9 Hz，落于上述頻率分布密集區(qū)，當結構阻尼為0時，極易牽連帶動頻率分布密集區(qū)的振型間歇性參與振動.此外，由圖12可知FM-A、FM-B和FM-D的扭轉基頻附近頻率分布也很密集，因此它們的顫振狀態(tài)也有多頻率參與的拍振現(xiàn)象.

圖10 FM-C跨中豎向位移響應頻譜（U=74 m/s，ζ=0%）Fig.10 Spectrum of vertical displacement at mid-span for FM-C（U=74 m/s，ζ=0%）

圖11 FM-C跨中扭轉位移響應頻譜（U=74 m/s，ζ=0%）Fig.11 Spectrum of torsional displacement at mid-span for FM-C（U=74 m/s，ζ=0%）

圖12 4種模型固有頻率分布Fig.12 Natural frequency distribution of four models

表4為4種不同模型顫振臨界風速與顫振頻率的對比，可知3種不同結構形式的中央扣對顫振臨界風速幾乎沒有影響.

表4 4種模型顫振臨界狀態(tài)對比（結構阻尼比0%）Tab.4 Comparison of flutter critical for four models（ζ=0%）

2.3 考慮結構阻尼

本節(jié)首先探討結構阻尼比對顫振臨界風速以及上述間歇性顫振現(xiàn)象的影響.圖13為顫振臨界風速隨結構阻尼比的變化趨勢，可以發(fā)現(xiàn)顫振臨界風速并不隨結構阻尼比成線性增長而是增長率不斷降低的趨勢.此外，如圖14所示，當結構阻尼比較低時（ζ=0.05%、0.1%、0.15%），仍具有明顯的顫振拍現(xiàn)象，由此可見低阻尼情況下同樣存在顫振拍現(xiàn)象.顫振拍現(xiàn)象隨結構阻尼比的增長而不斷弱化，如圖15和16所示，當結構阻尼比為0.5%時顫振拍現(xiàn)象很快消失并達到單頻穩(wěn)幅的振動狀態(tài).另外，可以預見，隨著跨度的增長，主梁的密頻和低阻尼特性將越明顯，因此越易產(chǎn)生間歇性顫振現(xiàn)象，這對主梁的顫振穩(wěn)定性是有利的.這些在顫振頻率附近的模態(tài)間歇性參與顫振能不斷消耗斷面從氣流中吸收的能量，其作用相當于一個間歇性調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）.該TMD的阻尼效果隨著結構阻尼的增長而不斷減小，因此可以預測其為顫振臨界風速增長率隨結構阻尼比增長而降低的一個重要原因，其具體效應有待進一步驗證，因為顫振臨界風速隨結構阻尼的這種變化趨勢還與氣動阻尼隨風速的非線性變化有關.

圖13 模型FM-C不同結構阻尼比下的顫振臨界風速Fig.13 The critical flutter velocity of model FM-C with different structural damping

圖14 不同結構阻尼比下FM-C顫振臨界狀態(tài)跨中豎向位移時程Fig.14 Vertical displacement response of FM-C at mid-span with different structural damping（Critical state）

接下來詳細探討結構阻尼比為0.5%時，中央扣對顫振臨界風速以及主梁三維顫振形態(tài)的影響.圖15和圖16分別為風速94.6 m/s時FM-C跨中節(jié)點豎向位移和扭轉位移時程，易知94.6 m/s為顫振臨界風速，此值與風洞試驗結果95.1 m/s[19]接近，說明程序計算結果是可信的.

對圖15后500 s的位移時程做頻譜分析，結果如圖17所示.豎向和扭轉位移都只有一個卓越頻率0.257 8 Hz，原因是正結構正阻尼下，頻率密集區(qū)的固有模態(tài)的位移響應迅速衰減，或顫振頻率很難牽連帶動頻率密集區(qū)的固有模態(tài)間歇性參與振動.表5為4種模型顫振臨界風速與顫振頻率的對比，可知3種不同中央扣對顫振臨界風速和顫振頻率幾乎無影響.為探明其機理，基于主梁所有節(jié)點的位移時程提取出顫振臨界時的主梁振動形態(tài)，如圖18所示.可見豎向振動的位移最大值在1/4跨位置，而主梁一階對稱豎彎的最大值在跨中，二階正對稱豎彎的最大值在1/4跨，如圖19所示.因此其顫振振型由一階正對稱豎彎、二階正對稱豎彎、一階正對稱扭轉振型相互耦合而成，但中央扣對這3種模態(tài)的頻率幾乎沒有影響，從而導致3種不同中央扣對顫振臨界風速和顫振頻率幾乎沒有影響.

圖15 FM-C跨中豎向位移時程（U=94.6 m/s，ζ=0.5%）Fig.15 Vertical displacement response of FM-C at mid-span（Critical，U=94.6 m/s，ζ=0.5%）

圖16 FM-C跨中扭轉位移時程（U=94.6 m/s，ζ=0.5%）Fig.16 Torsional displacement response of FM-C at mid-span（Critical，U=94.6 m/s，ζ=0.5%）

圖17 FM-C跨中豎向位移響應頻譜（U=94.6 m/s，ζ=0.5%）Fig.17 Spectrum of vertical displacement response at mid-span for FM-C（U=94.6 m/s，ζ=0.5%）

表5 4種結構形式中央扣顫振臨界狀態(tài)對比（結構阻尼比0.5%）Tab.5 Comparison of critical flutter state for four models（ζ=0.5%）

圖18 4種模型彎扭耦合顫振振型（顫振臨界狀態(tài)，ζ=0.5%）Fig.18 The vertical-bending-torsion coupled mode shape of four models（Critical，ζ=0.5%）

