指數(shù)型阻尼模型復(fù)模態(tài)更新及阻尼矩陣識(shí)別

汪夢(mèng)甫，肖詩(shī)穎

（湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410082）

實(shí)際工程中振動(dòng)的發(fā)生通常不可避免，因此研究者們廣泛關(guān)注于如何通過(guò)結(jié)構(gòu)耗能（即阻尼）來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)減振.但阻尼不能直接測(cè)量得到，而是根據(jù)假設(shè)的阻尼模型在宏觀上近似地表達(dá)，因此對(duì)阻尼模型的假設(shè)很大程度上影響著結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的準(zhǔn)確性和可靠性[1].由于經(jīng)典粘滯阻尼模型自身存在不足，為了滿足工程界日益復(fù)雜的工程材料和結(jié)構(gòu)的需要，研究者們近年來(lái)提出了一些新的阻尼模型，最早由Biot[2]提出的卷積型非粘滯阻尼模型就是其中的一種.該模型假設(shè)阻尼力不僅依賴于瞬時(shí)速度，而且與速度的時(shí)間歷程相關(guān)，數(shù)學(xué)表述為質(zhì)點(diǎn)速度與核函數(shù)的卷積[3].在Woodhouse、Adhikari等人[4-5]的進(jìn)一步發(fā)展下，卷積型非粘滯阻尼模型多年來(lái)得到了不同領(lǐng)域動(dòng)力分析的研究和應(yīng)用.其中，作為卷積型阻尼模型的一個(gè)特例，指數(shù)阻尼模型在數(shù)學(xué)計(jì)算上較為簡(jiǎn)單，且能夠更加合理地表述阻尼的物理本質(zhì)，因此本文選擇對(duì)指數(shù)阻尼模型進(jìn)行研究.

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別作為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的反問(wèn)題之一，可以根據(jù)模態(tài)試驗(yàn)并結(jié)合理論分析來(lái)處理實(shí)際工程中的振動(dòng)問(wèn)題[6-8].然而此過(guò)程中，對(duì)阻尼矩陣的預(yù)估是難點(diǎn)，并且通常結(jié)構(gòu)阻尼值由經(jīng)驗(yàn)確定，并假定結(jié)構(gòu)各階模態(tài)阻尼比相同，這與實(shí)際情況不符[8]，因此有必要對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的識(shí)別進(jìn)行研究.但目前的阻尼識(shí)別方法一般針對(duì)粘滯阻尼模型，對(duì)非粘滯阻尼模型阻尼識(shí)別的研究較少，國(guó)內(nèi)外主要有如下研究：Adhikari等[9]根據(jù)一階攝動(dòng)法，率先將復(fù)模態(tài)分析法擴(kuò)展到了指數(shù)型非粘滯阻尼模型的識(shí)別中去，然而該方法對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的精度要求較高，且識(shí)別阻尼矩陣需要用到全模態(tài)；潘玉華[10]在Rayleigh阻尼模型的基礎(chǔ)上，提出了指數(shù)型比例阻尼模型，假設(shè)指數(shù)阻尼核函數(shù)的阻尼系數(shù)矩陣具有和Rayleigh阻尼相對(duì)應(yīng)的形式，并給出了相應(yīng)松弛因子的迭代計(jì)算方法；王禹[11]將阻尼矩陣分解法拓展到指數(shù)型非粘滯阻尼模型中，識(shí)別該模型的阻尼系數(shù)矩陣，該方法能夠在只獲得低階模態(tài)信息的情況下較為準(zhǔn)確地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別過(guò)程中，通常需要依據(jù)一部分有限元模型分析值來(lái)識(shí)別所需要的真實(shí)值，但往往有限元理論分析結(jié)果與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果存在差異，因此可以依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)分析模型進(jìn)行更新，使得更新后的模型能更加精確地反應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[12]，從而提高結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性.

