分數階Boost變換器的兩種預測電流控制

王允建， 霍星星， 張 偉

(河南理工大學電氣工程與自動化學院, 焦作 454000)

1 引 言

現有變換器的建模，多采用整數階模型描述[1-5]，實際上，電感電容等器件因損耗、飽和等原因表現為分數階特性.Westerlund等[6]通過實驗手段測定一些不同電解質的電容器，結果表明,這些電容器的電壓電流關系都具有分數階微分特性；Sch?fer等[7]以RLC振蕩電路為例說明了分數階線圈模型的工作模式，指出繼電器線圈的階次是0.62.基于分數階系統，王發強等[8-13]使用分數階電容，研究了分數階混沌系統的電路實現，并進一步證實了物理系統的分數階特性.文獻[14]研究了Boost變換器的分數階系統模型，給出采用分數階系統模型比整數階模型描述更準確的結論.這表明Boost變換器在本質上是分數階的，但基于分數階系統研究Boost變換器的控制、系統設計等的報道較少，因此有必要對分數階系統及控制進行深入的研究.

文獻[15]依據分數階線性系統的穩定性定理設計了控制器，并通過仿真驗證所設計的控制器具有良好魯棒性，但是只進行了數值仿真，沒有進行具體的電路仿真驗證.文獻[16]針對分數階動態系統設計了分數階滑模控制器，提高了系統輸出響應的快速性和魯棒性.文獻[17]基于分數階線性系統的穩定性定理和分數階滑模面，設計了分數階自適應滑模控制器.文獻[18]在建立了Boost變換器的分數階數學模型基礎上，仿真驗證分數階PID控制器具有良好的穩態和動態性能.但是這些控制算法對參數調節困難，且輸出電壓波動較大.近年來，預測控制作為一種先進的控制理論，相比傳統控制算法具有動態性能好和無需調節參數的特點，吸引了學者的研究.

本文在現有研究的基礎上，建立Boost變換器分數階模型，對分數階PI控制、整數階預測控制器和分數階預測控制作性能對比分析.最后通過Matlab對比仿真，驗證了分數階模型的正確性以及分數階預測控制的優越性能.

2 分數階Boost變換器

分數階Boost變換器是指Boost變換器主電路中含有分數階元件的電路，如圖1所示，含有分數階電感Lα和分數階電容Cβ，α和β分別是分數階電感的階數和分數階電容的階數且0<α<1,0<β<1，電感阻抗表達式為ZLα=Lαsα，電容阻抗表達式為ZCβ=1/(Cβsβ).圖1中,vin是輸入電壓;vo是輸出電壓;S是控制開關;Di是二極管;R為負載電阻.

根據周期均值的含義，建立分數階Boost變換器的周期均值狀態方程為

(1)

式中,〈iL〉、〈vo〉、〈vin〉分別為一個開關周期內的電感電流平均值、輸出電壓平均值和輸入電壓平均值;d是開關S的占空比.

圖1 分數階Boost變換器電路原理圖

當系統(1)處于輸出穩態時，可求得Vo=Vin/(1-D)，Io=IL(1-D)，式中Vo、Io、IL、D分別是系統達到穩態時的輸出電壓、輸出電流、電感電流均值、占空比.在控制過程中假設輸入電壓Vin不變，則分數階系統(1)的小信號模型為

(2)

對式(2)進行基于Caputo定義的拉氏變換，可得輸出電壓對占空比傳函為

(3)

從式(3)可以看出，分數階傳遞不僅與分數階電感和電容的階數有關，還與器件參數值有關.因此,分數階電感和電容的階數無論是在頻域還是時域都會影響到系統的性能.當α=β=1時，式(3)傳函就是整數階Boost變換器的傳函，從而說明，整數階系統是分數階系統的特例.根據式(3)的傳遞函數，仿真對比相同參數下整數階與分數階Boost變換器的頻譜特性，如圖2所示.仿真時參數設置為Vo=120 V，L0.8=1.38 ΩS0.8，R=30 Ω，D=0.5，Cβ=4.7 mF，β=1.

由圖2可知,當α≤1、β≤1時，在相同器件參數下，電感或電容的階數越小，頻帶越寬，通頻帶內增益越平滑，相移逐漸平坦，越容易保證系統穩定.