圖19 模型FM-C的固有振型Fig.19 Natural mode shapes of the model FM-C

如圖20和圖21所示，當主梁發(fā)生彎扭耦合顫振時，其展向不同位置的位移響應存在相位差且同一位置處豎向位移與扭轉位移也存在相位差.主梁不同位置之間的振動相位差即可定量揭示主梁振動時的展向同步性，同步性越高，能量越容易累積，顫振穩(wěn)定性就越差，因此相位差的分析可以一定程度上揭示顫振穩(wěn)定性的機理，同時可以通過4個模型的對比分析探究中央扣對主梁顫振展向同步性的影響.采用信號處理的方法可獲得兩個同頻信號之間的相位差，圖22為主梁其他位置與其跨中位置豎向位移相位差沿跨長的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)模型FM-A的主梁其他位置與其跨中位置豎向位移相位差隨著二者距離的增大而增大，最大達到25°.對比4個模型，可以發(fā)現(xiàn)關于跨中設置不對稱的中央扣（非對稱型的中央扣，如圖4所示）打亂了局部位置處相位差隨距離增大而增大的規(guī)律，并增大了主梁左邊與跨中處的豎向位移相位差，最大達40°，中央扣的不同形式造成的影響差別極小.整體上非對稱型的中央扣有打亂主梁豎向位移展向同步性的趨勢，這對顫振穩(wěn)定性是有利的.

圖20 FM-A主梁不同位置豎向位移時程Fig.20 Vertical displacement of main girder at different positions for FM-A

圖23為主梁其他位置與其跨中位置扭轉位移相位差沿跨長的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)主梁其他位置與其跨中位置扭轉位移相位差也隨二者距離的增大而增大，但最大僅3°，說明主梁顫振時扭轉位移展向同步性明顯高于豎向位移.中央扣對主梁其他位置與其跨中位置扭轉位移相位差的影響微弱.

圖21 FM-A主梁1/4跨位置位移響應時程Fig.21 Displacement responses of main girder at 1/4 span position for FM-A

圖22 顫振臨界風速下主梁其他位置與跨中處豎向位移相位差（ζ=0.5%）Fig.22 Phase difference of vertical displacement response between mid-span and the other position of main girder（Critical flutter state，ζ=0.5%）

圖23 顫振臨界風速下主梁其他位置與跨中處扭轉位移相位差（ζ=0.5%）Fig.23 Phase difference of torsional displacement response between mid-span and the other position of main girder（Critical flutter state，ζ=0.5%）

圖24為主梁同一位置豎向位移與扭轉位移之間的相位差沿跨長的變化規(guī)律，可知FM-A跨中位置豎向位移與扭轉位移相位差最小，最小為14°，并向主梁展向兩端不斷增大.對比FM-A、FM-B、FM-C和FM-D，非對稱型中央扣打亂了局部位置處豎向位移與扭轉位移相位差由跨中向兩邊增大的趨勢，增大了主梁左邊豎向位移與扭轉位移的相位差，最大達50°.由此可見，中央扣對主梁的整個三維顫振姿態(tài)產(chǎn)生比較復雜的影響.

圖24 顫振臨界風速下主梁豎向與扭轉位移相位差（ζ=0.5%）Fig.24 Phase difference between vertical displacement and torsional displacement of main girder（Critical flutter state，ζ=0.5%）

3 結語

本文通過模態(tài)分析和顫振時域分析研究了中央扣的不同結構形式對大跨懸索橋自振頻率及顫振穩(wěn)定性的影響，得出以下結論：

1）3種不同結構形式的中央扣都能夠大幅提高主梁縱飄的頻率，其中剛性中央扣的增幅最大；對于側彎和扭轉振型，中央扣對反對稱振型的影響要遠大于正對稱振型且剛性中央扣的影響最大，其中剛性中央扣能夠提高15%一階反對稱扭轉的頻率；此外，豎彎振型的頻率受中央扣的影響很小，主要由于中央扣僅提高了主梁跨中處的局部豎向剛度.

2）在不考慮結構阻尼情況下，3種不同結構形式的中央扣對顫振臨界風速的影響都極小.此外，由于該橋的顫振頻率落在固有頻率分布密集的區(qū)域，因此，當不考慮結構阻尼或當結構阻尼比很低時顫振頻率很容易牽連帶動頻率密集區(qū)的固有模態(tài)間歇性參與振動，出現(xiàn)間歇性顫振現(xiàn)象.

3）考慮結構阻尼時，3種不同中央扣對顫振臨界風速與顫振頻率的影響都極小，這是由于矮寨大橋以一階正對稱豎彎、二階正對稱豎彎和一階正對稱扭轉相互耦合的振型發(fā)生彎扭耦合顫振，而中央扣對這些振型頻率的影響甚微.剛性中央扣能提高15%一階反對稱扭轉的頻率，若主梁發(fā)生反對稱豎彎和扭轉耦合的顫振，可以預見中央扣將能大幅提高顫振臨界風速甚至改變顫振振型.此外，通過主梁展向不同位置處顫振位移響應之間相位差的研究，可知主梁不同位置之間振動的同步性隨著距離的增大而降低；該橋彎扭耦合振動時扭轉位移的展向同步性要遠高于豎向位移；中央扣對主梁的整個三維顫振姿態(tài)產(chǎn)生比較復雜的影響，一定程度上有利于顫振穩(wěn)定性.

主梁顫振時不同形式的中央扣其局部位置的應力分布不同，當結構發(fā)生大幅振動時會對中央扣構件產(chǎn)生很大的疲勞損傷，尤其是剛性中央扣，因此下一步可進一步深入研究.