基于以上研究背景，本文研究了在模態(tài)測(cè)試的基礎(chǔ)上對(duì)指數(shù)型阻尼模型中進(jìn)行阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別及復(fù)模態(tài)更新的方法，并在此基礎(chǔ)上提出了新的松弛因子識(shí)別公式.

1 指數(shù)型阻尼系統(tǒng)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別

1.1 阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別

考慮只含有一個(gè)阻尼核函數(shù)的N自由度線性系統(tǒng)動(dòng)力微分方程為[3]：

式中：x（t）∈RN；MT、KT∈RN×N分別為系統(tǒng)真實(shí)的質(zhì)量和剛度矩陣.本文使用的指數(shù)型非粘滯阻尼模型的阻尼核函數(shù)為GT（t）=CTe-μt，其中CT∈RN×N為阻尼真實(shí)系數(shù)矩陣，則動(dòng)力微分方程（1）可寫為：

假設(shè)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有限元分析時(shí)采用的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)矩陣分別為MA、KA和CA，則該有限元分析系統(tǒng)動(dòng)力方程可寫成：

通常有MT≠M(fèi)A，CT≠CA且KT≠KA.對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)振動(dòng)測(cè)試可獲得m

對(duì)式（1）進(jìn)行拉普拉斯變換可得[5]：

式中：sj和zj分別表示系統(tǒng)第j階特征值和特征向量.將方程（4）改寫成矩陣形式為：

式中：WC是n階對(duì)稱正定的加權(quán)矩陣，I為n階單位矩陣.記Z=ZR+iZ1，S=SR+iS1，代入方程（5），令實(shí)、虛部分別等于零可得：

其中，

方程（7）（8）可組合為：

其中，A=[AR，AI]，ψ=[ψR(shí)，ψI].于是最優(yōu)化問(wèn)題（6）可寫成：

按文獻(xiàn)[12]提出的借助于拉格朗日乘子法與矩陣奇異值分解修正粘滯阻尼矩陣的方法，本文優(yōu)化問(wèn)題（14）可構(gòu)建出如下拉格朗日函數(shù)：

將函數(shù)f分別對(duì)LC和ψ 求偏導(dǎo)，并分別等于零，可得：

設(shè)LC為非奇異矩陣，則方程（16）可以寫為：

方程（18）關(guān)于λ 有解的充分必要條件為[12]：

化簡(jiǎn)后可得：

若取分析阻尼矩陣CA=0，則：

1.2 權(quán)函數(shù)的選擇

與粘滯阻尼系統(tǒng)類似，從文獻(xiàn)[13-14]可知，修正的阻尼系數(shù)矩陣一般依賴于加權(quán)矩陣WC，令特征方程殘量E為：

式中：ej（j=1，…，N）是N ×m階矩陣E的第j個(gè)行向量.

如果E=0，則CT=CA，E中元素的大小在一定程度上反映了CA與CT之間誤差的大小[13].可以用矩陣E第j行的范數(shù)||ej||來(lái)衡量該系統(tǒng)相應(yīng)第j自由度下識(shí)別的誤差值，為此選擇WC為對(duì)角矩陣，為較小的||ej||所對(duì)應(yīng)的WC中的第j個(gè)元素分配數(shù)值1，較大的||ej||所對(duì)應(yīng)的WC中的元素則分配一個(gè)較大的標(biāo)量[14].

2 復(fù)模態(tài)更新

文獻(xiàn)[15]中研究了非粘滯阻尼模型識(shí)別問(wèn)題，提到由于復(fù)模態(tài)虛部的量級(jí)比相應(yīng)的實(shí)部要小得多，更易受實(shí)驗(yàn)噪聲的影響，并通過(guò)梁試驗(yàn)進(jìn)一步說(shuō)明了該問(wèn)題.文獻(xiàn)[14]中研究了非比例阻尼模型識(shí)別和模態(tài)更新，也提到了復(fù)模態(tài)虛部值的問(wèn)題.由上述研究可知，由于試驗(yàn)誤差及噪聲的影響，模態(tài)測(cè)試所得到的振型一般不滿足特征方程（4），從而在阻尼矩陣識(shí)別時(shí)，可以對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新，提高阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別的準(zhǔn)確性.