(a) β=1時不同α值Bode圖

(b) α=1時不同β值Bode圖

3 預測控制器設計

3.1 分數階預測電流控制

預測控制作為一種先進的控制理論，相比傳統的控制方法具有動態性能好和無需參數調整的優點.

令T為采樣周期，其大小等于開關周期.保持采樣與調制過程同步，可使得每次采樣都能獲得電感電流的均值.

對(1)式進行離散化(PSE法)可得離散模型為

(4)

考慮控制器的一拍延遲，分數階Boost變換器的離散模型修改為

(5)

(6)

同理可得，第k+2周期時的預測方程為

(7)

(8)

根據文獻[1]，電感電流指令值iLref可由負載電流給定

(9)

式中,Vr為輸出電壓給定值.

采用該電流給定值，在負載和額定輸出電壓不變時，其值是一常數，電流指令簡單.當負載或電壓給定值突變時，指令電流將階躍性突變，容易引起系統響應的較大超調.為了克服指令電流的突變，采用如下思想給定電流指令.

當系統穩定時，在一個控制周期上，系統的動態儲能為零.當系統處于過渡過程時，動態儲能為

(10)

在控制作用下，系統逐漸趨于穩定，則動態儲能逐漸趨于零.所以系統的動態儲能可以視為一壓縮響應PLC(k+1)=γPLC(k)，0<γ<1.

根據一個控制周期上功率平衡可得，

(11)

則

(12)

綜上可得參考電流指令為

(13)

當系統處于穩態時，vo(k)=Vr，則iLref=γiL(k)+(1-γ)Vr2/Rvin(k)=Vr/(1-D)R.即當系統穩定后，上述兩種給定指令電流是相同的.

上述預測電流控制本質上是分數階的，需要記錄的電壓、電流項較多.對分數階Boost變換器使用分數階預測電流控制，能夠或得很好的動態特性，但因需要較多的存儲單元和較大的計算量使得控制器結構復雜，對硬件要求較高.在對動態響應性能要求不太高時可以考慮整數階預測電流控制.

3.2 整數階預測電流控制

仿真對比分數階預測電流控制分數階Boost變換器和整數階Boost變換器的電感電流工作波形，如圖3所示.由圖3可知，無論是整數階還是分數階Boost變換器，其電感電流波形都是三角波，當開關頻率和負載相同時，兩個三角波的相位和直流分量相同，僅幅值不同.在預測電流控制中，電感電流的幅值信息并不重要，重要的是其直流分量的變化.鑒于此，可將整數階電流預測控制器應用于分數階Boost變換器.

圖3 整數階與分數階電感電流對比圖Fig.3 Comparison of integer and fractional inductor currents

借鑒文獻[1]，整數階預測電流控制的第k個控制周期的開關占空比為

(14)

式中電感電流的預測值由下式給定

(15)

其中，電感電流指令iLref由(13)式給定.

該整數階預測電流控制，僅需記錄三個量，經簡單計算得到控制占空比，在控制器結構上比分數階預測電流控制器簡單很多.

4 仿真分析

4.1 分數階電感的實現

現有的分數階微分方程求解方法主要有解析解[19]和數值逼近求解兩類.其中電路模擬仿真求解法相比傳統的分數階微分方程求解方法，具有求解結果穩定準確，運算速度快等優點[20].因此采用電路模擬仿真求解法.

分抗元件的實現方法是利用擬合算法和現有的元器件，在一定頻帶內擬合出具有分數階特性的鏈式結構，本文的分數階電感采用Oustaloup濾波器[21]逼近其特性.

分數階電感阻抗表達式如式(16)所示.

ZLα=Lαsα

(16)

當s=jω時,

ZLα=Lα(jω)α=

RL+jLL, (0<α<1)

(17)

根據分數階電感阻抗表達式(17)，可得幅頻特性和相頻特性表達式如式(18)和式(19)所示.

