KdV孤子與BBM孤子基本特性的比較研究

韓海英，那仁滿都拉

（內蒙古民族大學 數理學院，內蒙古 通遼028043）

0 引言

1895年，兩位荷蘭科學家Kortweg和deVries，在描述單向運動的淺水波時，在小振幅和長波長的假設下，建立了著名的KdV方程［1］.KdV方程具有廣泛應用，它可以作為其他許多物理系統的波模型，如無碰撞磁流體波傳播問題、晶體非線性振動問題、等離子體中的聲波傳播問題以及非線性聲波問題等多領域問題的波模型.然而，Peregrine［2］和Benjamin 等［3］分析KdV 方程的一些不足和存在問題，如建立無界區間上定義的非周期性初值問題的存在性理論時遇到的困難問題，并提出了另一種替代模型——BBM方程.他們認為從非周期性初值問題的存在性理論的本質上看，BBM 方程比KdV 方程更適合長波模型［2］.關于KdV方程和BBM方程的研究文獻很多，文獻［4］中研究正則長波方程（BBM方程）孤立波的相互作用，指出孤立波相互作用后出現小的頻散尾巴.文獻［5］研究BBM方程孤立波的碰撞問題，指出BBM方程的孤立波碰撞后不出現小尾巴，碰撞具有孤立子特性.文獻［6］利用基于Galerkin方法的三次B樣條有限元法，研究等寬方程的不同孤立波的相互作用并指出孤立波的相互作用可產生幅度很小的子波.文獻［7］利用Petrov-Galerkin方法，研究等寬方程的兩個和三個孤立波的相互作用并給出與文獻［6］類似的結果.文獻［8］采用數值方法對修正的等寬方程的孤立波解的相互作用性質進行了研究.文獻［9］中給出了BBM方程的擬線性隱式差分格式和非線性隱式差分格式.關于KdV方程的研究更多更全面，可參閱文獻［10］.文獻［11-13］對KdV類方程和BBM類方程進行了數值研究.

本文將利用偽譜方法，對KdV方程和BBM方程描述的兩種孤子的形狀結構、相互作用特性以及動力學穩定性等基本特性進行詳細的數值研究和比較分析.

1 兩種孤子方程及其算法

本文研究標準形式的KdV方程和BBM方程

這里α和β是與介質有關的常數，當α=1，β=δ時方程（2）也稱為等寬方程［6-7］.方程（1）和（2）是非線性物理中的兩種重要方程，多位作者采用不同的方法進行過研究［4-14］.本文采用更簡便、直接且精度較高的偽譜方法研究這兩種方程.

首先構造兩種方程的偽譜算法格式.根據偽譜方法的基本思想［15-17］，對方程（1）作傅里葉變換

上式中，符號“∧”表示對應函數的傅里葉變換，i是虛數單位，k是變換常數.方程（3）兩邊乘以e-ik3βt，并令v∧=e-ik3βtu∧可得

因為

把（5）式代入（4）式得

上式中，F表示傅里葉變換，F-1表示傅里葉逆變換.由方程（6）可看出，通過作快速傅里葉變換和乘積分因子的技巧，已消掉了方程（1）中導致數值頻散的高階空間導數項并得到了關于v∧的常微分方程.方程（6）可以用龍格庫塔方法直接求解，然后再由（5）式可求得原方程的解u，這種方法也稱為積分因子方法［16-17］.

由于方程（2）中包含混合導數項uxxt，所以方程（2）的處理不同于方程（1），首先令

對上式作快速傅里葉變換可得

也可寫為

根據傅里葉變換的性質，可把上式推廣得到

利用（9）和（10）式，把方程（2）改寫為

此方程是關于v的常微分方程，所以可利用龍格庫塔方法直接求解出v，然后用（9）式可求解得到u.

2 兩種孤子的基本特性

KdV方程和BBM方程的孤子解分別為

這里Ak和Ab是兩個任意常數，分別表示KdV孤子和BBM孤子的振幅.從孤子解（12）和（13）可看出，KdV孤子的傳播速度和寬度都與其振幅有關，而BBM孤子的傳播速度與其振幅有關，但寬度與其振幅無關.因此，當Ak≠Ab時兩種孤子的幅度、寬度和傳播速度都可以不相同，而當Ak=Ab=A時兩種孤子的幅度和傳播速度相同，但寬度不相同.容易計算得到，時兩種孤子的寬度相同時KdV孤子的寬度小于BBM孤子的寬度，時KdV孤子的寬度大于BBM孤子的寬度.從圖1（參數選為α=6.2，β=0.01，A=1）中繪制的兩種孤子的傳播圖上也可看到上述特性.

孤立子的一個重要特性就是相互作用之后還能保持它們原有的波形結構、振幅和傳播速度而繼續傳播，即孤立子的碰撞具有粒子彈性碰撞的特性.為了檢驗KdV孤子和BBM 孤子是否都具有這種特性，我們數值模擬了雙KdV孤子和雙BBM孤子的相互作用過程.計算時以（12）和（13）式作為初始條件，采用區間[-π,π]上的周期邊界條件，參數選取為α=6.2，β=0.01，雙孤立子的幅度選為A1=1，A2=0.4，模擬的結果在圖2至圖5中給出.圖2所示的是幅度、寬度和傳播速度都不同的雙KdV孤子的相互作用，可看出雙孤子相互作用之后都能夠保持原有的波形結構、振幅和傳播速度而繼續傳播，只是它們的相位產生了明顯的變化（如圖4所示），相比于大幅孤子顯然小幅孤子的相位變化更明顯.KdV孤子的這些特性是人們熟悉的結果.圖3所示的是幅度和傳播速度不同、寬度相同的雙BBM孤子的相互作用.從圖3可看出，在計算條件和計算精度范圍內，BBM孤子相互作用之后還能基本保持原有的波形結構、振幅和傳播速度而繼續傳播，相位產生了明顯變化（如圖5所示）.但如果放大圖3就可看到（圖已忽略），BBM孤子相互作用之后出現幅度很小的尾波.因此，嚴格講BBM孤子的相互作用具有近似的粒子彈性碰撞性質.