2.1 特征方程

按文獻(xiàn)[15]提出的特征向量正則化方法，對(duì)方程（4）左乘，可以得到：

對(duì)方程（4）取第k階，轉(zhuǎn)置后，再右乘zj，所得方程與方程（17）相減后可得：

將方程（31）兩邊除以（sj-sk），j≠k，可得：

設(shè)δs=sj-sk，式（32）可寫成：

當(dāng)sk→sk時(shí)，δs→0，對(duì)方程（33）取極限，從而有：

將G（s）=μ/（μ+s）C代入式（34），可得：

其中，θk為非零常數(shù)，對(duì)θk的定義可見(jiàn)文獻(xiàn)[15]相關(guān)描述，對(duì)θk的不同選擇對(duì)應(yīng)著特征向量的不同正則化條件.

2.2 小阻尼系統(tǒng)特征參數(shù)

在阻尼很小的情況下，系統(tǒng)復(fù)特征向量的實(shí)部近似等于無(wú)阻尼情形下的相應(yīng)振型，復(fù)特征值的虛部近似等于無(wú)阻尼系統(tǒng)的頻率[15].因此定義阻尼系數(shù)矩陣C為一階小量（記為o（α）），K和M為數(shù)量級(jí)l（記為o（l）），其中α<

忽略高階小項(xiàng)o（α2），因此式（38）可寫為：

2.3 復(fù)模態(tài)更新

由于模態(tài)測(cè)量誤差對(duì)振型虛部影響更大，則對(duì)復(fù)模態(tài)的修正主要是對(duì)振型虛部修正，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K、復(fù)特征值sk及復(fù)特征向量實(shí)部zkR，求能滿足特征方程（37）的復(fù)特征向量虛部zkI.將方程（37）中的sk、zk和θk按實(shí)部和虛部展開(kāi)，并將式（43）代入方程（37）消去剛度矩陣K，舍去方程中的o（α2）及更高階小量，可得：

將方程（44）按實(shí)部和虛部分別拆分為如下兩個(gè)方程：

聯(lián)立方程（45）（46）可以解出：

代入方程（45）（46）中，可以得到同一個(gè)解：

式（49）的基本解為[14]：

式中：β∈R（N-1）×1為任意矩陣，V∈RN×（N-1）滿足如下條件：

在模態(tài)虛部的試驗(yàn)測(cè)量值誤差較大的情況下，若是只需要利用zkI識(shí)別得到阻尼系數(shù)矩陣，則可以令β=0，于是復(fù)振型虛部更新值為：

3 對(duì)松弛因子的識(shí)別

由于目前對(duì)松弛因子的識(shí)別研究較少，本文提出了新的松弛因子識(shí)別過(guò)程.記第k階模態(tài)有，zk=zkR+izkI，sk=skR+iskI，代入方程（4），令實(shí)、虛部分別等于零可得：

其中：

將式（55）～（58）依次代入式（61），化簡(jiǎn)后有：

約去方程中的o（α2）及更高階小量，化簡(jiǎn)后可得指數(shù)阻尼模型松弛因子的表達(dá)式為：

從式（63）中可以看出，由于m個(gè)不同的模態(tài)階可以得到m個(gè)μ 的值，如果選擇不同的k得到的μk相差不大，則可以認(rèn)為該阻尼系統(tǒng)只有一個(gè)松弛因子μ；如果得到的μk差異很大，則說(shuō)明系統(tǒng)存在多個(gè)松弛因子，需要對(duì)該指數(shù)阻尼模型進(jìn)行擴(kuò)充.在μk相差不大的情況下，μ 值有以下3種取法：

1）任意選取第k階模態(tài)參數(shù)來(lái)識(shí)別松弛因子μ，例如取k=j ≤m，則有：

2）對(duì)不同階模態(tài)參數(shù)識(shí)別得到的μk取平均值來(lái)獲得松弛因子μ，則有：

3）對(duì)分子和分母分別進(jìn)行求和，并以其比值獲得松弛因子μ，則有：

4 數(shù)值算例分析

4.1 案例1：模態(tài)參數(shù)精確時(shí)識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣

為了驗(yàn)證本文提出的阻尼識(shí)別方法的適用性和有效性，利用文獻(xiàn)[11]中的7自由度系統(tǒng)進(jìn)行模擬計(jì)算.該系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼系數(shù)矩陣真實(shí)值分別為：

該體系的自由振動(dòng)方程為：

其中，μ 為松弛因子.假定分析阻尼系數(shù)矩陣CA=0，權(quán)矩陣取為WC=diag（1 1 1 1 1 1 1），運(yùn)用式（28）識(shí)別指數(shù)型阻尼系數(shù)矩陣C.松弛因子μ 可被表示為[16]：

式中：Tmin表示最高階無(wú)阻尼固有頻率所對(duì)應(yīng)的周期，這樣結(jié)構(gòu)的阻尼機(jī)制可以由γ 的取值來(lái)控制，γ越小，阻尼機(jī)制就越接近于粘滯阻尼[16].下面分別取γ=0.002、0.2、2三種情況識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣，具體阻尼系數(shù)識(shí)別值見(jiàn)表1，表1中僅給出了阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上的值的大小.

從表1中可看出，本文提出的方法能較好地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣，但隨著γ 的增大，系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目逐漸增加；當(dāng)γ 增加到2時(shí)，需要取得全模態(tài)才能精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

當(dāng)γ 取值較大時(shí)，對(duì)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別誤差較大且所需模態(tài)數(shù)較多的原因，認(rèn)為和文中識(shí)別公式（28）中的廣義逆矩陣有關(guān).通過(guò)MATLAB多次計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)γ 值增大，矩陣ψ 的條件數(shù)也逐漸增大，求廣義逆矩陣時(shí)精度難以提高，從而誤差變大.γ 值一定時(shí)，隨著選取的模態(tài)階數(shù)增加，矩陣ψ的條件數(shù)減小，從而精度越高.

表1 阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上數(shù)值的識(shí)別值Tab.1 Identification values of the damping coefficient matrix diagonal values

按文獻(xiàn)[11]的識(shí)別方法對(duì)阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行識(shí)別的結(jié)果見(jiàn)表2.表2中給出的是能較為精確地得到阻尼系數(shù)矩陣所需的最小模態(tài)階數(shù)，以及在該模態(tài)階數(shù)下的阻尼矩陣識(shí)別情況.將表1與表2的結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出，在不同的取值以及不同的模態(tài)階數(shù)下，文獻(xiàn)[11]方法的識(shí)別精度均要高于本文的識(shí)別方法.

表2 按文獻(xiàn)[11]識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上數(shù)值Tab.2 The diagonal values of damping coefficient matrix identified by reference[11]

取文獻(xiàn)[17]中含指數(shù)阻尼的軸向振動(dòng)懸臂桿模型作為算例，分析兩種方法在對(duì)不同自由度下阻尼矩陣進(jìn)行識(shí)別的耗時(shí)情況.該懸臂桿模型如圖1所示.

圖1 軸向振動(dòng)懸臂桿模型Fig.1 Axially vibrating free-fixed rod

該懸臂桿單元質(zhì)量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃嚪謩e為：

本文中該懸臂桿參數(shù)取為：ρ=7.8×103kg/m3為桿件密度；A=6.25 × 10-4m2為桿件截面面積；E=2.1×1011N/m3為彈性模量；L=4 m為桿長(zhǎng)；Le=L/n為每個(gè)桿單元的長(zhǎng)度；n為懸臂桿劃分的單元數(shù)目.系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣設(shè)為C=α0M+α1K，其中系數(shù)α0和α1取為：

式中：阻尼比ξ 取0.05，第j階無(wú)阻尼固有頻率為ωj松弛因子μ 按式（67）計(jì)算，其中γ取為1.