ALα(ω)=Lαωα

(18)

(19)

因sα不是有理分式，無法直接實現.在此采用Oustaloup算法在一定的頻帶內逼近實現.當分數階電感的電感值Lα=1.38 Ω S0.8，階數α=0.8時，用Oustaloup算法實現逼近電路的分數階電感傳遞函數為

1.38×10-3s0.8≈P(s)/Q(s)

(20)

P(s)=13.8s11+2.392×105s10+4.552×

108s9+1.054×1011s8+3.001×1012s7+

1.054×1013s6+4.562×1012s5+2.434×

1011s4+1.601×109s3+1.296×106s2+

127.7s+0.00138

Q(s)=s11+9.252×104s10+9.395×108s9+

1.16×1012s8+1.764×1014s7+3.306×

1015s6+7.637×1015s5+2.175×1015s4+

7.635×1013s3+3.299×1011s2+1.734×

108s+104

將Oustaloup算法實現的此分數階電感傳函轉化為電路實現，結構見圖4.圖4中元件參數為RL1=369.019 Ω，RL2=26.498 Ω，RL3=4.035 Ω，RL4=0.5206 Ω，RL5=67.3 m Ω，RL6=8.7 mΩ，RL7=1.1 mΩ，RL8=144.78 μΩ，RL9=18.585 μΩ，RL10=3.0689 μΩ；電感值為L1=66.42 μH，L2=34.226 μH，L3=67.315 μH，L4=112.14 μH，L5=187.18 μH，L6=311.99 μH，L7=521.2 μH，L8=867.7 μH，L9=1.4 mH，L10=6 mH.

圖4 分數階電感的逼近電路

由式(17)、Oustaloup算法分別繪制ZLα(s)的bode圖，如圖5和圖6所示.由圖5和圖6可以看出，Oustaloup算法在一定的逼近頻帶內可以很好地實現對分數階電感的逼近.

圖5 理想的ZLα(s)bode圖： α=0.8Fig.5 Bode diagram of ZLα(s) of ideal: α=0.8

圖6 Oustaloup算法ZLα(s)bode圖Fig.6 Bode diagram of ZLα(s) of Oustaloup arithmetic

4.2 仿真結果

將圖4所示的分數階電感應用于圖1的Boost電路，其他參數設置為：輸入電壓vin=60 V，輸出電壓Vr=120 V，負載R=30 Ω，開關管工作頻率f=20 kHz，輸出端電容C=4.7 mF，階數β=1.在Matlab/Simulink環境下搭建仿真系統，仿真時系統的初始輸出電壓為0，并考察負載電阻突變情況下的系統性能.

圖7給出了分數階預測電流控制和分數階PI控制作用下的輸出電壓波形.圖中虛線代表分數階PI控制，實線代表分數階預測控制.負載電阻在1 s時刻從30 Ω變化到50 Ω，分數階PI控制下電壓波動為1.7 V，分數階預測控制下電壓波動為0.15 V.負載電阻在2 s時刻從50 Ω變化到20 Ω，分數階PI控制下電壓波動為3.65 V，分數階預測控制下電壓波動為0.5 V.在啟動階段，分數階預測控制的超調明顯小于分數階PI控制，且過渡時間短.所以對于分數階Boost變換器，分數階預測電流控制的效果優于分數階PI控制.

圖7 負載突變仿真波形Fig.7 Load mutation simulation waveform

圖8給出了分數階預測電流控制和整數階預測電流控制作用下的輸出電壓波形.圖8中，虛線代表整數階預測控制器，實線代表分數階預測控制.負載電阻在1 s時刻從30 Ω變化到50 Ω，分數階預測控制為0.2 V，整數階預測控制下電壓波動為2.5 V.負載電阻在2 s時刻從50 Ω變化到20 Ω，分數階預測控制電壓波動為0.32 V，整數階預測控制下電壓波動為2.9 V.分數階預測控制與整數階預測控制相比，輸出電壓波動幅度的比較小.

圖8 負載突變仿真波形Fig.8 Load mutation simulation waveform

通過上述3種控制方法的對比仿真表明，在系統參數相同時，分數階預測電流控制抵抗負載突變能力和調節性能方面優于其它兩種控制方法.

5 結 論

本文討論了分數階Boost變換器的兩種預測電流控制——分數階預測電流控制和整數階預測電流控制.在分數階預測控制中對電感電流和輸出電壓在一個控制周期上的均值均做一步預測，充分利用了當前一段時間內的多個歷史值；而在整數階預測控制中僅對電感電流在一個控制周期上的均值做一步預測，僅利用了當前時刻的2個數據.因此，分數階預測控制的性能更優，但控制器結構復雜，對硬件設備的要求高，適用于高性能控制場合.整數階控制性能雖然不如分數階預測控制，但控制器結構簡單，計算量小，對硬件設備的要求相對較低，適用于一般性能的控制場合.對比仿真結果說明了分數階預測電流控制能獲得更佳的控制性能.