一個含擴散項的抗病毒藥物治療模型的動態分歧

李 良， 王會超

(1.四川大學數學學院， 成都 610064； 2.許昌學院數學與統計學院， 許昌 461000)

1 引 言

本文所研究的具有擴散項抗病毒治療模型[1-7]是在文獻[1]中的基礎模型后添加擴散項后得到的.原模型只考慮了均勻分布情形，添加了擴散項的模型則更貼近實際.模型的定義如下：

(1)

其中u1表示未感染細胞數，u2表示感染細胞數，u3表示游離病毒數，未感染細胞以常熟率μ生成，以速率γu1死亡，βu1u3表示未感染細胞與游離病毒接觸之后變成感染細胞的速率，δu2表示感染細胞裂解死亡的速率，αu3表示游離病毒被清除的速率，Δu表示擴散率，ν表示感染細胞回復至未感染細胞的比率，θu2表示感染細胞裂解后產生病毒速率.抗病毒藥物主要以干擾素和一拉米夫啶為代表，其中1-ε表示治療效果(0<ε<1)，1-λ表示核苷類藥物阻礙從DNA到CCCDNA循環轉移的效率.此外，Neumann邊界條件表示細胞和病毒與外界沒有進行交換.這里我們只考慮x∈Ω=[0,l]和t>0的情形.

2 預備知識

針對非線性演化方程的抽象形式[2]

(2)

其中λ為參數，我們假設Lλ:H1→H為一個全連續算子，且為扇形算子，H1和H都為Hilbert空間(H1→H緊稠)， 并假設Lλ的特征值{βj(λ)∈C|j=1,2,…}滿足條件

(3)

由線性全連續場的譜理論可知,H1和H有分解

其中

算子Lλ有分解

另外，非線性項算子G(u,λ)在u=0處可展開成如下形式：

(4)

其中n≥2是一個整數，且Gn(u,λ)是一個n重線性算子.空間Hσ的定義參見文獻[3].

定理2.1[3]假設條件(3)成立，且G(u,λ)有形如(4)式的一階Taylor展開式.那么在λ0附近中心函數Φ(x,λ)可表示為如下形式：

O(|Reβ(λ)|‖x‖k)+o(‖x‖k),

另外，文中需要用到的Morse指數理論可參見文獻[3].

3 方程處理

(5)

我們將方程(5)化成形如方程(2)的形式.為此，首先建立空間如下：

H={(u1,u2,u3)∈L2(Ω,R3)}.

令Lλ=A+Bλ，其中

易知,Lλ:H1→H是全連續算子，并且為扇形算子，G(·,λ):H1→H滿足條件(4).程化為

現在我們來算方程(5)的特征根和特征向量.

首先，求拉普拉斯算子的特征值.由

可得

其中

易知

且在λ0附近有

再根據線性全連續場譜理論得到

其中

因此，任意u∈H1均可表達為下列形式：

4 結 論

其中

式中涉及的一些量的定義可參見文獻[3].

證明 令u∈H1.那么

P1ut=P1Lλu+P1G(u,λ),

P2ut=P2Lλu+P2G(u,λ)，

及

化簡可得分歧方程為

(6)

再令

則

其中

因此，

其中

這里0<|λ-λ0|<ε.因此方程(7)的穩態解為

從而方程(5)的分歧解為

進而方程(1)的分歧解為

o(|λ-λ0|).

結論(iii)得證.

當λ0<λ<λ0+ε時，若x0(0)<0，則x0(t)<0，從而

這就證明了方程(1)在區域x0(0)<0是不連續躍遷的.

同樣方法可以證明

這就證明了方程(1)在區域x0(0)>0里是連續躍遷的.結論(i)得證.證畢.

注易求得方程(7)的解為

5 數值算例

當λ=0.45時，

從圖1可見，Neumann邊界條件下的解(u1,u2,u3) →(0.4,0,0),與理論得出的結論一致.

再令λ=0.55，理論得出的奇點分歧解為(u1,u2,u3)→(0.33,0.44,0.41).

圖1 λ=0.45時模型(1)的平衡解Fig.1 The equilibrium solutions of Model (1) when λ=0.45

圖2表明，方程解(u1,u2,u3)→(0.36,0.17,0.38),此時理論解與數值解誤差較小.

圖2 λ=0.55時模型(1)的分歧解Fig.2 The birfurcation solutions of Model (1) when λ=0.55