分別取n=10、20、40和80四種情況，按本文提出的方法和文獻(xiàn)[11]的識(shí)別方法取全模態(tài)識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣C所需要的時(shí)間見(jiàn)表3.從表3中可以看出，由于文獻(xiàn)[11]的識(shí)別過(guò)程涉及了大量的循環(huán)運(yùn)算，若結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)較多，在利用MATLAB進(jìn)行求解時(shí)會(huì)耗時(shí)較長(zhǎng)；在本文的方法中，結(jié)構(gòu)的自由度取值對(duì)運(yùn)算時(shí)間影響相對(duì)而言不大.因此，在自由度較少的情況下，利用文獻(xiàn)[11]提出的阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別方法可以得到更好的結(jié)果；在結(jié)構(gòu)自由度數(shù)較多時(shí)，如果有運(yùn)算時(shí)間上的需求，采用本文提出的方法則更有效率.

表3 不同n值時(shí)識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣所需的時(shí)間Tab.3 The time needed to identify the damping coefficient matrix with different n values

4.2 案例2：復(fù)模態(tài)虛部更新后識(shí)別阻尼系數(shù)矩陣

取案例1中的7自由度系統(tǒng)作為算例進(jìn)行分析，取γ=0.02.現(xiàn)給復(fù)模態(tài)虛部添加均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.1%的噪聲，復(fù)模態(tài)實(shí)部取為精確值，更新前阻尼矩陣的識(shí)別情況見(jiàn)表4.從表4中可以發(fā)現(xiàn)，只有取全模態(tài)進(jìn)行識(shí)別時(shí)，才能得到較為準(zhǔn)確的阻尼系數(shù)矩陣，但仍不是精確值；若取的模態(tài)值不全，即使是前六階，在該噪聲下的結(jié)果仍完全失真，數(shù)據(jù)失效顯著.可以看出復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對(duì)識(shí)別結(jié)果能造成影響.

表4 更新前阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上數(shù)值識(shí)別值Tab.4 Values on the diagonal of the damping coefficient matrix identified before the updating

按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法，對(duì)復(fù)模態(tài)虛部值進(jìn)行更新后，識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線上數(shù)值見(jiàn)表5.從表5中可看出，在對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新后，精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目增加了，取得全模態(tài)便能精確識(shí)別出指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣；對(duì)復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后可以排除噪聲對(duì)復(fù)模態(tài)虛部的干擾，反映出本文提出的復(fù)模態(tài)虛部計(jì)算公式（52）能滿足阻尼矩陣識(shí)別的需要.

表5 更新后阻尼系數(shù)矩陣對(duì)角線識(shí)別值Tab.5 Values on the diagonal of the damping coefficient matrix identified after the updating

4.3 案例3：對(duì)松弛因子的識(shí)別

取案例1中的7自由度系統(tǒng)研究松弛因子識(shí)別式（64）～（66）的準(zhǔn)確性.當(dāng)γ 值較小時(shí)，如γ=0.002，該系統(tǒng)更接近于粘滯阻尼系統(tǒng)，按不同方式識(shí)別得到的γ 值見(jiàn)圖2.從圖2中可以看出，這3種識(shí)別公式均能較好地識(shí)別出松弛因子，按式（65）（66）獲得的松弛因子更接近原始值.

當(dāng)γ 值較大時(shí)，如γ=2，此時(shí)該體系的阻尼機(jī)制表現(xiàn)為明顯的非粘滯阻尼特性，按不同方式識(shí)別得到的γ 值見(jiàn)圖3.從圖3中可以看出，這3種識(shí)別公式也均能較好地識(shí)別出松弛因子，按式（65）獲得的松弛因子更接近原始值.

