單層黑磷烯中極化子的有效質量

李大偉，趙翠蘭，劉佳麗，王 龍

（內蒙古民族大學數理學院，內蒙古通遼028043）

黑磷烯作為一種新型的二維材料，由于具有直接帶隙和較高的載流子遷移率，引起了諸多專家學者的興趣.Pereira等［1］利用緊束縛模型，推導了朗道能級的表達式，研究了外電場對雙層黑磷烯電子帶隙的影響.Sousa等［2］利用緊束縛模型的低能展開方法得到了單層黑磷烯納米帶能譜，研究了帶隙與納米帶寬度的關系.Sousa等［3］利用緊束縛模型推到了多層黑磷烯再長波近似下的哈密頓量表達式，研究了層數對帶隙和有效質量的影響.Takao等［4］利用緊束縛近似首次計算了黑磷烯的能帶，討論了黑磷烯的電子性質.Pengke等［5］對黑磷烯中包含自旋軌道相互作用的電子能帶結構進行了對稱性分析，得到了電子和空穴的能量色散關系和自旋相關的本征態表達式；揭示了導致光學吸收、電荷和自旋輸運性質各向異性的潛在對稱性，價帶畸變的機理和可能存在的直接間隙缺失.Mogulkoc等［6］采用幺正變換與變分方法相結合研究了黑磷的極化性質.孫丙西等［7］采用線性組合算符研究了非對稱Gaussian限制勢CsI半導體量子阱中強耦合極化子基態能量的性質.楊洪濤等［8］采用相同方法研究了聲子色散對單層石墨烯弱耦合極化子性質的影響.井亞斌等［9］采用改進的Hummers法制取氧化石墨烯，制備了氧化石墨烯復合材料薄膜.趙翠蘭等［10］和劉佳麗等［11］采用幺政變換、線性組合算符和變分等方法，研究了單層黑磷烯中極化子的性質.本文擬采用幺正變換、線性組合算符與變分方法相結合的方法，研究單層黑磷烯中有效質量的性質.

1 理論計算

圖1 單層磷烯/基底示意圖Fig. 1 Schematic diagram of monolayer melano phasphoren/substrate

如圖1所示，單層黑磷烯置于極性基底上.利用緊束縛［12-13］和k.p模型［14-16］，在長波范圍，布里淵區Γ點附近，電子-表面光學聲子體系的哈密頓量為［6］

其中

其中H0、Hph、He-ph分別為電子、基底表面聲子、電子-聲子相互作用的哈密頓量.是載流子-表面光學聲子相互作用幅值，是與基底介電常數有關的有效屏蔽常數，分別為聲子的產生、湮滅算符.ωμ（μ=1,2)是第μ支光學聲子頻率，e是電子電荷量，z是單層黑磷烯與基底間的距離，k（0k∞)是基底的低頻（高頻）介電常數，ε0是真空介電常數.

對（1）式進行兩次幺正變換

對電子的坐標和動量引入線性組合算符［7-8］

得哈密頓量的期待值為

（12）式對取變分，引入新的參量得

設

利用（5）（6）式對進行兩次幺正變換，再求對（11）式的期待值，代入（15）式，得

（16）式兩端對λ取變分，得有效質量為

其中

具體計算時，將對q的求和化為q的積分，其中A為黑磷烯基底面積，積分時引入聲子截斷波矢qcut.

2 結果與討論

為了研究黑磷烯有效質量的性質，進行數值計算.選用的極性基底及其參數來自表1［17-18］.

表1 計算中使用的極化基底和參數Tab. 1 The polar substrates and parameters used in calculations

圖2 極化子在x（y）方向上有效質量隨z的變化關系Fig. 2 The effective mass of the polaron in the x（y）direction varies with z

圖3 極化子在x（y）方向上有效質量隨?ω 的變化關系Fig. 3 The effective mass of the poiaron in the x（y）direction varies with ?ω

圖2描繪的是qcut=0.2 nm-1，基底分別為AL2O3，SiO2時，極化子在x（扶手椅）方向的有效質量或y（折疊）方向的有效質量隨基底間距z的變化關系.可見當基底給定時，有效質量（或）隨基底間距增大而減小.這是因為基底間距增大，載流子與電子之間的相互作用減弱所致.還可以看出，在相同的條件下，可見y方向上的有效質量減小較快，反映出黑磷烯的各向異性特征.當基底不同時，有效質量不同，但是變化規律相同.

圖3描繪的是z=2 nm，qcut=0.2 nm-1，基底為AL2O3，SiO2時，極化子在x（扶手椅）方向的有效質量或y（折疊）方向的有效質量隨聲子能量?ω的變化關系.由圖3可見，當基底給定時，有效質量（或）隨?ω的增大而減小.這是因為，聲子能量?ω增大，電子聲子相互作用增強，致使有效質量在相同條件下，y方向上的有效質量減小較快，反映出黑磷烯的各向異性特征.當基底不同時，有效質量不同，但是變化規律相同.

3 結論

采用LLP幺正變換、線性組合算符和變分相結合的方法，在緊束縛勢模型和長波范圍內，研究了單層黑磷烯中極化子的有效質量.對確定的基底材料進行數值計算得知：當基底給定時，黑磷烯中極化子在扶手椅方向和折疊方向的有效質量均隨黑磷烯與基底之間間距的增大或聲子能量的增大而減小；兩個方向的有效質量變化情況不同，反映出黑磷烯具有各向異性.當基底不同時，有效質量不同，但是變化規律相同.總之黑磷烯的有效質量與方向和基底性質有關.