圖1 KdV孤子（紅線）和BBM孤子（藍虛線）的傳播Fig. 1 Propagation of KdV solitons（red line）and BBM solitons（blue dotted line）

圖2 雙KdV孤子的相互作用Fig. 2 Double KdV solitons interaction

圖3 雙BBM孤子的相互作用Fig. 3 Double BBM solitons interaction

圖4 雙KdV孤子相互作用的等值線圖Fig. 4 Isoline map of the interaction of double KdV solitons

圖5 雙BBM孤子相互作用的等值線圖Fig. 5 Isoline map of double BBM solitons interaction

3 兩種孤子的動力學穩定性

為考察兩種孤子受到小擾動之后還能否保持原有的波形結構、幅度和傳播速度，本節研究了兩種孤子傳播時受到高斯小擾動的情況.假設兩種孤子受到了同樣的高斯擾動，其表達式為：

式中A0為高斯擾動幅度，μ為高斯擾動寬度因數.數值計算時，仍采用區間[-π,π]上周期性邊界條件，初始條件分別為uk(x,0)+u′(x,0)和ub(x,0)+u′(x,0).為使兩種孤子的初始幅度和寬度完全相同，參數選取為A=1，α=3，β=0.01，小擾動幅度取為A0=0.02，寬度取為μ=40.一般來講，考察的波在經過較長時間的演化后，如果擾動的幅度沒有產生明顯的增加，受擾波的波形結構、幅度和傳播速度基本保持不變，則可判定該波是動力學穩定；如果擾動的幅度產生明顯的增加，受擾波的波形結構、幅度和速度發生明顯改變，則可判定該波是動力學不穩定.圖6給出的是t=3.5 時刻的受擾KdV孤子波形，可看得出，隨著時間的推移，初始時刻的局部高斯擾動，逐步彌散整個計算區域并成為小擾動波，但其幅度沒有增加，而受到擾動影響的KdV孤子的波形、幅度和傳播速度都沒有產生明顯變化，相位產生了少量變化并出現了擾動產生的尾波.從圖7顯示的受擾孤子與未受擾孤子在同一時刻的差異（Δuk表示）圖上也能看到這些特點.當高斯擾動的幅度增大到A0=0.05 時，KdV孤子仍能夠很好地保持其原有的波形、幅度和傳播速度（圖忽略）.這表明KdV 孤子具有很好的抗干擾性和動力學穩定性.在圖8 中給出的是t=3.5 時刻的受擾BBM孤子波形.可清楚地看到，BBM孤子從初始位置開始傳播并壓過高斯波包，傳播到如圖所示位置.此時的BBM孤子的波形、幅度和傳播速度都沒有產生明顯變化，也沒有產生尾波，只是相位產生了少量變化.有趣的是在此過程中高斯波包并沒有彌散到整個計算區域，而是還能基本保持原有形狀結構和局部特點（如圖9所示）.當高斯擾動的幅度增大時，BBM孤子仍能夠很好地保持其原有的波形、幅度和傳播速度，此過程中高斯波包也沒有彌散開，還能基本保持其局部特點（圖忽略）.由此可見，在筆者的計算精度范圍內，BBM孤子具有更強的保持波形結構的抗干擾特性，因為它受擾后并沒有明顯產生尾波，也沒有把擾動波包彌散到整個區域.

圖7 受擾與未受擾KdV孤子的差異Fig. 7 The difference between disturbed and undisturbed KdV solitons

圖8 受擾動的BBM孤子Fig. 8 The perturbed BBM solitons

圖9 受擾與未受擾BBM孤子的差異Fig. 9 The difference between disturbed and undisturbed BBM solitons

4 結論

KdV方程和BBM 方程是在非線性波動問題中具有重要地位的兩種方程，對兩種方程所描述孤子特性的研究具有重要意義.本文首先構造了KdV方程和BBM方程的偽譜算法并利用該算法，對KdV孤子和BBM 孤子的形狀結構、相互作用特性以及動力學穩定性等基本特性進行了詳細的數值研究.研究表明，KdV孤子的傳播速度和寬度都與其幅度有關，而BBM孤子的傳播速度與其幅度有關，但寬度與其幅度無關.因此，KdV孤子的相互作用是幅度、寬度和傳播速度都不同的雙孤子相互作用，而BBM孤子的相互作用是幅度和傳播速度不同、寬度相同的雙孤子相互作用.KdV孤子的相互作用具有粒子彈性碰撞性質，而BBM 孤子的相互作用具有近似的粒子彈性碰撞性質.KdV 孤子和BBM 孤子都具有很強的抗干擾性和動力學穩定性，相比而言BBM孤子具有更強的保持波形結構的抗干擾特性，因為它受擾后并沒有明顯產生頻散尾波，擾動波包也能夠基本保持原有形狀結構.