圖2 按式（64）～（66）計(jì)算的γ 值（原始值γ=0.002）Fig.2 The value of γ calculated by formula（64）～（66）when the original value of γ=0.002

圖3 按式（64）～（66）計(jì)算的γ 值（原始值γ=2）Fig.3 The value of γ calculated by formula（64）～（66）when the original value of γ=2

5 試驗(yàn)分析

本小節(jié)將對(duì)一根混凝土懸臂梁構(gòu)件進(jìn)行錘擊振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)，對(duì)本文提出的阻尼系數(shù)矩陣方法進(jìn)行研究，并討論指數(shù)阻尼模型的適用性.

5.1 試驗(yàn)概況

該懸臂梁試件配筋和尺寸信息如圖4所示.試件采用C35普通混凝土，水泥采用42.5級(jí)普通硅酸鹽水泥.縱筋采用HRB400級(jí)鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為360 MPa，彈性模量為200 GPa；箍筋采用HPB300級(jí)光圓鋼筋，抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為270 MPa.

圖4 鋼筋混凝土懸臂梁試件尺寸及配筋圖（單位：mm）Fig.4 Geometry and reinforcement details of reinforced concrete cantilever beam（unit：mm）

該試件的參數(shù)為：密度ρ=2.41×103kg/m3，截面積A=0.04 m2，彈性模量E=3.06×1010N/m2，梁長(zhǎng)L=0.2 m.

振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集設(shè)備采用比利時(shí)公司的LMS錘擊測(cè)振系統(tǒng).振動(dòng)測(cè)試前，將懸臂梁沿梁身均勻取10個(gè)錘擊作用點(diǎn)，并在頂部粘貼加速度傳感器.錘擊法振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)示意圖見(jiàn)圖5.測(cè)試時(shí)，用力錘依次對(duì)所標(biāo)記的10個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行錘擊，利用數(shù)據(jù)采集儀記錄下每次錘擊時(shí)的力傳感器信號(hào)及加速度響應(yīng)信號(hào)，并計(jì)算得到每個(gè)錘擊點(diǎn)的頻響函數(shù)平均值.本章的試驗(yàn)完成于湖南大學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室.

圖5 錘擊振動(dòng)測(cè)試示意圖Fig.5 Schematic diagram of hammer vibration test

利用試件實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線，在LMS.Test.Lab軟件上進(jìn)行分析，使用最小二乘復(fù)指數(shù)法（LSCE）可以估計(jì)出試件的頻率、阻尼比，并可以計(jì)算出相應(yīng)模態(tài)振型.

5.2 結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)識(shí)別

首先將該試件質(zhì)量矩陣與剛度矩陣按有限元法進(jìn)行建模，只研究試件振動(dòng)方向上的平動(dòng)自由度，可以得到所需的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分析值，均為10×10方陣.按照文獻(xiàn)[18]提出的迭代算法，對(duì)分析質(zhì)量矩陣與分析剛度矩陣進(jìn)行修正，可得該試件修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K.利用識(shí)別得到的前五階模態(tài)參數(shù)及修正后的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K識(shí)別松弛因子μ.按公式（65）計(jì)算得到的μ=145.868 s-1.

接下來(lái)按本文提出的復(fù)模態(tài)更新方法對(duì)該試驗(yàn)梁進(jìn)行復(fù)模態(tài)虛部的更新，并進(jìn)行指數(shù)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別，識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣如圖6所示.由圖6可以看出，該識(shí)別出的阻尼矩陣的阻尼系數(shù)分布不是很明顯，可能與試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)量誤差有關(guān).

圖6 懸臂梁阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別值Fig.6 Identification value of damping coefficient matrix of the cantilever beam

懸臂梁試件的前三階固有頻率及阻尼比分別按指數(shù)型非粘滯阻尼模型和Rayleigh阻尼模型的識(shí)別結(jié)果見(jiàn)表6.

表6 懸臂梁前三階固有頻率和阻尼比Tab.6 The first three-order natural frequencies and damping ratios of the cantilever beam

從表6中可以看出，通過(guò)文中提出的方法按這兩種阻尼模型識(shí)別的固有頻率均接近試驗(yàn)實(shí)測(cè)值，但識(shí)別得到的阻尼比與實(shí)測(cè)值有差別.試驗(yàn)測(cè)量得到的阻尼比為按單模態(tài)識(shí)別得到的各測(cè)點(diǎn)的每階模態(tài)平均值，而按這兩種阻尼模型識(shí)別得到的阻尼比為按整體模態(tài)計(jì)算分析的結(jié)果，從而帶來(lái)識(shí)別誤差.與按指數(shù)阻尼模型計(jì)算得到的阻尼比相比，該試驗(yàn)梁采用Rayleigh阻尼模型計(jì)算出的第三階阻尼比與試驗(yàn)實(shí)測(cè)值相差較大，遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)值，這種誤差能顯著影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性.指數(shù)阻尼模型由于參數(shù)松弛因子的存在，可以更為合理地?cái)M合結(jié)構(gòu)的阻尼特性.

6 結(jié)論

1）本文提出了指數(shù)阻尼系統(tǒng)中對(duì)阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別的方法，通過(guò)求解一個(gè)帶約束的優(yōu)化問(wèn)題，利用權(quán)函數(shù)矩陣及初始分析阻尼矩陣，獲得滿足系統(tǒng)特征方程的阻尼系數(shù)矩陣；該方法不需要測(cè)得全模態(tài)，可以獲得比較高的識(shí)別精度，但隨著系統(tǒng)的非粘滯阻尼特性逐漸增強(qiáng)時(shí)，想要精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣所需要的模態(tài)數(shù)目會(huì)逐漸增加；當(dāng)非粘滯阻尼特性足夠大時(shí)，最后可能需要取得全模態(tài)才能精確識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣.

2）針對(duì)試驗(yàn)噪聲對(duì)測(cè)量得到的復(fù)模態(tài)虛部精度的影響，本文提出了對(duì)復(fù)模態(tài)虛部進(jìn)行更新的方法，使之滿足指數(shù)型阻尼系統(tǒng)特征方程；通過(guò)算例分析，將更新前后識(shí)別得到的阻尼系數(shù)矩陣進(jìn)行對(duì)比，可以看出，提出的阻尼系數(shù)矩陣識(shí)別公式對(duì)噪聲較為敏感，且復(fù)模態(tài)虛部的準(zhǔn)確度對(duì)阻尼矩陣識(shí)別結(jié)果影響較大；采用更新后的復(fù)模態(tài)虛部表達(dá)式可以排除阻尼矩陣識(shí)別過(guò)程中噪聲對(duì)復(fù)模態(tài)虛部的影響，且能有效地識(shí)別出阻尼系數(shù)矩陣；但在對(duì)復(fù)模態(tài)進(jìn)行更新后，在相同模態(tài)階數(shù)下對(duì)阻尼系數(shù)矩陣的識(shí)別精度降低了，并且精確識(shí)別所需的模態(tài)階數(shù)較多，不使用全模態(tài)時(shí)識(shí)別精度較差，目前的更新方法可以進(jìn)一步改進(jìn).

3）由于目前對(duì)松弛因子識(shí)別方法的研究較少，且有一定使用限制，本文提出了不依賴于復(fù)模態(tài)虛部的3種松弛因子識(shí)別公式，通過(guò)算例分析表明這3種公式均能較高精度地識(shí)別出松弛因子，能夠滿足結(jié)構(gòu)分析的需要.

4）通過(guò)對(duì)普通C35混凝土懸臂梁進(jìn)行錘擊振動(dòng)測(cè)試，并按本文提出的方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，將采用Rayleigh阻尼模型和本文采用的指數(shù)型非粘滯阻尼模型識(shí)別得到的阻尼比和基本頻率進(jìn)行對(duì)比，可發(fā)現(xiàn)識(shí)別得到的固有頻率接近試驗(yàn)實(shí)測(cè)值，但阻尼比與實(shí)測(cè)值有差別，采用Rayleigh阻尼模型時(shí)第三階阻尼比出現(xiàn)了很大的誤差.指數(shù)阻尼模型更能準(zhǔn)確合理地描述兩根混凝土懸臂梁的阻尼性能.